高中数学圆锥曲线解题技巧总结

解圆锥曲线问题的常用方法大全

1、定义法

(I)椭圆有两种定义。第一定义中，ri+r2=2ao第二定义中，ri=edir2=ed2«

⑵双曲线有两种定义。第一定义中，|八=2a,当ri>n时，注意f2的最小值为c-a：第二定义中，n=edi，

r2=ed2,尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。

(3)抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法

因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最

终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，

弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为

“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点

A(Xi,y)B(X2,y2),弦AB中点为M(xo,yo),将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关

系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：

22

(1)5+5=1(。>〃>0)与直线相交于人、B,设弦AB中点为M(xo,yo),则有乌+与A=0。

a-ba1b

22

(2)与一2r=1(。>0口〉0)与直线1相交于A、B,设弦AB中点为M(xo,yo)则有乌—2人=0

bab~

(3)y2=2px(p>0)与直线1相交于A、B设弦AB中点为M(x(),yo)厕有2y°k=2p,即y()k=p.

【典型例题】

例1、⑴抛物线C:y2Hx上一点P到点A(3,4J5)与到准线的距离和最小，则点P的坐标为

(2)抛物线C:y2=4x上一点Q到点B(4,l)与到焦点F的距离和最小，则点Q的坐标为_____________。

分析：⑴A在抛物线外，如图，连PF,贝同=归4，因而易发现，{A6当A、

P、F三点共线时，距离和最小。H—书

(2)B在抛物线内，如图，作QRJJ交于R,则当B、Q、R三点共线时，J距离和

最小。

解：⑴(2,V2)

4A/7-0

连PF,当A、P、F三点共线时，|4目+|尸可=同勺+|0月最小，此时AF的方程为y-----(x-1)即

3—1

y=2正(x-1),代入y2=4x得P(2,2后)，(注：另一交点为五)，它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去)

⑵(-,1)

4

过Q作QRL交于R,当B、Q、R三点共线时，忸Q+Q月=忸。+旧/最小，此时Q点的纵坐标为1,代

入y2=4x得X=L.\Q(1,1)

44

点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。

x2y2

例2、F是椭圆一+匚=1的右焦点，A(l,l)为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。

43

(1)|P4+|P目的最小值为

(2)归4+斗0月的最小值为.

分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径尸尸或准线作出来考问

题。

解：(1)4-A/5

设另一焦点为尸'，则尸(-1,0)连AR',Pb'

|曰+|P月:|曰+la-\PF'\=2a-(\PF'\-\P^>2a—|=4—石

当P是尸A的延长线与椭圆的交点时，|酬+|PF|取得最小值为4-V5。

(2)3

作出右准线1,作PHJ_1交于H,因a?=4,b2=3,c2=l,a=2,c=l,e=—,

2

\PF\=即2|尸耳=\PH\

：.\P/\+Q\PF\=\P^+\PH\

2

当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为^-—=4-1=3

C

2222

例3、动圆M与圆Ci：(x+l)+y=36内切，与圆C2：(x-l)+y=4外切,求圆心M的轨迹方程。

分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线

(如图中的A、M、C共线，B、D、M共线)。列式的主要途径是动圆的“半径

等于半径”(如图中的pwc|=Mq)。

解:如图，Mq=Mq,

.•.眼4+眼闿=8(*)

.♦.点M的轨迹为椭圆，2a=8,a=4,c=l,b?=15轨迹方程为一+匚=1

1615

点评：得到方程(*)后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出

J(x+l)2+y2+J(l)2+y2=4,再移项，平方，…相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！

3

例4、AABC中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=gsinA,求点A的轨迹方程。

分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R(R为外接圆半径)，可转化为边长的关系。

33

解：sinC-sinB=—sinA2RsinC-2RsinB=—,2RsinA

55

3

即4一|4-=6(*)

.•.点A的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点)

V2a=6,2c=10

/.a=3，c=5,b=4

22

所求轨迹方程为^--匕=1(x>3)

916

点评：要注意利用定义直接解题，这里由(*)式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支)

