新教材人教A版高中数学必修第二册 第六章平面向量及其应用课时练习及章末测验（习题含解析）

第六章平面向量及其应用课时练习及章末测验

本文档还有大量公式，网页中显示可能会出现位置错误的情况，下载后可正

常显示及编辑，欢迎下载！

6.1平面向量的概念......................................................-1-

6.2.1向量的加法运算....................................................-5-

6.2.2向量的减法运算....................................................-8-

6.2.3向量的数乘运算...................................................-10-

6.2.4第1课时向量数量积的概念及性质.................................-13-

6.2.4第2课时向量数量积的运算律.....................................-15-

6.3.1平面向量基本定理.................................................-18-

6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示....................................-21-

6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示....................................-21-

6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示......................................-25-

6.3.5平面向量数乘积的坐标表示........................................-27-

6.4.1平面几何中的向量方法.............................................-30-

6.4.2向量在物理中的应用举例...........................................-33-

6.4.3.1余弦定理........................................................-36-

6.43.2正弦定理........................................................-39-

643.3第1课时距离问题.............................................-42-

6.4.33第2课时高度、角度问题.......................................-46-

章末质量评估（六）.......................................................-51-

6.1平面向量的概念

A级基础巩固

1.下列命题正确的是（）

A.单位向量都相等

B.模为0的向量与任意向量共线

C.平行向量不一定是共线向量

D.所有方向相同的向量都相等

解析:在选项A中,单位向量的大小相等，都是1,但方向不一定相同,故单位向量不一定相

等,故选项A错误;在选项B中，模为0的向量为零向量，零向量与任意向量共线,故选项B正确；

在选项C中，平行向量一定是共线向量，故选项C错误;在选项D中，方向相同,但长度不一定相等,

故选项D错误.

答案:B

2.下列说法不正确的是（）

A.向量的模是一个非负实数

B.任何一个非零向量都可以平行移动

C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量

D.两个有共同起点且共线的向量终点也必相同

解析:显然，选项A,B,C不符合题意.方向相同或相反的向量都是共线向量,起点相同时终

点不一定相同，所以选项D符合题意.

答案:D

3.如图所示，在等腰梯形ABCD中，

①荏与而是共线向量;②而=而;③荏〉方.

以上结论中正确的个数是()

二

A.OB.lC.2D.3

解析:因为荏与前的方向不相同也不相反，所以而与而不共线，故①不正确;由①可知②

也不正确;因为两个向量不能比较大小*所以③不正确.

答案:A

4.如图所示，己知正方形ABCD的边长为2,点0为其中心，则|而|=返

解析:因为正方形A8C力的边长为2,所以其对角线长为2企，所以|海|=让.

5.如图所示,四边形ABEF和四边形8COE均是边长为1的正方形,在以点A,8,C,O,E,尸为

起点和终点的向量中，

(1)写出分别与赤，荏相等的向量；

(2)写出与标的模相等的向量.

解:连接(图略).

(1)与而相等的向量有屁，而,与荏相等的向量有前.

(2)与而的模相等的向量有而，不,丽.

B级能力提升

6.如图所示,四边形ABC。、四边形CEFG、四边形CG”。是互相全等的菱形，则下列关系

不成立的是（）

\.\AB\=\EF\B.同与丽共线

CJBD=EHD.反与沅共线

解析:选项A一定成立，选项B一定成立，方与前共线，故选项D也成立，只有选项C不成

立，故选C.

答案:C

7.中国象棋中规定:马走“日”字.中国象棋的部分棋盘如图所示（示意图）,若马在A处,可跳

到4处，也可跳到A2处，用向量根或就表示马走了“一步”.试在图中画出马在B,C处走了“一

步”的所有情况.

解:根据规则，作出符合要求的所有向量，如示意图所示.

8.如图所示，方格纸由若干个边长为1的小正方形组成,方格纸中有两个定点点C为

小正方形的顶点，且尼=花.

(1)画出所有的向量前；

(2)求说的最大值与最小值.

解:(1)画出所有的向量前，如图所示.

(2)根据(1)中所画的图进行解决，

①当点C位于点C\或点Ci时玩|取得最小值，为+22=明；

②当点C位于点C5或点C6时就|取得最大值，为V42+52="1.

所以|前|的最大值为"T,最小值为冬.

