高中数学1理 第六章

第六章

DILIUZHANG数列

高考对数列的考查以基础题为主,主要有三块内

容：3）等差,等比数列概念和性质；（2）由

递推关系求通项公式；（3）数列求和.

考查对数列概念的理解,对等差和等比两个基本

数列的定义与性质的理解和函数与方程的思想.

分类与转化的思想的运用.考查运克能力等.等

差、等比数列的定义及其性质和数列前〃项和的

问题是本章节高考考杳的重点,同时以数学文化

为背景的数列向期和数列9其他知识相结合的创

新题型应加以关注.

数列题型多种多样,璀度可难可易.大多数年份

考题雉度不大.高考中可出现在第一道解答期或在

其他题目,与其他知识结合考杳,难度属中等.

第一节数列的概念与简单表示法

二梳教材•固基础------基固为根必备知识

［基础自梳］

1.数列的有关概念

概念含义

数列按照二定顺序排列的一列数

数列的项数列中的每一个数

数列的通项数列｛分｝的第〃项厮

数列｛斯｝的第"项斯与"之间的关系能用公式斯=瓶）表示，这个公式叫

通项公式

做数列的通项公式

前〃项和数列｛斯｝中，S"=0+42H-----叫做数列的前〃项和

2.数列的表示方法

列表法列表格表示n与a〃的对应关系

图象法把点（n,画在平面直角坐标系中

通项

把数列的通项使用公式表示的方法

公式公式

法递推

公式使用初始值0和〃〃+］=#〃〃）或〃1，〃2和恁+1=/（〃〃，斯-1）等表示数列的方法

3.m与S”的关系

若数列｛斯｝的前〃项和为S”

Si,n=l

则斯=70〜

3〃_j，n-2.

4.数列的分类

思考拓展

（1）与函数的关系：

数列是一种特殊的函数，定义域为N*或其有限子集，数列的图象是一群孤立的点.

（2）周期性：若斯+E=%（〃GN*,无为非零正整数）,则｛斯｝为周期数列，Z为｛勾｝的一个周

［基础自测］

1.（教材改编）数列一1,Y，的一个通项公式为（）

A.a,,=±^

B.

C.a“=(-1)"+hD-斯W

［答案］B

i3

2.（教材改编）设数列｛”“｝满足斯=1-卜（n>l）,右〃3—o，则的值为（)

斯-12

B.±C.；D.2

A.1

［答案］A

3.（教材改编）数列0,1,01,0,1,0』，…,,的一个通项公式是（）

,(-ir+i

2B.cos'y

（几+1）兀（〃+2）兀

C.cos—2—D.cos2

［答案］A

4.（易错点：S,与小的关系）若数列｛斯｝的前〃项和S“=3〃2—2〃+1,则数列｛斯｝的通项

公式a„=

2(〃=1)

［答案］

6n~5("22)

2

5.（易错点：数列与函数的区别）若｛&｝的通项公式an=n-7n,则的的最小项是第

项.

［答案|3或4

・研考点•练方法----点明为纲关键能力

考点一已知数列的前几项写出通项公式

［1501］（1）下列公式可作为数列｛为｝：1,2,1,2,12…，的通项公式的是（）

A.a=\B.

n2

,mt(-ir'+3

C.an=2—sinyL).cin—2

-•〃兀

C［由%=2—sin^-可得0=1,〃2=2,6=1,。4=2,….故选C.］

⑵根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式:

①一1,7,-13,19,•••；

②0.8,0.88,0.888,…；

「15132961

®2*4f_8,16f~32f64f…；

®i-bio)3…；

⑤0,1,0/，….

［解］①符号问题可通过(一1)〃或(一1)”+1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的

数的绝对值总比前面数的绝对值大6,

故通项公式为〃〃=(—5).

②将数列变形为,一0.1),|(1-0.01),|(1-0.001),…，"=如一书).

③各项的分母分别为#22-23,24,…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.

2-3

因此把第1项变为

2，

21—322-323-324-3

原数列可化为一丁二22，

2"-3

。〃=(—［产~~,

④将数列统一为53f5,79

Wl7,…，对于分子3,5,7,9,…，是序号的2倍加1,可得分

子的通项公式为儿=2〃+1,对于分母2,5,10,17,…，联想到数列1,4,9,16,…，即数列｛层｝,

2

可得分母的通项公式为cri=n+\,因此可得它的一个通项公式为

［0,(〃为奇数)，

5"”一［］,(〃为偶数).