例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M,求点M到x轴的最短距离。

2

分析：(1)可直接利用抛物线设点，如设A(xi,xi，B(X2,X2),又设AB中点为M(xoyo)用弦长公式及中点

公式得出yo关于xo的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。

(2)M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。

解法一：设A(X1，X|2),B(X2，X22),AB中点M(XO，yo)

①

②

③

由①得(x1-X2)2[1+(X1+X2)2]=9

22

B|J[(XI+X2)-4XIX2],[l+(Xj+X2)]=9④

由②、③得2xiX2=(2xo)2-2yo=4x()2-2yo

222

代入④得[(2x0)-(8x0-4yo)]•[l+(2x0)]=9

•*-4y0-4x；9

l+4x；

QQ

4>1o=4^+—=(4^+l)+——-1

4x；4%;+1

22百-1=5,y0>|

B5Fy5

当4X()2+1=3即/=士时，(y())min=W此时”(士可，/

法二：如图，?\MM2\=\AA2\+\BB2\=\AF\+\BF\>\A^=3

313

A\MMt\当AB经过焦点F时取得最小值。

.••M到x轴的最短距离为之

4

点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消xi，X2,从而形成yo关于xo的函数，这是一种“设而不

求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离，再利

用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边(当三角形“压扁”

时，两边之和等于第三边)的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB是否能经过焦点

F,而且点M的坐标也不能直接得出。

例6、已知椭圆—+上一=l(2<m<5)过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A、

mm-\

B、C、D、设f(m)=MW-|CD||,(1)求f(m),(2)求f(m)的最值。

分析：此题初看很复杂，对f(m)的结构不知如何运算，因A、B来源于“不同系统”，A在准线上，B在椭

圆上，同样C在椭圆上，D在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到x轴上，立即可得防

f(m)=卜4-%)0~(XD-％)后卜行|(4-4)-(%D*)|

=V2|(xg+xc)-(xA+xD)|

=V2|(XB+XC)|

此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。

XV

解：(1)椭圆---1------=1中，a2=m,b2=m-l,c2=l,左焦点Fi(-l,O)

mm一1

则BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0

得(m-1)x?+m(x+l)2-m2+m=0

(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0

2nt

设B(xi,y1),C(X2,y2),则Xj+X2=-------(2<m<5)

2m-1

==y/2\(xB-xA)-(xD-xc)|

2m

=V2|(Xj+x)-(x+x)|=V2|x,+x|=V2.

2Ac22m-1

、”、rr2,171-1+1rr..1

(z2)/(m)=J2-----------=v2(lH----------)

2m-l2m-1

...当m=5时，/(m)min=

当m=2时，/(加)max=Y4V-2

点评：此题因最终需求人+%，而BC斜率已知为1,故可也用“点差法”设BC中点为M(xo,yo),通过将B、

C坐标代入作差，得包+上匚山=0,将yo=xo+l,k=l代入得配+也把=0,；.Xo=-一叽，可见

mm-\mm-\27n-l

2m

XB+XC

2m-1

当然，解本题的关键在于对/(〃z)=||Aq-|CD||的认识，通过线段在X轴的“投影”发现/(加)=|4+XC|

是解此题的要点。

【同步练习】

22

1、己知：F”F2是双曲线二y—%=1的左、右焦点，过Fl作直线交双曲线左支于点A、B,若［4耳=〃2,

△ABF2的周长为()

A、4aB、4a+mC、4a+2mD、4a-m

2、若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,则P点的轨迹方程是

()

A、y2=-16xB、y2=-32xC、y*2=16xD、y2=32x

3、已知4ABC的三边AB、BC、AC的长依次成等差数列，且|Aq>|AC|,点B、C的坐标分别为(-1,0),

(1，0),则顶点A的轨迹方程是()

2222

"-1

A、------1-------1B、?+—>。)

43

2222

C、?+q=l(x<0)D、亍+(=l(x>0且y*0)

4、过原点的椭圆的一个焦点为F(l,0),其长轴长为4,则椭圆中心的轨迹方程是

()

(x_g)2+y2

A、B、++y2

*2+(y_；)2D、*2+(y+g)2=箝声_1)

C、=$~1)

x2

5、已知双曲线——1上一点M的横坐标为4,则点M到左焦点的距离是,

916

6、抛物线y=2x2截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是

7、已知抛物线y2=2x的弦AB所在直线过定点p(-2,0),则弦AB中点的轨迹方程是

8、过双曲线x2-y2=4的焦点且平行于虚轴的弦长为

9^直线y=kx+1与双曲线x2・y2=l的交点个数只有一个，则k=.

