高中数学：垂直的判定与性质导学案

第21讲垂直的判定与性质

［玩前必备］

1.直线与平面垂直

图形条件结论

L三7bUa(b为a内的任意直线)a_La

判定aA-m,m、〃Ua,Q_LQ

b

a//bab-La

J9

bUaaVb

性质4

ab

〃_La,h.Laallb

2.两个平面垂直

(1)平面与平面垂直的定义

如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.

(2)平面与平面垂直的判定定理

文字语言图形语言符号语言

判定如果一个平面经过另一个平面的一条/—A/U©

定理垂线那么这两个平面互相垂直L1J/_LaJ

(3)平面与平面垂直的性质定理

文字语言图形语言符号语言

a邛、

如果两个平面垂直，那么在b

性质aC°=a

一个平面内垂直于它们交线

定理

的直线垂直于另一个平面

£17/J_a>

［玩转典例］

题型一直线与平面垂直的判定与性质

例1如图所示，在四棱锥P—ABC。中，左，底面ABCQ,ABVAD,AC±CD,ZABC

=60。，PA=AB=BC,E是PC的中点.

证明：(1)CC_LAE；

(2)PO_L平面ABE.

［玩转跟踪］

1.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB_L平面布£>,AB//DC,PD^AD,E是P2的中

点，尸是。C上的点且=%B,P”为△以。中A。边上的高.求证：

(1)P//_L平面ABCC；

(2)EF_L平面PAB.

2」创新题型］如图，直三棱柱ABCAiBiG中,AC=BC=\,ZACB=90°,。是48的中点，F在上.

(1)求证:CQ_L平面AAiBB；

(2)在下列给出三个条件中选取哪两个条件可使45,平面GDF?并证明你的结论.

①尸为的中点；②AB尸小;③AA产小.

题型二平面与平面垂直的判定与性质

例2如图，在平行四边形A8cM中，AB=AC=3,NACM=90。.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到

达点。的位置，且4BJ_D4.

(1)证明：平面ACCJ■平面ABC；

2

(2)0为线段AO上一点，P为线段BC上一点，且8P=D0=］D4,求三棱锥Q-ABP的体积.

［玩转跟踪］

1.在平行六面体A8C£>-48iGA中，AA^AB,AB1±B|Ci.

求证：(1)48〃平面AiBiC；

⑵平面ABBiA|_L平面A\BC.

2.如图，四棱锥尸-ABC。的底面是矩形，以，平面A8CC,E,尸分别是AB,尸。的中

点，且以=AD

求证：(1)AF〃平面PEC；

⑵平面PEC_L平面PCD.

题型三垂直中探索性问题

例3如图，在三棱台ABC-QEF中，CF_L平面。EF,ABLBC.

(1)设平面ACEC1平面求证：DF//a-,

(2)若EF=CF=2BC,试问在线段BE上是否存在点G,使得平面G_L平面C£>E?若存在，请确定G点

的位置；若不存在，请说明理由.

［玩转跟踪］

1.如图，已知三棱柱ABC-A'B'C的侧棱垂直于底面，AB^AC,NR4C=90。，点M,N分别为A'3和

B'C'的中点.

(1)证明：MN〃平面44'CC；

(2)设,当/为何值时，CN_L平面A'MN,试证明你的结论.

2.如图所示，平面ABCQ_L平面8CE,四边形ABCD为矩形，BC=CE,点F为CE

的中点.

（1）证明：AE〃平面BOF；

（2）点M为CC上任意一点，在线段4E上是否存在点P,使得PMLBE?若存在，

确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.

［玩转练习］

1.已知直线/和平面a,£,且/Ua,则是“a邛”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.如图，在以下四个正方体中，直线A8与平面C£>E垂直的是（）

A.①②B.②④

C.①③D.②③

3.如图，在斜三棱柱ABC-AiBiG中，NA4c=90。，BCtlAC,则G在底面ABC上的射

影H必在（）

A.直线AB上B.直线BC上

C.直线AC上D./MBC内部

4.已知〃?，〃是空间中两条不同的直线，a,4是两个不同的平面，且机Ua,”U0.有下列命题：①若a〃尸,

则修〃〃；②若a〃“，则③若aC£=/，且则a_L£；④若aC0=l,且ml.n,

则其中真命题的个数是（）

A.0B.1

C.2D.3

5.（多选）如图，AC为圆。的直径，/PC4=45。，%垂直于圆0所在的平面，2为圆周

上不与点4,C重合的点，4SJ_PC于S,ANLPB于-N,则下列选项正确的是（）

A.平面ANS_L平面PBC

B.平面ANSJ_平面以B

C.平面B48_L平面PBC

D.平面ABC_L平面物C

6.（多选）如图，在三棱锥V-ABC中，VO_L平面ABC,O&CD,VA=VB,AD=BD,则下列结论中一定成

立的是（）

A.AC=BC

B.ABA.VC

C.VCLVD

D.S/WCD-AB-S&ABCVO

7.（多选）如图，已知四边形ABC。是边长为1的正方形，MD_L平面ABCD,、8_1平

面A8C£>,且MC=NB=1,E为MC的中点，则下列结论正确的是（）

A.平面BCE_L平面A8N

B.MCLAN

C.平面CMN_L平面AMN

D.平面8OE〃平面AMN

8.如图，在直角梯形A8CD中，BCLDC,AE1DC,且E为CD的中点，M,N分

别是AD,BE的中点，将△AOE沿4E折起，则下列说法正确的是.（写出

所有正确说法的序号）

①不论D折至何位置（不在平面ABC内）,都有〃平面DEC；

②不论D折至何位置（不在平面ABC内）,都有MNLAE；

③不论D折至何位置（不在平面ABC内）,都有MN〃AB；

④在折起过程中，一定存在某个位置，使ECLAD

9.如图，在直三棱柱ABC-45G中，侧棱长为2,AC=BC=1,NACB=90。，。是AiB\

的中点，尸是8历上的动点，AB\,£>下交于点E要使A5,平面CQF,则线段的长为

10.在直三棱柱48。-48|©中，平面a与棱A8,AC,AC”A|8i分别交于点E,F,G,H,且直线AAi

〃平面a.有下列三个命题：①四边形EFG