C级挑战创新

多选题|在四边形ABCD中,若荏与而是共线向量，则四边形A8CQ可能是()

A.平行四边形B.梯形

C.矩形D.菱形

解析:在四边形ABCD中，因为施与而是共线向量，所以

A8〃CD但|而|与|而|可能相等,也可能不相等，所以四边形ABCD可能是平行四边形、梯

形、矩形、菱形.

答案:ABCD

多空题帆图所示，两人分别从A村出发，其中一个人沿北偏东60。方向行走了1km到了

B村，另一个人沿北偏西30。方向行走了百km到了C村，则B,C两村相距2km;B村在C村的

南偏东60。方向上.

解析油题可知|而|=1,|而|二百,NCAB=90°,»]\BC\=2.因为

1211/4。8=丝1=4=@.所以/4磁=30°.故8,C两村

\AC\V33

6.2.1向量的加法运算

A级基础巩固

1.下列等式中不正确的是()

A.a+O=aB.a+b=b+a

C.|a+Z>|=|a|+|引DAC^DC+AB+BD

解析:当a与b方向不同时Ja+b国a|+|b|.

答案:C

2.如图所示,四边形A8C£>是梯形工£>〃8C,对角线AC与8。相交于点。，则

瓦?+记+南+前等于()

A.CDB.DCC.DAD.DO

^lr：OA+BC+AB+Dd=DO+OA+AB+BC=DA+AB+BC=DB+

BC=DC.

答案:B

3.在矩形ABCZ)中，若|而|=4,|而|=2,则向量荏+而+前的长度为()

A.2V5B.4V5C.12D.6

解析:因为南+而=而，所以南+而+前的长度为正的模的2倍.因为|前|=曰2+22=2遍,

所以向-IAB+AD+AC的长度为4V5.

答案:B

4.化简下列各式：

(\)AB+BC+CA^;

(2)0A+0C+B0+W=BA；

(3)(XB+MB)+(B0+fiC)+0M=Zc.

解析:(1)近+近+石?=照+涌=0.

.’，''一一.""♦'—■―”,…’.1,•…*',.，-'••一•■■>

⑵O4+OC+BO+CO=(CO+O4)+(BO+OC)=CA+BC=B4

(3)瀛+丽)+(称•前)+丽二丽+南+丽+(而+硝=0+送前.

5.如图所示，两个力吊和B同时作用在一个质点。上，旦H的大小为3N,B的大小为4N,

且NAO8=90。,试作出H和尸2的合力，并求出合力的大小.

B

解:如图所示.

方表示力Q,而表示力巳,以OA.OB为邻边作平行四边形OACB,

则0C是力Q和尸2的合力.

在△OAC中,|万?|=3,|彳？|=|而|=4,且OA±AC,

则|沅|=J|瓦铲+|正『=5,

即合力的大小为5N.

B级能力提升

6.若a.b为非零向量，且|a+川=|。|+网,则（）

A.a〃仇且a与b方向相同

B.a,b是共线向量

C.“=-b

D.a,b无论什么关系均可

解析:当两个非零向量a与b不共线时,a+b的方向与的方向都不相同，且|a+司＜|a|+向;

向量a与人同向时,的方向与a,b的方向都相同，且|a+b|=|M+|W;向量a与b反向且|。|＜|引

时,a+b的方向与b的方向相同（与a的方向相反）,且|。+川=步|-|。|响量a与b反向且|a|＞网时,

同理有|a+b|=|a|-|b|.

答案:A

7.如果点G是△ABC的重心，那么乱+林+元=&

解析:如图所示,连接AG并延长交8c于点E,点E为BC的中点，延长AE到点D使GE=ED,

则9+元=而，而+@?=0,所以褊+福+诧=0.

8.如图所示,/4。8=/次兀=120。,|应?|=］而1=1沅I,求立?+而+沆.

解:如图所示，以OA,OB为邻边作平行四边形OAO8.

由向量加法的平行四边形法则，知6?+而=而.

由\OA\=\OB\,NA08=120°,知/6。£>=60°,|而|=|而

因为/（：。8=120°,且|而|=|沅|,

所^OD+OC=0,iWA+OB+OC=0.

C级挑战创新

多空题|若向量a,b满足⑷=8,网=2,则M+勿的最大值为由最小值为6.

解析:由向量加法的三角形法则，知

II叶网国。+8区］。|+网，即困a+WW10.

多空题|若a等于“向东走8km”力等于“向北走8km”,则|。+引=

8V2km,g+/）的方向是北偏东45。.

解析:如图所示.

设荏=a,就=6.则冠=。+瓦且△ABC为等腰直角三角形，则|前|=

8V2km,/5AC=45°.