22

10、设点P是椭圆L+)二=1上的动点，Fl,F2是椭圆的两个焦点，求Sin/F|PF2的最大值。

259

11、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列,

若直线1与此椭圆相交于A、B两点，且AB中点M为(-2,1),b耳=46，求直线1的方程和椭圆方程。

12、己知直线1和双曲线==1(。＞00＞0)及其渐近线的交点从左到右依次为A、B、C、D。求证:

ah~

|蝴=陋。

【参考答案】

1、C

|4|-3周=2a,\BF^\-\BF^=2a,

.,.|4周+忸闾一|4q=4",|4用+忸用+|4q=44+26,选©

2、C

点P至UF与至iJx+4=0等距离，P点轨迹为抛物线p=8开口向右，则方程为y2=16x,选C

3、D

•.[M+M=2X2,且目＞M

•.•点A的轨迹为椭圆在y轴右方的部分、又A、B、C三点不共线，即yWO,故选D。

4、A

设中心为(x,y),则另一焦点为(2x-l,2y),则原点到两焦点距离和为4得1+J(2X-1)2+(2y)?=4,

①又c<a,.\J(x-1)2+/<2

.,.(x-l)2+y2<4(2),由①，②得x#-l,选A

29

5、—

3

左准线为x=，Q,M到左准线距离为d=4-(-30)=2二9则M到左焦点的距离为4=二5・29二=2二9

555353

11、

6、\(yz>5)

222

设弦为AB,A(xi,yi),B(X2，y?)AB中点为(X,y),则yi=2x/，y2=2x2,yi-y2=2(xi-X2)

0—丫2=2(%+/)，2=2・2x,x=-

x}-x22

将x=；代入y=2x2得y=；,轨迹方程是x=；(y>；)

7、y2=x+2(x>2)

设A(xi,yi),B(X2，yz),AB中点M(x,y),则

y；=2*,£=2尤2，犬一父=2(玉-x2),^~--(y,+必)=2

王一修

y-0

・2y=2,即y2=x+2

x+2x+2

又弦中点在已知抛物线内P,即y2<2x,即x+2<2x,，x>2

8、4

“2=〃=4,。2=&c=2后，令x=2jl代入方程得8-y2=4

：.y2=4,y=±2,弦长为4

9、±衣或±1

y=kx+l代入x2-y2=l得x2-(kx+l)2-l=0

.,.(l-k2)x2-2kx-2=0

①Jl—"得4k2+8(1一k2)=0,k=±V2

A=0

②1*2=0得k=±1

10、解：a2=25,b2=9,c2=16

设Fi、F2为左、右焦点，则F(4,0)F2(4,0)

设忸制=ri,\PF2\=公3轨=e(/

则卜+々=小

22

[rj+^-2rtr2cos。=(2c)

2

①2-②得2nr2(l+cos6)=4b

/.1+cos0=4"=笠-Vri+r2>,.'mn的最大值为a2

2和八2

1+cos。的最小值为——,即1+cos。2—

777i

cos0>----，O<0<^-arccos—则当6=—时，sine取值得最大值1,

25252

即sinNFFFz的最大值为lo

11、设椭圆方程为三+3=l(a>8>0)

ab"

由题意：C、2C、幺+c成等差数歹|J,

C

4c=C+—+C即=2c2,

c

a2=2(a2-b2),a2=2b2

X1y2、

椭圆方程为—^+—7=1,设A(X],yD，B(X2,y2)

2bb-

2222

贝IJ3+4=1①与=1②

2b2b12b2b2

①-②得、—产+;二K=o

2b2b2

；.2+乌•％=()