方法指导由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略

(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联

想(联想常见的数列)等方法.

(2)具体策略：

①分式中分子、分母的特征；

②相邻项的变化特征；

③各项的符号特征和绝对值特征；

④对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；

⑤对于正负号交替出现的情况，可用(-1)«或(-1)内，Z6N*处理.

［思维变式J

写出下列各数列的一个通项公式：

(1)3,5,7,9,…；

31

豆…；

(3)-1,1,—313

4'~5'6'

(4)3,33,333,3333,

［解］(1)各项减去1后为正偶数,

所以a.=2〃+l,“WN*.

2"—1

（2）每一项的分子比分母少1,而分母组成数列级爰智？。…，所以斯=%一,〃&N*.

（3）奇数项为负，偶数项为正，故第n项的符号为（-1）〃；各项绝对值的分母组成数列

1,2,3,4,…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1,偶数项为3,即奇数项为2—1,

偶数项为2+1,

所以m=（一1）"2+丁）,也可写为

一：,〃为正奇数,

3

〃为正偶数.

9婴，誉…，分母都是而分子分别是2

（4）将数列各项改写为：y,3,10-1,10

“1°”-1*

所以an=£N.

考点二已知递推关系求通项公式

［例2］根据下列已知条件，求数列｛〃〃｝的通项公式：

%+1=。〃+1口（1+力；

(l)6fj=2,

刀一1

(2)ai=2,

(3)苗=1,〃〃+i=2a〃+3；

(4)0=1,斯+产审;

5

(5)ai=g,

[解]⑴：斯+i=a“+ln(l+9

〃+]

・・〃〃+]Cln—In〃

n

••ClnCln—i-E〃_](〃>2)f

几一12、

斯-1-斯-2=11^7^，…，他一。1=1町(〃?2),

-a।=1n，l.+1n-~------FlnT=ln〃(〃22),

n—\n—21

・••斯=ln〃+〃](〃22),

又。[=2,•・a〃=ln"+2.

n—1

(2)因为m=莉7产1(〃》2),

1

所以当时,

an-\〃+l'

所以公〃一]«3_2殁_j_

f

~n+\。24'a\3'

4〃〃〃一1a3Ci2n-\n-22j_

以上九一1个式子相乘得，

4”-1斯-2石苏=〃+1〃•…彳予

即,—।1X2X1,所以

a\〃+17?n(n+\),

当力=1时，0=不5=］,也与已知相符,

i入Z,乙乙

所以数列｛斯｝的通项公式为(〃不]).

⑶因为斯+1=2%+3所以an+i—t=2(a„—t),即an+\=2a,—t,

解得1=-3,

故递推公式为斯+i+3=2(。"+3).

令6”=m+3,则加=。|+3=4,

bn~许+3

所以｛儿｝是以加=4为首项，2为公比的等比数列.

所以d=4X2,,-|=2"+|,即a„=2"+3.

(4)因为4“+i=a,2'"1=1，所以a”WO,

a〃+1a“2a"+1L

又幻=1,则2=1,

所以用,是以1为首项，3为公差的等差数列•

所以工='+(〃_1)X：=3+J=^^

v7

anci\2222

2

所以

(5)在a„+i=|a„+(1),+l两边分别乘以2,,+,,

2

得2“14+1=](2"a)+1.

2

令bn=2〃S,则令+1=/+1,

2

根据待定系数法，得d+L3=]S〃-3).

542

所以数列｛勿一3｝是首项为"一3=2X5—3=一»公比为]的等比数列.

所以办一3=一招卜，即打=3—2(|〉，

于是，a“=争

方法指导由递推公式求通项的方法

方法转化过程适合题型

累加

（。2-。1）+（。3­。2）H-----1~（斯—

法为+1—即=>(〃)(/(〃)可求和)

an-\）=an-a\

累乘。2V"3z〜0ii17斯4〃

XXK•••XX—..[A〃)，G")可求积)

法〃2an-2cin-1a\

由a+\=pa+q化为a+]+m

构造nnn

=p（a+m）构造｛〃〃+〃?｝为等a+\=pa+q

法nfnn

比数列

由〃,?+1—pCln+4化为q“+1—

辅助

n

an+\=pan+rq

数列法舞吟令T，则加f

b,弋,再构造数列

形如。”［=广2KA,B,C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列

Ddn-IC/

求解.