6.2.2向量的减法运算

A级基础巩固

1.如图所示，而+近-同等于()

A.AD

C.DBD.AB

._—>>■■•,,,,一■'>♦>一.■♦一■,

^'fi：AB+BC-AD^AB-AD+BC^DB+BC^DC.

答案:B

2.下列四个式子中可以化简为费的是()

①方+而-前;②前.函③画+两④通赤

A.①④B.①②

C.②③D.③④

解析:因为前+而-前二而-丽二而+而=荏，砺-瓦?=布,所以①④可以化简为荏.

答案:A

3.若向量a,b方向相反，且⑷=网=1,则|o-5|=2.

解析:由题意可知\a-b\=2.

4.已知|M=7,网=2,且a//4则1。・〃1=5或9.

解析:当a马b方向相同时,|n-b|=|M-网=7・2=5;

当。与〃方向相反时,|用用=同+网=7+2=9.

5.如图所示，四二a,前二6,前二c,屁二d,瓦?二e,解答下歹ij各题:

(1)用a,d,e表示丽;

(2)用b,c表示丽；

(3)用a,b,e表示近;

(4)用d,c表示说.

解:(1)DB=DE+EA+AB=d+e+a\

⑵丽=-前=-(近+而)=6-c;

(3)EC-EA+AB+BC=e+a+h',

(4)EC=-CE=-(CD+DE)=-c-d.

B级能力提升

6.设点M是线段BC的中点，点4在直线BC外,|而|=4,|荏+照|=|荏-无则|而j=

()

A.8B.4C.2D.1

解析:以荏，后为邻边作平行四边形ACQ8(图略)，则由向量加、减法的几何意义可知

AD^AB+AC^CB^AB^AC.

因为|通+近|=|同-近|,

所以|而|=|而

因为四边形ACDB为平行四边形，

所以四边形ACDB为矩形，所以AC_LAB,

所以AM为RtA/lfiC斜边BC上的中线，

所以|病|=今前1=2.

答案:C

7.已知点0为四边形ABCD所在的平面内的一点，且向量万彳，而，沆，而满足等式

瓦?+比=而+说,若点E为AC的中点，则等空=()

,△BCD

A.-B.-C.-D.-

4233

解析:因为向量力?，而，瓦，而满足等^OA+OC=OB+OD,

所以瓦•丽=丽-沆.即瓦?=而，

所以四边形ABCD为平行四边形.因为点E为AC的中点，所以点E为对角线AC与8。的

交点，所以SAEAB=S4ECD=S4ADE=SABCE,所以，上竺=今

,△BCD2

答案:B

8.如图所示，已知在矩形ABCD中而|=4遮J荏|=8.设施=a,近=瓦丽=c，求|a-b-c|.

解:已知而=就=6,且荏=。菽="前=(\

....,'■"一,,"一”,■'一"'♦..........>......

所以|ad-c|=MB-BOBZJ|=|4B-4D-B0=|/)B-B£>|=2|B0.

在矩形ABCD中，因为|而|=4百,|而|=8,

所以|前|=4歹，所以|a-b-c|=8d7.

C级挑战创新

多选题府可以写成()

A.AO+OCB.XO-OC

C.O4-0CD.OC-M

解析:因为40+0C=4C,0CQ=4C,所以选A、D.

答案:AD

多空题|若菱形ABCD的边长为2,则向量而-而+3的模是2:|一|的取值范围是(0,4).

解析:因^]AB-CB+CD=AB+BC+CD=AD,

且|而|=2,所以|而-而+而|=|而|=2.

因为前=荏+而,且在菱形ABCD中而|=2,

所以||48卜|4。||<|4£1<|48|+|40,

即0<|而<4.

6.2.3向量的数乘运算

A级基础巩固

1.已知2WR,则下列结论正确的是()

A.|M二2|a|

B.\Xa\=\A\a

C.M=W\a\

D.|za|>0

解析:对于选项A,当A<0时,“留⑷;对于选项BJM是实数,囚。是向量，故|加用40;对于选项

D,当A=0时，应i|=0.只有选项C正确.

答案:C

2.a△ABC中，点M是BC的中点，则荏+照=()

A.-AMB而C.2AMD曲

2

解析:如图所示，作出平行四边形ABEC,因为M是8c的中点，所以M也是AE的中点，所以

AB+AC=AE^2AM.