2b"b2

-2,

即----FZ=O/.k=l

2

直线AB方程为y-l=x+2即y=x+3,代入椭圆方程即x2+2y2-2b2=0得x2+2(x+3)2-2b2=0

.,.3x2+12x+18-2b2=0,|A.=|X|_/|"71=9122—12(18—2小)行=4g

22

解得b2=12,椭圆方程为琶+会=1,直线1方程为x-y+3=0

12、证明：设A(xi，yi),D(X2,y2),AD中点为M(x。，yo)直线1的斜率为k,则

会-条①①①-②得争—驾M=0③

'^_4=1②"人

a2b2

设B(x[,*),C(芯,工),BC中点为M'(芯,%),

则务母二°④

12.2-

生一江=0⑤

匠b2~

④-⑤得当-郃•/=()⑥

ab~

由③、⑥知M、M'均在直线/'：二一一上，而M、又在直线1上，

ab~

若1过原点，则B、C重合于原点，命题成立

若1与x轴垂直，则由对称性知命题成立

若1不过原点且与X轴不垂直，则M与AT重合

；.|例=卬

椭圆与双曲线的对偶性质总结

椭圆

1.点P处的切线PT平分△PFE在点P处的外角.

2.PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的

两个端点.

3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4.以焦点半径PF.为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

22

5.若兄(%,为)在椭圆=+与=1上，则过外的椭圆的切线方程是"+岑=L

crbab"

22

6.若玲(毛,为)在椭圆1+2=1外，则过P。作椭圆的两条切线切点为Pi、P2,则切点弦P1P2的直线方程

ah

7.椭圆=+==1(a>b>0)的左右焦点分别为Fi，F2,点P为椭圆上任意一点/々PE,=/,则椭圆的焦点

ab~

角形的面积为S”户「=b2tan—.

22

椭圆(a>b>0)的焦半径公式:

\MFl\=a+ex0,\MF2\=a-ex0(Fl(-c,Q),F2(c,0)M(x0,y0)).

9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦

点F的椭圆准线于M、N两点，则MFJ_NF.

10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,Ai、A2为椭圆长轴上的顶点，AiP和A?Q交于点M,A2P

和AiQ交于点N,则MFJ_NF.

XV""

11-AB是椭圆—r+二丁=1的不平行于对称轴的弦，M(4，yo)为AB的中点，则左。时・第8=一-7-

alrCI

pm"_bx。

即KAB~2°

ay0

12.若《（小,%）在椭圆1内，则被Po所平分的中点弦的方程是绰+岑=与+4.

ab-a~b-

22

13.若在椭圆1内，则过p。的弦中点的轨迹方程是2=号+晔.

a-b-ab-

双曲线

1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

2.PT平分△PRF2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长

轴的两个端点.

3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4.以焦点半径PFi为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切：P在右支；外切：P在左支)

22

5.若兄(%,%)在双曲线三一与=16>0内>0)上，则过兄的双曲线的切线方程是警—岑=1.

aab

X2y2

6.若〃(/,%)在双曲线二一二=1(a>0,b>0)外，则过P。作双曲线的两条切线切点为Pi、P2，则

ab~

切点弦PF2的直线方程是学-浑=1.

a~b-

7.双曲线二一谷=1(a>0,b>o)的左右焦点分别为Fi，F2,点P为双曲线上任意一点NKPK=7,

a"b~

则双曲线的焦点角形的面积为&=b%ot乙.

斗/「22

22

8.双曲线\一==1(a>0,b>o)的焦半径公式：(6(—c,0),8(c,0)

ab~

当M(%,%)在右支上时，|M£|=eXo+a,|M巴

当M(x0,%)在左支上时,|MF{|=-ex0+a,\MF2\=-ex0-a

9.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别

交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF_LNF.