［思维变式］

1.将本例(1)改为：在数列｛斯｝中，。］=2,即+］=斯+3〃+2,则斯=.

［解析］因为0+i—。〃=3"+2,所以斯一4”-1=3〃-1(〃22),所以斯=(即一斯-1)+(。〃-1

—---l-Q—Ji)+4i="。亨"(〃=2).当〃=1时，0=2=3X(3X1+1),符合上式，

所以an—

［答案I|/+2

2.将本例(2)改为已知数列｛斯｝中，“1=1,(〃+1)%=〃%+|,则数列｛”“｝的通项公式a„

［解析］由（〃+1）。〃="〃〃+[,

〃+1

%〃

Cln-\n-\

f

alt-2n—2

将以上各式累乘求得口=〃，.•.〃〃=〃，而〃=1也适合.

，数列｛〃,1｝的通项公式为an=n.

［答案］n

3.将本例⑶改为在数列｛斯｝中。i=L恁+产3斯+2.求瓯

［解］因为%+i=3a“+2,所以即+|+1=3(如+1),所以“吗=3,所以数列｛斯+1｝

〃〃十j71

为等比数列，公式4=3.又©+1=2,所以＜7“+1=2-3"-1,所以-

考点三S”与知的关系的应用

2

［例3］(1)已知数列｛斯｝的前n项和S„=2n—3n,则数列｛斯｝的通项公式an=

［解析］ai=S=2—3=—1,

22

当心2时,an=5„­5„-i=(2n—3n)—［2(n—I)—3(n—l)］=4n—5,

由于ai也适合上式，«,1=4/?—5.

［答案］4n—5

(2)(2021.广东化州第二次模拟)已知S,为数列｛斯｝的前"项和，且log2(S“+l)=〃+l,则

数列｛斯｝的通项公式为.

I解析］由log2(S“+l)=〃+l,得S“+l=2"+i,即£=2"+1—1

当”=1时，0=S=3;当〃22时，a„=S„-S„-i=2n,当”=1时，不满足上式

3,n=\,

所以数列｛“”｝的通项公式为an=

方法指导

1.已知S”求a„的三个步骤

⑴先利用求出at.

(2)用〃一1替换S,中的n得到一个新的关系，利用斯=8一便可求出当〃22

时4”的表达式.

(3)注意检验〃=1时的表达式是否可以与"'2的表达式合并.

2.S,与斯关系问题的求解思路

根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化.

(1)利用斯=S“一S,LI(〃22)转化为只含S.，Si的关系式，再求解.

(2)利用S,-5"-1=。"(〃22)转化为只含%，%-1的关系式,再求解.

［思维变式］

设数列｛斯｝满足a1+3a2H---F(2，L1)a”=2〃，则an—.

［解析］(1)因为ai+3a2+…+(2”—l)a"=2",

故当时,“1+3a2H---F(2n—3)an-i=2(n—1).

两式相减得(2〃-1)%=2.

2

所以］("=2).

又由题设可得切=2,满足上式，

2

从而｛如｝的通项公式为如=五二1("WN*).

2

［答案］五=［(〃GN*)

考点四数列的性质

WT1单调性

［例4］(1)若%="2+如+4且对于〃WN*,都有如+〉斯成立，则实数上的取值范围是

I解析］由斯+1＞斯知该数列是一个递增数列，

又通项公式斯=层+履+4,所以(〃+1)2+左(〃+1)+4＞层+&”+4,即心＞—1—2〃.又“C

N",所以Q—3.

［答案］k＞-3

弗耐周期性

(2)已知数列｛小｝满足0=2,斯+|=772(〃6")，则该数列的前2020项的乘积

1

•的•…S020=

|解析I由题意可得，〃2=若券11+。311+。4

7，6/4=-；=工，=2

2'1—的31-04

所以数列｛。〃｝是以4为周期的数列，而2020=4X505,

且。「〃243・。4=2*(—3)义(一；)xg=1.

a1-airdy****^2020=1.

