高中数学课堂讲义-空间点、直线、平面之间的位置关系

高中数学课堂讲义

—空间点、直线、平面之间的位置关系

目录

1.教学大纲....................................................................1

2.知识点一空间中直线与直线的位置关系......................................1

3.知识点二直线与平面、平面与平面的位置关系................................2

4.练习........................................................................2

5.探究点一直线与直线位置关系的判断........................................3

6.探究点二空间直线与平面位置关系的判断....................................4

7.探究点三平面与平面位置关系的判断........................................6

8.课堂作业....................................................................7

9.课时作业（二十五）空间点、直线、平面之间的位置关系........................8

1.教学大纲

新课程标准学业水平要求

1.了解空间中两条直线的三种位置关系，理解两异面直

线的定义，会用平面衬托来画异面直线.（数学抽象）

借助长方体，在直观认识空

水平2.了解直线与平面的三种位置关系，并会用图形语言和

间点、直线、平面的位置关

符号语言表示.（数学抽象）

系的基础上，抽象出空间

3.了解不重合的两个平面之间的两种位置关系，并会用

点、直线、平面的位置关系

图形语言和符号语言表示.（直观想象）

的定义.

水平通过对空间中点、直线、平面的位置关系的学习，逐步

培养学生的空间想象意识.（逻辑推理）

2.知识点一空间中直线与直线的位置关系

1.异面直线

（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线;

（2）异面直线的画法.

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2.空间两条直线的位置关系

位置关系具体描述

相交直线在同一平面内，有且只有一个公共点

共面直线

平行直线在同一平面内，没有公共点

异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点

［点拨］异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面，使其同时经过

a,b两条直线.

3.知识点二直线与平面、平面与平面的位置关系

1.直线与平面的位置关系

直线a在平面a外

位置关系直线a在平面a内

直线a与平面a相交直线a与平面a平行

公共点无数个公共点一个公共点没有公共点

符号表示auaaOa=Aalia

图形表示

2.两个平面的位置关系

位置关系两平面平行两平面相交

有无数个公共点

公共点没有公共点

（在一条直线上）

符号表示allpan0=l

图形表示

［点拨］一般地，直线a在平面a内，应把直线。画在表示平面a的平行四

边形内；直线4与平面a相交，应画成直线。与平面。有且只有一个公共点，

被平面。遮住的部分画成虚线或不画；直线。与平面。平行，应画成直线。与

表示平面a的平行四边形的一条边平行，并画在表示平面a的平行四边形外.

4.练习

1.判断正误（正确的打“，错误的打“义”）

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(1)若直线I与平面a平行，则I与平面a内的任意一条直线都没有公共

点.()

(2)如果直线a,Z?满足a〃平面a,Z?〃平面a,那么“〃/?.()

(3)分别位于两个平行平面内的两条直线也平行.()

(4)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平

行.()

答案：(1)V(2)X(3)X(4)X

2.一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，则它与另一条()

A.相交B.异面

C.相交或异面D.平行

C[举例说明：给出正方体模型，如图：①直线与

直线48平行，且直线3C与直线431异面，此时，直线

8C与直线A8相交；②直线与直线AiBi平行，且直线

CG与直线AiB异面，此时，直线与直线异面；综

合所述，一条直线与两条平行线中的一条异面，则它与另一条可能相交，也可

能异面.故选C.]

3.直线bUa,则。与a的位置关系是()

A.a//aB.a与a相交

C.a与a不相交D.aUa

C[当直线a〃力，/?Ua时，直线a与平面a的位置关系有可能是a〃。或

aUa,不可能相交.]

4.已知平面a〃平面夕，直线aUa,则直线a与平面p的位置关系为

解析：因为a〃夕，所以a与4无公共点,

因为aUa,所以a与4无公共点，

所以。〃民

答案：a//p

5.探究点一直线与直线位置关系的判断

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如图，在长方体ABCO-AIBICDI中，判断下列

直线的位置关系：

①直线MB与直线0c的位置关系是；

②直线A\B与直线BiC的位置关系是；

③直线DQ与直线DiC的位置关系是；

④直线AB与直线BiC的位置关系是.

解析：经探究可知直线43与直线DC在平面中，且没有交点，

则两直线平行，所以①应该填“平行"；点A”B,Bi在平面AtBBt内，而C

不在平面ABB内，则直线48与直线囱。异面.同理，直线A8与直线BC

异面.所以②④应该填“异面”；直线口。与直线DC相交于d点，所以③

应该填“相交”.

答案：①平行②异面③相交④异面

方法技巧

判定两条直线是异面直线的方法

（1）定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内.

（2）重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平

面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为A%,BG

a,lUa,3双=4?与/是异面直线（如图）.

