新教材2021-2022学年高中数学人教B版必修第一册学案：22不等式及其性质

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2.2不等式

2.2.1不等式及其性质

新课程标准学业水平要求

★水平一

梳理等式的1.了解现实世界和日常生活中的不等关系.理解不等式的概念.（数学抽象）

性质，理解不2.理解实数比较大小的基本事实，初步学会用作差法比较两个实数的大小.（逻辑推理、数学运算）

等式的概念3.认识并证明不等式的性质及推论.能利用不等式的性质证明简单的不等式.（数学抽象、逻辑推理）

及其性质.★水平二

掌握证明问题的基本方法,灵活运用不等式的性质及推论解决不等式的判断、证明问题.（逻辑推理）

》基础认知•自主学习④

1.如何进行两数的大小比较？

2.不等式有怎样的性质及推论？如何应用性质及

导思推论？

3.证明问题的常用方法有哪些？如何证明不等

问题？

1.不等式与不等关系

不等式的定义所含的两个要点.

⑴不等符号＜,＞，＜，2或立

⑵所表示的关系是不等关系.

思考

不等式的含义是什么？只有当与同时成立时，该不

等式才成立，是吗？

提示：不等式应读作：％小于或等于方”，其含义是指“或者aV。

或者a=》“，等价于“a不大于b"，即若aV。与之中有一个正确，

则a<b正确.

2.比较两个实数大小的方法

⑴方法：

方法依据结论

①实数与数轴上的点—对应

画数轴数轴上的点往数轴的正方向运动

②如果点尸对应的数为％,则称工

比较法时，它所对应的实数会变大

为点P的坐标，并记作P(x)

如果a-b>0,那么a>b确定任意两个实数a,b的大小关

作差

如果a-b<0,那么a<b系，只需确定它们的差a—b与0

比较法

如果。-8=0,那么a=b的大小关系

⑵本质：前者就是看两数在数轴上的左右位置，后者就是比较它们的

差与。的关系.

(3)应用：利用这两种方法比较两个数或者两个式子的大小.

一思考

(1)在比较两实数”，。大小的依据中，a,。两数是任意实数吗？

提示：是任意实数.

(2)若*—a>0"，则m。的大小关系是怎样的？

提示：b>a.

3.不等式的性质

性质1如果Q>b,那么Q+C>〃+C.

性质2如果a>b,c>0,那么ac>bc.

性质3如果a>b,c<0,那么ac<bc.

性质4如果a>b,b>c,那么a>c.

性质5a>b^4><a.

4.不等式性质的推论

推论1如果Q+Z?>C,刃口么

推论2如果a〉b,c>d,那么a+c〉Z?+d.

推论3如果a>Z?>0,c>d>Q,那么ac>bd.

推论4如果a〉b>0,那么优>b"(〃WN,n>l).

推论5如果a>b>Q,那么\[a>\[b.

思考

(1)性质2,3可以概括为在不等式的两边同乘以一个不为零的数，不

改变不等号的方向，对吗？为什么？

提示：不对.要看两边同乘以的数的符号，同乘以正数，不改变不等

号的方向，但是同乘以负数时，要改变不等号的方向.

(2)推论1类似于解方程中的什么法则？

提示：移项法则.

(3)使用推论3,4,5时，要注意什么条件？

提示：各个数均为正数.

5.证明问题的常用方法

方法定义

从已知条件出发,综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的

综合法

方法

从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后，把

分析法要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、

公理等)为止

首先假设结论的否定成立,然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假

反证法

设不成立.反证法是一种间接证明的方法

思考

(1)综合法与分析法有什么区别？

提示：综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导

果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因.

(2)反证法的实质是什么？

提示：反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正

确的.

基础小测

1.辨析记忆(对的打“小,错的打“x”).

⑴不等式x>2的含义是指%不小于2.()

提示：N.不等式92表示%>2或%=2,即%不小于2.

(2)两个实数mb之间，有且只有a=b,三种关系中的一

种.()

提示：(任意两数之间，有且只有Q>与，a=b,QV》三种关系中的

一种，没有其他大小关系.

⑶若a>b,则ac2>bc2.()

提示：x.由不等式的性质，ac2>bc2=>a>b;反之，c=0时，a>bac2

>bc2.

(4)若a+c〉b+d,则c>d.()

提示：x.取Q=4,c=5,b=6,d=2,满足a+c>Z?+d,但不满足Q>8,

故此说法错误.

2.设a<*0,则下列不等式中不成立的是()

1111

A.->TB.----->-

aba-ba

C.\a\>-bD.\j-a

选B.对于A,因为a<〃<0,所以Q》>0,所以<-v<0,即，>7,所

ci。ciD

以A成立，不符合题意;

1111

时

----此->

对于B,若a=—2"=T,则口Q2QQ-

所以B不成立，符合题意;

对于C,因为所以⑷>步|=一〃，所以C成立，不符合题意；

对于D,因为a<b<Q,所以一Q>—Z?>0,则.a>\]—b,所以D成立,

不符合题意.