［答案］1

性质3|最值

(3)已知数列｛”“｝的通项公式由=(〃+2)•倒"，则数列｛斯｝的项取最大值时，〃=

I解析I由斯+i＞斯即(〃+3)%＞(〃+2*,(〃+3)专＞〃+2,解得〃＜4,可知数列｛斯｝中,

aI＜白2V〃3=。5＞。6＞…,

.,.｛知｝中的最大项为。4,as,

即｛斯｝中的项最大时,〃=4或5.

［答案］4或5

方法指导

I.单调性

解决数列的单调性问题的3种方法

作差

根据即+1—a”的符号判断数列｛斯｝是递增数列、递减数列或是常数列

比较法

作商根据0%%>0恒成立或许<0恒成立)与1的大小关系进行判断

比较法a”

数形

结合相应函数的图象直观判断

结合法

2.周期性

对于数列｛如｝存在非零常数T,使则T为｛④｝的周期，求周期的两种方法.

①根据递推公式，写出数列的前几项直到出现周期情况后，利用斯+r=”“写出周期(〃+

T)—n=T.

②利用递推公式“逐级”递推，直到出现a,,+T=““，即得周期T=(〃+7)—

［思维变式］

n——1

1.已知出=行［那么数列｛斯｝是()

A.递减数列B.递增数列C.常数列D.摆动数列

B［由如=鬲■得知+1=号

nn—1

〃(7+1)-(〃+2)(〃-］)

二(〃+2)(〃+1)

=—2一>0

(“+2)(〃+1)

，斯+1>%，;.｛斯｝为递增数列.］

2.已知数列｛〃〃｝满足m=l,alt+\=a7—2a,t+1(/?GN*),则〃2020=

［解析］Vaj=l,。〃+1=晶-2斯+1=伍〃—I)2,

；・。2=(。1-1)2=0,。3=(。2-1)2=1,。4=(。3-1)2=0,

……,可知数列｛斯｝是以2为周期的数列，

C12020=〃2=0・

［答案10

・链高考•提素养————素养为本创新应用

［再研高考］

1.(2018•全国卷I)记S”为数列｛斯｝的前n项和.若S„=2an+1,则$6=

［解析］:S“=2%+1,当"22时，S“T=2%T+1,

••斯-S”Sn—।—2a“2a”-1,即a“—2a”-1.

当〃=1时，a\=S\=2a\-\-\,得“i=-1.

数列｛斯｝是首项.为-1,公比g为2的等比数列,

41(1一/)—1(1—2"),

：.S=—.~匕=­=1-2〃，：.S=1-26=-63.

n1-q1-o26

［答案］一63

2.(2019•上海卷)已知数列｛斯｝的前n项和为S〃,且满足S〃+a〃=2,则Ss=

［解析］〃=1时，S+m=2,A6/I=1.

时，由sfl+an=2得Sn-\+afl-\=2,

两式相减得4〃=2斯-1(〃22),

.♦.｛%｝是以1为首项，3为公比的等比数列,

件[1-(羽_31

:・s5=

一⑹

31

［答案］76

［创新应用］

数列单调性、最值与函数、导数的交汇创新

(1)等差数列｛%｝的前〃项和为S”已知510=0,515=25,则弱的最小值为.

［解析］设等差数列｛斯｝的首项为“1,公差为d,由等差数列前n项和公式可得

10X9

10aHd=0,

2

,15X14

15m+—2—d=25,

«i=-3,

解得《2

[d=y

r,层1)_1_'

/.nSn=t^a\+----3-----d=-3/+](/一/)

2

1710n

=3〃-3,

构造函数=1^-yx2(x>0).

令fW=0,解得x=0(舍去)或工=与.

当x>至时，於)单调递增；

20

当0<x<y时，/(x)单调递减.

*-'y=6|,的)=-48,/7)=-49,

...当〃=7时，〃S“取最小值，

/•(n5n)min=-49.

［答案］—49

(2)已知数列｛如｝的通项为诙=2〃「，又数列｛瓦｝满足瓦=21og2an+i，记£=加+。2H-----卜

bn,若V〃CN*都有六W成立，则正整数4的值为________.

%cik

1==

［解析］•.•〃〃=2",/.bn21og2^«+12n.