答案:C

3.已知Ia,b是不共线的向量，而。i+2仇冠="+(加1血且A,B,C三点共线,则实数2的值为

()

A.-lB.2

C.-2或1D.-1或2

解析:因为48,C三点共线，

所以存在实数k使而=4而.

因为4B=2a+2B,4C=a+(/-l)仇

所以Xa+2b-k[a+(A-1)/>|.

(入=k

因为〃与。不共线,所以、J八

(2=fc(A-l),

解得A=2或z=-i.

答案:D

4.设向量a,b不平行，向量ka+b与Q+2b平行,则实数2=|.

解析:因为向量a,b不平行，所以行2匠0.

因为向量相+。与a+2b平行,所以存在唯一的实数"，使为+。=〃(。+2力),即:xt+b=N(i+2jib,

则忆黑解得句心

5.在四边形ABCD中，荏=2a-3b,前=-8a+b,而=-IOa+4人且a,b不共线，试判断四边形

ABCD的形状.

解:因为4B=2a-3瓦8c=-8a+8,CD=-10a+46,

所以同=荏+前+而=-16a+2”

所以而=2近，

所以AD〃BC,AD=2BC.又易知A8不平行于CD,

所以四边形A8CD是梯形.

B级能力提升

6.如图所示工B是。。的直径，点C,D是半圆弧AB上的两个三等分点，荏=a,而=人则而:

cD

A.a--Z>B.-a-b

22

C.a+-bD.-a+ft

22

解析:连接CD,OR如图所示.

因为点C,D是半圆弧A8上的两个三等分点，

所以AC=CO,NC4O=NOAB=ZX600=30。.

2

因为OA=O£>,所以NAQO=ND4O=30°.

由此可得/。。=/AOO=30°,所以AC〃。0.

由AC=C。，得NC£M=NC4£>=30。，

所以/CZM=/£)AO,所以CC〃AO,

所以四边形ACDO为平行四边形，

^^AD=AO+AC=^AB+AC=^a+b.

答案:D

7.在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点。，点E是线段OD的中点,AE的延长线与CD

交于点E若冠=a,而=6,则方等于()

11.c12,

AA.pH■•-bB.-Q4•-b

4233

11.2.1,

C-a+-bD.-a+-ft

2433

解析:由题意可知△OEFs△3E4,

所以竺二"』,所以DF上AB,

BABE33

..-----*-----*-----*，*1----->

^^AF=AD+DF=AD+-AB.

3

因AC=AB+AD=ajD=AD-AB=b,

所以联立得4B=；(a1),4D=?a+b),

....，1121

所以A/7=-([+〃)+-(。-力)=一。+—0.

2633

答案:D

8.已知两个非零向量a与b不共线，6?=2。6,而=。+34而=履+54

(1)若265-赤+元=0,求k的值；

(2)若A,B,C三点共线，求k的值.

解:(1)因为2市-而+而=2(2a-Z»)-a-3力+依+5%=(%+3)a=O,所以％=-3.

(2)AB=OB^OA=-a+4b^AC=OC-OA=(k-2)a+6b.ShA.B.C三点共线，所以可设标=7而，所以

(k-2)a+60=-2a+4〃>.因为a.b不共线，所以f'"一解得|I所以k=~.

(6=44,2

C级挑战创新

多选题|设a是非零向量）是非零实数，下列结论正确的是（）

A.a与-2a的方向相同或相反

B.|-^|>|a|

C.a与22a的方向相同

D.|-2a|=|A|a

解析:A项正确，因为当/取负数时,a与Ua的方向是相同的，当力取正数时,a与-%的方向相

反;B项错误，因为当|力<1々知）时,Ha|<|a|;D项错误，等号左边的结果是一个数，而右边的结果是一

个向量,不可能相等;C项正确，因为乃（1和）一定是正数，故a与万。的方向相同.

答案:AC

多空题|在△ABC中，点MN分别在AC,8c上，且满足祠=2近，丽=配.若而=入荏+），前,

则x=1,y=-i.

解析:由题中^^■,^'MN=MC+CN=-AC+-CB^-AC+-（AB-AC）^-AB--AC=xAB+\:AC,^以

323226

11

户？尸力

6.2.4第1课时向量数量积的概念及性质

A级基础巩固

1.下列说法中正确的是（）

A.若a翔，则对任意原0,有a•厚0

B.若。♦方=0,则a,b中至少有一个为0

C.|a•力|表示向量a*b的长度

D力在a方向上的投影可能是正数，可能是负数，还可能是0

解析:选项A、B都是错误的，因为不但零向量与任意向量的数量积为0,而且互相垂直的

两个非零向量的数量积也为0.选项C错误，因为是数量,|。切表示其绝对值.选项D是正确的.