［对点训练］

已知平面aCl平面夕=c,直线aUa,a//c,直线Z?U』，且〃与c相交，则

a和匕的位置关系是（）

A.平行B.相交

C.异面D.上述三种都有可能

C［若a与匕平行，因为“〃c,所以8〃c,与。与c相交矛盾，所以A错

误；若a和匕相交，由直线aUa,直线平面aC平面尸=C,知a和都

在同一点处与c相交，这与。〃c矛盾，所以B错误；因为空间中两条直线的位

置关系有平行、相交、异面这三种情况，故。和。只能异面.］

6.探究点二空间直线与平面位置关系的判断

例国"（多选）下列命题错误的是（）

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A.直线/平行于平面a内的无数条直线，则/〃a

B.若直线a在平面a外，则。〃a

C.若直线a〃b,直线Z?Ua,则a〃a

D.若直线a〃从bug那么直线a就平行于平面a内的无数条直线

ABC［因为直线/虽与平面a内无数条直线平行，但/有可能在平面a内，

所以/不一定平行于a,所以A是假命题.

因为直线a在平面a外包括两种情况：a〃a和a与a相交，所以a和a不

一定平行，所以B是假命题.

因为直线a〃4bUa,只能说明a和匕无公共点，但。可能在平面a内，

所以a不一定平行于a,所以C是假命题.

因为a〃"，bUa,所以“<=4或。〃扇所以a可以与平面a内的无数条直

线平行，所以D是真命题.］

方法技巧

直线与平面位置关系的判断

(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，

常用分类讨论的方法解决.另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类

问题的有效方法；

(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面a内，要证明直线与

平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则

必须说明直线与平面没有公共点.

［对点训练］

下列命题正确的个数为()

①若直线/上有无数个点不在平面a内，则/〃a；

②如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面

平行；

③若直线I与平面a平行，则/与平面a内的任意一条直线都没有公共点.

A.0B.1

C.2D.3

B［如图所示，借助长方体模型来判断.棱所在直线有无数个点在平

面A8CD外，但棱441所在直线与平面A8CO相交，所以命题①不正确.

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A\B\//AB,AiB所在直线平行于平面ABC。，但直线ABU平面ABC。，所

以命题②不正确.

直线/与平面a平行，则/与a无公共点，/与平面a内所有直线都没有公

共点，所以命题③正确.]

7.探究点三平面与平面位置关系的判断

(1)如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这

两个平面的位置关系一定是()

A.平行B.相交

C.平行或相交D.垂直

(2)如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线是异面直线，则这两个

平面的位置关系一定是()

A.平行B.相交

C.平行或相交D.垂直

解析：(1)根据题意作图，把自然语言转化为图形语言，即可得出两平面

的位置关系.如图所示.故选C.

(2)如图，aUa,a,Z?异面，则两平面平行或相交.故选C.

答案：(1)C(2)C

方法技巧

判定平面与平面的位置关系的方法

(1)判定两个平面相交，只需找到两个平面的一个公共点，就可根据基本事

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实3知，两个不重合的平面是相交的.

（2）判定两个平面平行，可根据定义判定两个平面没有公共点，也可以排除

两个平面相交，从而判定两平面平行.

[对点训练]

（多选）下列说法错误的是（）

A.平面a与平面夕，y都相交，则这三个平面有2条或3条交线

B.如果a,〃是两条直线，a//b,那么a平行于经过匕的任何一个平面

C.直线。不平行于平面a,则。不平行于a内任何一条直线

D.如果a〃/，a//a,那么a〃夕

ABCD[A中，交线也可能是1条；B中，a也可能在经过b的平面内；C

中，a不平行于平面a,则a可能在平面a内，平面a内有与a平行的直线；D

中，a可能在厂内.故四个命题都是错误的，选ABCD.]

8.课堂作业

1.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平

面的位置关系为（）

A.平行B.直线在平面内

C.相交或直线在平面内D.平行或直线在平面内

D[若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面

平行或直线在平面内.]

2.（多选）如图是一个正方体的展开图，则在原正方体中（）

A.CD//GHB.A8与£尸异面

C.AD//EFD.A3与C。相交

ABD[把展开图还原成正方体，如图所示.由正方体的

性质得CO〃GH,AB与族异面，AD与EF异面,AB与CD

相交.故选A、B、D.]

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3.下列命题正确的是.（填序号）

①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；

②若直线I与平面a相交，则/与平面a内的任意直线都是异面直线；

③如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平

面相交.

解析：①显然是正确的；②中，直线/和平面a内过/与a交点的直线都

相交而不是异面，所以②是错误的；③中，异面直线中的另一条直线和该平面

的关系不能确定，它们可以相交，可以平行，还可以在该平面内，所以③是错

误的.

答案：①

4.如图，在正方体ABCD-AliGDi中，点E，F,G分别在AB,BC,DD\

上，求作过E,F,G三点的截面.

解析：①在底面A5CO内，过点E,/作直线E厂分别与

DA,。。的延长线交于点3②在侧面AN。。内，连接LG

交A4i于点K.③在侧面内，连接GM交CCi于点H.@

连接KE,"7.则五边形EF”GK即为所求的截面.