“1.n(2+2/i),

所以S〃=bi+b2+…b〃=----2------=层9+〃，

S〃+iS〃(〃+1)(〃+2)〃(〃+1)

如ICrt+I-Cn=~一~~~一on―—yi~\一

4〃乙Z

(7?+1)(2~7?)

=T,

所以当n=l时，a<C2；

当〃=2时，C3=C2；

当及23时，&+]—C〃<0,即C3>C4>C5>…，

所以数列｛0?｝中最大项为C2和C3.

所以存在&=2或3,使得任意的正整数〃，都有

ak%

[答案]2或3

（3）数列｛斯｝的通项斯=W而，则数列｛”“｝中的最大值是（）

A.3^/10B.19C.卷

Y\

[解析J设抬尸巨的=二^9°）

工+不

由于x+*22、l^i^,当且仅当f=90即x=3｛15时，取"="

又，〃=9或”=10,加）取得最大值上

故选C.

课时作业（二十八）

A级基础达标

1.已知数列｛斯｝的前4项为2,0,2,0,则该数列的通项不可能是（)

■2,〃为奇数

A.%=（-1）”叶1B.=1"便拈

[0，〃为偶数

C.斯=2sin爹D.a〃=cos（〃—1）兀+1

C[对于C,当〃=3时，sin寺=-1,则43=—2,与题意不符.]

2.已知数列血，小，2小,行，…,则2小是这个数列的（）

A.第6项B.第7项C.第19项D.第11项

B[数列即：也，小，就，迎，…，据此可得数列的通项公式为：%=两=T,由-3〃一1

=2小，解得：n=7,即2后是这个数列的第7项.]

3.已知数列｛斯｝满足41=1,%+2—。〃=6,是的值为（）

A.31B.32C.61D.62

Ar・•数列｛斯｝满足tzi=1,%+2——=6,

/.673=6+1=7,々5=6+7=13,々7=6+13=19,ag=6+19=25,QU=6+25=3L]

4.设数列｛〃〃｝的前〃项和义=层+〃，则44的值为（）

A.4B.6C.8D.10

C[ci4=S4-S3=20—12=8.]

5.已知数列｛斯｝的前〃项和为S”。1=1,Sn=2an+i，则S“=（）

A.2"「B.Q｝-1D.吉

Ca

B[由已知S“=2a〃+i得S〃=2（S〃+i—S〃），即2s“+i=3S〃，飞一=2f而Si=〃i=l,设｛S“｝

是以1为首项,为公比的等比数列，所以故选B.]

6.（2021•温州瑞安七中高考模拟）数列｛内｝的前〃项和为5“，若0=1,即+i=3S,（〃》l），

则a6—（）

A.3X44B.3X44+1C.44D.44+l

A[由〃"+i=3S",得至'Ia"=3S"-i（〃>2）,

两式相减得：a,i+i—a”=3（S”一SL1）=3。"，则飙+i=4a"（"22）,又ai—1,42=3Si=3ai

=3,得到此数列除去第一项后，为首项是3,公比为4的等比数列，所以%=〃2。'-2=3义4"

2(心2),46=3X44,故选A.]

7.设数列｛斯｝的前〃项和为S,”且伯=1,数歹斯｝为常数列，则&=()

A-LH2

3"一|n(«+l)

5—2〃

C(〃+1)("+2)D.

B[由题意知当时，S“+”即=2,当〃22时,1)为T=2,所以

，.、的如"一1，一"2"3"4a,,12n—1,,2,,

=(〃一1)斯-1,即---=J：',从而—•一•一•---=77n+T'则斯=而刁'当〃=1时

an-\/?+1念的an-\34

2

上式成立，所以斯=花工■])•]

8.对于数列｛&｝,%“+1>|编(〃=1,2,…)”是“｛诙｝为递增数列”的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

B[当〃"+|>同(〃=1,2,…)时，

•|。〃|2斯，••。〃+1>%,

・・・｛斯｝为递增数列.

当｛〃〃｝为递增数列时，若该数列为一2,-1,0,则〃2>同|不成立，即诙+1>|编(〃=1,2，…)

不一定成立.

综上知，“斯+]>|跖|(〃=1,2,…)”是｛斯｝为递增数列的充分不必要条件.]