3.（教材例题改编）已知M=2x2+5x+3,N=f+4X+2,则

M忆（用=”填空）

M=2X2-\-5X-{~3,N=^+AX-\~2,M—N=（2X2+5x+3）—（x2+4x+2）=

T+x+l=]%+；[+[>0,故M>N.

答案：>

》能力形成•合作探究©

类型一作差法比较大小（逻辑推理、数学运算）

题组训练

1.设实数。=小一小力=小一1，c=S一小，则（）

A.b>a>cB.c>b>a

C.a>b>cD.c>a>b

222

选A邛f=芹邛.小-1=和,小-V5=万印,

222

因为小+1<小+小<木+S，所以声T〉方印>万印'

即b>a>c.

2.（2021・武汉高一检测）已知ka+4b,s=a+〃+4,则,和s的大小

关系是（）

A.t>sB.f>s

C.t<sD.t<s

选D—s=4b—b2—4=—(b—2)2<0,故区s.

3.已知X,y£R,尸=2?一盯+1,。=2%一；,则尸与。的大小关

系为.

因为尸_2=2/_孙+[_[2%_另=x2~xy+^+x2—2x+l=

♦号2+（%—1）2沙，所以口

答案：P>Q

解题策略

比较大小的常用方法

1.作差法

作差法比较大小的步骤.

2.作商法

一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论.通常

适合非负数或式子之间的大小比较.

3.特值法

若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特

值探究思路，再用作差或作商法判断.注意：用作商法时要注意商式

中分母的正负，否则极易得出相反的结论.

电【补偿训练】

⑴当烂1时，比较3X3与3%2—%+1的大小.

【思路导引】利用作差法比较，先作差、化简，再判断差的符号.

3A3—(3必一%+1)

=(3A3—3A2)+(%—1)

=3f(%—1)+(%—1)

1).

因为把1,所以X—100,而3X2+l〉o.

所以(3K+1)(%—1)<0,所以A:+1.

(2)当X,y,z£R时，比较5%2+y2+z2与2孙+4%+2z—2的大小.

因为SJ^+V+Z2—(2盯+4%+2z—2)

=4%2—4%+l+%2—2»+y2+z2—2z+1

=(2x-l)2+(x-y)2+(z-l)2>0,

所以5x2+y2+z2>2jcy+4x+2z—2,

当且仅当x=y=\且z=l时取到等号.

类型二利用不等式的性质判断命题的真假(逻辑推理)

【典例】下列命题中一定正确的是()

A.若a>b且1〉",则a>0,b<0

B.若a>b,b丰0,则发>1

C.若a>b,且a+c>6+d,则c>d

D.若a>b且ac>bd,则c>d

【思路导引】利用不等式的性质和特殊值检验求解.

][11b—a

选A.对于A项，因为一〉二，所以一一匚>0,即一丁>0,又a>b,所

aDaDaD

以b—a<0,所以ab<0,所以a〉0,b<0,故A项正确；对于5项，当

a>0,b<0

时，有弓<。<1，故5项错；对于。项，当a=10,b=3,c=l,d=2

时，虽有

10+1>3+2,但1<2,故。项错；对于。项，当a=-l,b=~2,c

=-1,d

=7时，有（一1）义（一1）>（一2）义7,但一1<7,故。项错.

解题策略

运用不等式的性质判断命题真假的技巧

⑴运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条

件，尤其是不能随意捏造性质.

⑵解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一

定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证

计算.

跟踪训练

（2021.中山高一检测）如果a<0,b>0,那么下列不等式中正确的是

l

11

-<

A.a

b-

C.a2Vb2D.|a|>|b|

选4.由于a<0,b>0,5中尸^无意义，B错;a=-2,b=2时，a2

11

-<-

=b2,|a|=|b|,C,。均错.只有A正确,ab

散【拓展延伸】

倒数的性质

⑴若a>b〉0,则:.

11

贝_■-<-

ab

l1

_

a><-

>babab

类型三利用不等式的性质证明不等式（逻辑推理、数学运算）

综合法

ee

【典例】已知a>b>0,c<d<0,e<0,求证:a—c>b—d

【思路导引】本例可利用不等式的性质进行证明，也可以作差进行证

明.

【证明】方法一：因为c<d<0,

所以一c>—d〉0,

因为a>b>0,所以a—c>b—d>0,

所以0<-^—<r^-;,

a-cb-d

又因为e<0,所以一J.

a-cb—d

、_eee[(b—d)—(a-c)]

万'—'a—cb—d(a—c)(b—d)

_e[(b—a)+(c—d)]

(a-c)(b—d)

因为a〉b>0,c<d<0,所以一c>—d〉0,

所以a—c>0,b—d>0,b—a<0,c—d<0,又e<0,

e[(b—a)+(c—d)]

所以(a—c)(b—d)>0,

e

所以，a=c>bZZd-

一题多变

本例条件不变，结论改为求证（a—ec、；2>（.b北—d、；2，请证明.