10.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,AkA2为双曲线实轴上的顶点，AF和A?Q交于

点M,A2P和AiQ交于点N,则MFJ_NF.

x2y2

2AB

11.AB是双曲线=一r=1(a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦，M(%,yo)为的中点，则

a-y0ay0

r2y2

12.若兄(%,%)在双曲线r—二=1(a>0,b>0)内，则被Po所平分的中点弦的方程是

ab

22

xoxyoyx0__纯

/b2~a2b1,

22

13.若用(%,%)在双曲线=1(a>0,b>0)内，则过Po的弦中点的轨迹方程是

ab“

22

__3r二与x

/一记一k丁

椭圆与双曲线的经典结论

椭圆

(a>b>o)的两个顶点为A(—a，0),A2(a,0),与y轴平行的直线交椭圆于PLP2时

AR与A2P2交点的轨迹方程是0-七=1.

2.过椭圆力+方=1(a>0,b>0)上任一点4不,为)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B.C两点,

则直线BC有定向且左跋=£卢(常数).

22

3.若P为椭圆「+3=1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,R,F2是焦点，NPF；K=a,

ab

aB

NPFE=/3,则"工tan——

a+c22

22

4.设椭圆二+与=1(a>b>0)的两个焦点为R、F"P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在△PBF2

ab

sinc

中，记/耳?乙=。，4PFE=B/F\F‘P=y,则有----------=—=e

sinp+sin/a

X22

5.若椭圆r+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为Fi、F2,左准线为L,则当0<«五行一1时,可

a

在椭圆上求一点P,使得PF,是P到对应准线距离d与PF?的比例中项.

22

6.P为椭圆二+[=1(a>b>0)上任一点,FI,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则

ab~

2a-1AF21<|PA\+\PF,\<2a+\4用,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.

7.椭圆包—，广+。一；。)2=1与直线Ax+By+C^Q)有公共点的充要条件是

矿b

A2a2+B~b2>(A/+By。+C)2.

22

Xy

8.己知椭圆r+=1(a>b>0),0为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPLOQ.(1)

a~

11*+2⑵]。叫做产的最大值为黑；⑶的最小值是黑.

-\--O--P---\-72---1-0----2---1T2

22

9.过椭圆，+春'=1(a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交

IPF\

x轴于P,则士」=£e.

\MN\2

22

10.已知椭圆，+方=1(a>b>0),A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点

222

n/nla-ha-b-

P(x(),0),则--------</<-------.

aa

22

11.设P点是椭圆=+二=1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,B、F2为其焦点记/"PE=6,则

矿b

2b2

(l)l^\\PF[------------.(2)SAP/F2=btan—.

21+cos0

22

12.设A、B是椭圆「+与=1(a>b>0)的长轴两端点，P是椭圆上的一点，APAB=a,

a-b~

2ah2|cosa|

NPBA=/3,NBPA=y,c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)|尸川=・⑵

a2-c2cos2y

tanatan夕=1-e?.(3)SAPAB=---7cot/.

h~_ci~

x2y2

13.已知椭圆=+==1(a>b>0)的右准线/与x轴相交于点E,过椭圆右焦点R的直线与椭圆相交

ab~

于A、B两点，点C在右准线/上，且BCLx轴，则直线AC经过线段EF的中点.

14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线

垂直.

15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

16.椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).

(注:在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)

17.椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.

18.椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

双曲线

1.双曲线与=1(a>0,b>0)的两个顶点为4(-。,0),43,0)，与y轴平行的直线交双曲线

a

22

于Pi.P2时AiP,与A2P2交点的轨迹方程是=1.

ab

22

2.过双曲线=1(a>0,b>o)上任一点4(%,%)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于

a"b"

b2

B,C两点，则直线BC有定向且彳x也(常数).

«%

22

3.若P为双曲线二-二=1(a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,Fi,F2是焦点,

矿片

ZPF}F2-a.ZPF2Fi-/3,则^―-=tan—(或^―-=tan—cot—).

c+a22c+a22

22

4.设双曲线4=1(a>0,b>0)的两个焦点为B、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点，

a~tr

cin/y「

在△PF1F2中，记NPF\F2=B，/F\RP=y，则有一----------=—=e.

±(sin/-sin/?)a

22

5.若双曲线与一与=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为