9.设数列｛〃〃｝满足。]=1,。2=3,且2M〃=QL1)〃“-]+(〃+1)斯卜1,则。20的值是()

A.4：B.4,C.4D.4,

D[由题知:

n+\

2X2X3-1112X3Xy-2X3

〃3=="j-»&=4=4,

2X4X4-3Xyy2X5xg-4X4

2635H-4”,5X20-4

/=5"于%=故an=~~一,所以敢0=20

10.已知正项数列｛斯｝中，----则数列｛斯｝的通项公

式为()

A.MB.cin=层

nn2

C.a,；=2D.斯=夏

B[\*y[a\+y[a2-\-产，,

J+诟H----卜7斯-1"%"s22),

两式相减得低=吆罗一叫尸=〃(〃22),

/.斯='(〃22).

]X2

又当n=1时，yfci]=_2-=1，ci\=\,适合上式，

2

：.an=n9〃£N*.故选B.]

11.数列｛。〃｝满足。〃+1,。8=2,贝1]。|=________.

1-Cln

［解析］由〃〃+］=■］］，得。“=1--,

1-斯%+1

因为々8=2,所以47=1—］=］,

。6=1-'=­1,々5=1-'=2,

a-i，25a(y

所以数列｛〃〃｝是以3为周期的数列，所以0=。7=1.

［答案］I

12.若数列｛斯｝满足〃1・〃2・〃3♦…S=1+3〃+2,则数列｛小｝的通项公式为.

［解析］〃42,。3,…S=(〃+l)(〃+2),

当n=\时，0=6;

。1•。2刈3•…•斯-1=(〃+1)(〃+2),

当儿22时，.

a\'ayay••,-an-\=n(n+1),

.九+2

故当n22时，an=fj,

f6,77=1,

所以。〃=<〃+2*

G2,

6,n=19

=<

［答案1ann+2

心2,〃£N*

B级能力提升

13.(多选)已知数列｛斯｝的前〃项和为S”若〃1=-1,a存0,anafl+i=2Sn-l,则对于

数列｛斯｝下列说法正确的是()

A.42=3

B.｛知｝是以的=-1为首项，公差为4的等差数列

C.｛斯｝是递增数列

D.｛〃2"｝是等差数列且。2"=2〃+1

AD［因为0=—1,斯斯+i=2S〃-1,所以念=3,当心2时，斯%+1斯-1斯=2%，又0A0,

所以。［+以〃-］=2,所以数列｛〃2〃｝是以3为首项，2为公差的等差数列，所以。2〃=2+5—1)乂2

=2〃+1。3=1,｛〃〃｝是摆动数列.A、D正确.］

14.数列｛斯｝前n项和S〃=2〃2—3〃(〃WN*),则an=.若p—q=5,则ap—ag=

［解析］当心2时，a〃=S「Si

=2n2-3n-12(〃-I)2-3(〃-1)］=4〃-5,

当〃=1时，0=S|=-1,符合上式，所以5,所以他一劭=4(p一4)=20.

［答案］4〃-520

2

15.己知数列｛小｝的前〃项和5〃=层+1,数列出〃｝中，九二二1且其前〃项和为4,

a〃十1

=

设CnT2n+［—Tn.

(1)求数列｛d｝的通项公式；

(2)判断数列｛Q｝的增减性.

=

［解］(1)。］=2,anS,i—Sn-\—2n—1(〃22).

fl5=1),

••也=I

In—2).

(2)*.*C=瓦+1+儿+2+…+。2〃+1

_urt._u,._u_

=7?+1〃+22〃+1'

Cn+l~C,,=2n+2+2n+3~'^+l

_]_]__1

-2〃+3-2“+2一(2〃+3)(2〃+2)U'

...｛0｝是递减数列.

16.已知数列｛如｝的各项均为正数，记数列｛斯｝的前“项和为S”，数列｛屈｝的前几项和为

T”,且37；=SW+2S,”nGN*.

⑴求S的值；

(2)求数列｛斯｝的通项公式.

|解|(1)由3TI=Sf+2$,

得3亩=山+2ai,即届一“i=0.

因为“i>0,所以。|=1.

(2)因为3〃=5^+25”,①

所以37；+i=能+I+2S“+I,②

②一①，得3屈+i=SN+|-S1+2a,,+i.