【证明】因为c<d<0,所以一c>—d〉0,

因为a>b>0,所以a—c>b—d>0,

所以（a—c）2>（b—d）2>0,

所以0<包「62<（Jd）2，又e<°，

所以（a：c）2>（b：d）2-

罐曰分析法与反证法

【典例】证明：币—小<\[6—\f2.

【思路导引】根据问题特点可选用分析法证明，也可用反证法证明.

【证明】方法一■：分析法：要证书一审〈水一也,

只需证S+也<小+#,只需证（S+血）2<（小+加）2,展开

得9+2JH<9+2718,只需证旧<718,

即证14<18,显然成立，所以⑺一审<^6一嫄.

方法二：反证法：假设于一小>\[6一6,

则市+也>\!3+册,

两边平方得9+2旧>9+2718,

所以可瓦>V18,

即14N18,显然不成立，所以假设错误.

所以s—小〈册一理.

解题策略

利用不等式的性质证明简单不等式的实质及注意点

⑴实质：就是根据性质把不等式变形.

⑵注意点：①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加

以应用；

②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条

件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.

证明不等式常选用综合法，对于不方便用综合法证明的不等式可以灵

活选择分析法与反证法.

题组训练

1.已知a>b>c,则」+的值（）

a-bb—cc-a

A.为正数B.为非正数

C.为非负数D.不确定

选A.因为a〉b>c,所以a—b〉0,b—c>0,a-c>b—c>0,所以一工>0,

a-b

1_J_1

b-c〉，a_c<b—c，

所以」7——」一>0,所以」工+1一+—L的值为正数.

a-bb—ca—ca-bb—cc—a

2.用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为

以下三个步骤：

①NA+NB+NC=90o+90o+NC〉180。，这与三角形内角和为180°

相矛盾，则NA=NB=90。不成立；②所以一个三角形中不能有两个直

角；③假设NA、NB、ZC中有两个角是直角，不妨设NA=NB=90。.

正确顺序的序号排列为.

根据反证法证题的三步骤：否定结论、导出矛盾、得出结论.

答案：③①②

a2_Lu2a2_Lu2

3.将下面用分析法证明Nab的步骤补充完整：要证Nab,

只需证a2+b222ab,也就是证________，即证________,由于

显然成立，因此原不等式成立.

a2+b22_|_^2

用分析法证明>ab的步骤为：要证a工一>ab成立，只需证a2

+b2>2ab,也就是证a?+b2—2abN0,即证(a—bpNO.由于(a—b^NO显然

成立，所以原不等式成立.

答案：a2+b2—2ab>0(a-b)2>0(a-b)2>0

4.(2021.福州高一检测XD已知a>b,c<d,求证：a—c>b—d；

11

-<-

(2)已知a>b,ab〉O,求证:ab

ab

(3)已知a>b>0,0<c<d,求证：-.

CQ

【证明】(1)因为a>b,c<d,

所以a〉b,-c>—d.则a—c>b—d.

(2)因为ab>0,所以上>0.又因为a>b,所以a•上>b-^,即(>：,因

,11

此占<b•

(3)因为0<c<d,根据(2)的结论，得!>:>0.

CQ

又因为a>b〉0,则a]>bA,即].

IUvCl

H备选类型利用不等式性质求范围(逻辑推理)

【典例】(2020•虹口高一检测)已知l<a<2,3<b<6,则3a—2b的取值范

围为.

【思路导引】通过已知范围得到3a与一2b的范围，然后利用不等式的

性质求解.

因为l<a<2,3<b<6,

所以333as6,-12<—2b<—6,

由不等式运算的性质得一903a—2bW0,

即3a—2b的取值范围为[-9,0].

答案：[-9,0]

解题策略

运用不等式求范围的常用方法

一是借用不等式的性质，转化为同向不等式相加进行解答；二是借

用所给的条件，整体使用，切不可随意拆分所给的条件；三是结合不

等式的传递性进行求解.

另外根据未知量已有的范围求该未知量其他形式的范围时通常遵循

“只加不减，只乘不除”的原则.

跟踪训练

若一;<a<B<；,则a—p的取值范围是.

因为一；<a<P<^,所以一；<一.

又一；<a<；,所以一l<a—0<1,

又a<0,所以a—。<0,所以a—0的取值范围是(一1,0).

答案：(一1,0)

》学情诊断•课堂测评《

1.已知实数。1仁(0,1),。2仁(0,1),记〃=“口2,N=ai+a2—1,则()

A.M<NB.M>N

C.M=ND.大小不确定

选B.作差比较，Af—N=ma2—1)