9.课时作业（二十五）空间点、直线、平面之间的位置关系

（本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！）

（A级基础达标］

1.若直线/与平面a平行，直线aUa,则/与a（）

A.平行B.异面

C.相交D.没有公共点

D［若直线/与平面a平行，直线aUa,则直线/与。可能平行或异面，

不可能相交，即没有公共点.故选D.］

2.若直线a不平行于平面a,则下列结论成立的是（）

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A.a内的所有直线均与直线a异面

B.a内不存在与a平行的直线

C.直线。与平面a有公共点

D.a内的直线均与a相交

C[若直线a不平行于平面a,则直线a与平面a相交或在平面内；对于A,

a内的直线与直线。可能异面，相交，也可能平行，故不成立；对于B,当。在

平面a内就存在与a平行的直线，故不成立；对于C,直线a与平面a相交或

在平面内都有公共点，故成立；对于D,a内的直线与a可能异面，也可能平行;

故不成立.故选C.]

3.给出下列说法：

①梯形的四个顶点共面；

②四边形一定是平面图形；

③有三个公共点的两个平面重合；

④三条直线两两相交，可以确定3个平面.

其中正确的序号是（）

A.①B.①④

C.②③D.③④

A[因为梯形有两边平行，所以梯形确定一个平面，所以①是正确的；四

边形可能为空间四边形，所以②不正确；有三个公共点的两个平面不一定重合,

如两个平面相交，三个公共点都在交线上，所以③不正确；三条直线两两相交,

可以确定的平面个数是1或3,所以④不正确.]

4.下列五个结论中正确结论的个数是（）

①如果a,力是两条直线，a//b,那么。平行于经过匕的任何一个平面；

②如果直线a和平面a满足a//a,那么a与平面a内的任何一条直线平行;

③如果直线a,满足。〃a,b//a,那么。〃匕；

④如果直线a,和平面a满足。〃a//a,b<la,那么b〃a；

⑤如果a与平面a上的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面a.

A.0B.1

C.2D.3

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B[如图所示，在长方体ABCO-A'B'CD'中，A4'

//BB',A4Z却在过8夕的平面A894内，故①错；AV〃平面

BB'C'C,BCU平面BB'CC',但44,不平行于BC,故②错；44，〃

平面8B，CC,A'D'〃平面8方CC,但4V与4。相交，故③错；A'B'//C'D',

A'B'〃平面ABC。，C'D'。平面ABC。，则CO〃平面ABC。，故④正确；

A4显然与平面A8夕4中的无数条直线平行，但A4U平面AB夕4,故⑤错误，

故选B.]

5.（多选）下列说法中，正确的命题是（）

A.如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个

平面相交

B.经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行

C.两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平

行

D.一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面

AB[易知A正确，B正确.C中两条相交直线中一条与平面平行，另一条

可能平行于平面，也可能与平面相交，故C错误.D中直线与平面可能相交，

所以D错误.故选AB.]

6.已知两条不重合的直线a,b和平面a.

①若a〃a,bUa,则。〃"；

②若a〃a,b//a,则a〃8;

③若a〃8，bUa,则a〃a；

④若a〃b,a//a,则8〃a或bUa.

其中真命题的个数是.

解析：①若。〃a,bUa,则a,Z?平行或异面；②若。〃a,b//a,则a,

b平行、相交、异面都有可能；③若a〃8，bUa,则。〃a或aUa.④正确.

答案：1

7.若直线I上有两点到平面a的距离相等，则直线I与平面a的关系是

解析：当/〃a时，/上有两点到a的距离相等.当/与a相交时，/上有

两点到a的距离相等；当/Ua时，/上有两点到a的距离相等，故/〃a或/与a

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相交或/Ua.

答案：平行或相交或/Ua

8.如图，在正方体ABC。-AIIGQI中判断下列位置关系:

(l)ADi所在直线与平面BCC\的位置关系是.

(2)平面A\BC\与平面ABCD的位置关系是.

解析：(1)AA所在的直线与平面8CC没有公共点，所以平行.

(2)平面4BG与平面A3CO有公共点6,故相交.

答案：(1)平行(2)相交

9.如图所示，已知平面aA/?=/，点A£a,点BGa,点。£尸，且知/,

Be,直线AB与/不平行，那么平面ABC与平面B的交线与I有什么关系？证

明你的结论.

解析：平面ABC与平面夕的交线与/相交.

证明如下：因为与/不平行，且ABUa,/Cot,

所以A3与/一定相交.

设ABA/=P,则PW4B,PGI.

又因为45u平面ABC,/u』，所以PS平面ABC,P*.

所以点P是平面ABC与平面厂的一个公共点，而点C也是平面ABC与平

面夕的一个公共点，且P,C是不同的两点，所以直线PC就是平面ABC与平

面夕的交线.即平面A3CA平面夕=PC,而PCA/=P,

所以平面ABC与平