因为a”+i>0,所以3%+i=S"+i+S”+2,③

所以3a”+2=S"+2+S"+i+2,④

0)一⑤)，1/于3斯+2-3a“+i—a”+2+a”+i,

即cin+2-2an+\,

所以当时，­=2.

Cln

又由3/=SS+2s2,

得3(1+是)=(1+〃2)2+2(1+〃2),即是一2〃2=0.

因为〃2>0,所以。2=2,所以宾=2,

所以对〃£N*,都有如1=2成立，

%

所以数列｛%｝的通项公式为a„=2n~1,"GN*.

第二节等差数列及其前〃项和

・梳教朝•固基础-----基固为根必备知识

［基础自梳］

1.等差数列的有关概念

⑴定义：

①文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数.

②符号语言：勾什|—a.=d(〃eN*,"为常数).

(2)等差中项：数列a,A,6成等差数列的充要条件是4=竽，其中A叫做a,6的

等差中项.

」2.等差数列的有关公式

(1)通项公式：an=〃|+(〃—l)d.

(2)前〃项和公式：S,尸也+迹严仁迎等.

3.孽差数列的性质

(1)通项公式的推广：an=am+(及一r)d(〃，

(2)若｛a〃｝为等差数列，且％+/="+〃伏，Lm,〃£N*),则以+〃/=“〃+a〃.

(3)若｛〃〃｝是等差数列，公差为d,则ak，cik+mr。什2〃”…(左，加£N*)是公差为md的

等差数列.

（4）数列S",Slm-Sm，53,"-$2,"，…也是等差数列.

思考拓展

1.两个函数

等差数列｛斯｝中，当4#0时，①斯=A〃+B,是关于〃的一次函数；

②S.=A〃2+B〃（A、8是常数）是关于"的二次函数.

2.S,的最值

am，0,

在等差数列｛斯｝中，若0>0,d<0,则满足一八的项数，"使得S"取得最大值S“；

0,"+iWO

若0VO,40,则满足、八的项数胆使得S”取得最小值S“.

1而+1孑0

［基础自测］

1.（教材改编）等差数列11,8,5,…中，-49是它的第几项（）

A.第19项B.第20项

C.第21项D.第22项

［答案］C

2.（教材改编）等差数列｛如｝的前”项之和为S,”若45=6,则59为（）

A.45B.54C.63D.27

［答案］B

3°（易错点：等差数列的通项公式）在100以内的正整数中有个能被6整除

的数.

［答案］16

4.已知等差数列5,4/3*…,则前”项和S,=.

［答案］5（15〃一〃2）

5.（易错点：等差数列S,的最值）在等差数列｛斯｝中，已知俏+例>0,且59<0,则$,S2…，

S9中最小的是.

［答案］55

・研考点•练方法一—点明为纲关键能力

考点一等差数列的基本量的运算

角度||求公差

|例1］（2021•开封高三定位考试）已知等差数列｛&｝的前〃项和为S,”且G+“5=10,S4

=16,则数列｛斯｝的公差为（）

A.1B.2C.3D.4

B［设等差数列｛%｝的公差为d,则由题意，得

a\+«i+4J=10,

（«i=l,

\4X3解得，故选B.］

4a1+-^-XJ=I6,ld=2,

角度2求项数

［例2］已知等差数列｛%｝的前〃项和为S”若。2=4,S4=22,斯=28,则〃=（）

A.3B.7C.9D.10

,22-402

D［因为S4=ai+a2+a3+a4=4s+2d=22,d=2=3,ci\=ci2-d=4-3=1,斯

=a\+（n-\）d=1+3（/1-1）=3/?-2,由3〃-2=28,解得〃=10.］

角度3求通项

［例3］等差数列log3（2x）,k）g3（3x）,log3（4x+2）,…的第四项等于（）

A.3B.4C.log318D.log324

A［Vlog3（2x）,log3（3x）,k）g3（4x+2）成等差数列，

log3（2x）+log3（4x+2）=21og3（3x）,

Iog3［2r（4x+2）］=log3（3x）2,则Z¥（4JV+2）=9X2,

解之得x=4,x=0（舍去）.

工等差数列的前三项为10g38,10g312,log318,

/3

工公差d=