答案:D

2.若Qb>0,则a与b的夹角。的取值范围是()

A.[0=)B.[p7t)C.(pJt]D.(pn)

解析:因为aS>0,所以cos0>0,

所以，任[0E).

答案:A

3.已知网=5,〃/=12,则向量。在〜方向上的投影为苦.

解析:因为a在b方向上的投影为⑷cos。，且cos汽珞，

所以|a|cos0=^-=—.

回5

4.若et,e2是单位向量，且e「e2,则et与e2的夹角等于120。.

解析:设ei,e2的夹角为•由已知期|=怛2|=1,

所以ei,62=1x1xcos叙-/因此供;120°.

5.如图所示,在平行四边形ABC。中，已知|荏|=4,|而|=3,

NZMB=60。,求：

⑴而•丽(2)ABCD-,(3)ABDA.

解:(1)因为而与前共线且同向，所以而反=3x3xcos0°=9.

(2)因为荏与而共线且反向，所以荏•而=4x4xcos180°=-16.

⑶因为彳目与方彳的夹角为120。,所以彳瓦市=4x3xcos1200=-6.

B级能力提升

6.定义:|axb|=|a|网sin仇其中。为向量a与b的夹角.若⑷=2,

团=5°6=一6,则|ax"等于()

A.8B.-8C.8或-8D.6

解析:因为a・b=|a||b|cos0=2x5xcos-6,所以cos.因为［0,兀］，所以sin生最所以

4

|axZ>|=|a||b|sin0=2x5x-=8.

答案:A

7.在等腰直角三角形ABC中力C是斜边，且而•亚=；,则该三角形的面积等于;.

24

解析:设RtAAfiC的直角边长为“，则斜边长为岳，于是而米=“•伍争/三,从而a当

于是3潜蜡4

8.已知⑷=6,e为单位向量，当它们之间的夹角。分别等于60。、90。、120。时，求出a在e

方向上的投影向量.

解:a在e方向上的投影向量为141cos0e.

当伊600时,a在e方向上的投影向量为|a|cos60°e=3e;

当G90°时。在e方向上的投影向量为⑷cos90°e=0;

当编120°时在e方向上的投影向量为⑷cosl2(Te=-3e.

C级挑战创新

多选题已知a,b都是单位向量，则下列结论中一定正确的是()

A.aZ>=lB.a2=62

C.a//b=a=b或a--bD.a6=0

解析:单位向量是指模为1的向量，对方向没有要求，因此夹角也是未知的,故选项A、D不

一定正确，易知选项B,C正确.

答案:BC

多空题在AABC中，若NC=9(r/C=BC=4,则？X而=。，

ABBC=-16.

解析:因为NC=90。,所以后?•而=0.

因为4C=BC=4,所以A8=4近，所以aABC为等腰直角三角形，所以NABC=45。,所以荏与

近的夹角为135。,所以存•前=4或x4x

cos135°=-16.

6.2.4第2课时向量数量积的运算律

A级基础巩固

1.若向量。与》的夹角为6(T,|b|=4,(a+2b>(a-3b)=-72,则向量a的模为()

A.2B.4C.6D.12

解析:因为(a+2Z>>(a-3b)=-72,所以61bl?=-72.因为a-b-

|a|x4cos60°=2|3,所以|a『-2⑷-96=-72,解得|@|=6.

答案:C

2.己知a,b均为单位向量，它们的夹角为60。,那么|a+3b|=()

A.A/7B.710C.V13D.4

解析:因为|。+3。|2=(。+38)2=。2+9/+6。・/>=1+9+6|a||0|cos60°=13,所以|"+3加='\/1^.

答案:C

3.己知|"|=|加=1,”与h的夹角是90°,c=2a+3b,d=ka-4bx与d垂直，则k的值为()

A.-6B.6C.3D.-3

解析:因为c与d垂直，所以c・d=0,所以(2。+3，>(*。-40)=0,所以2ka2-Sa-b+3ka-b-12b2=O,^

以2七12,所以k=6.

答案:B

4.在△ABC中，若|同|=3,|就|=8,NABC=60。,贝iJ|X?|=Z

解析:因为前=近-瓦^所以|前F=(方-a)2=|前F+|瓦^2一2阮•瓦^

82+32-2X8X3XCOS600=49,所以|福=7.

5.已知⑷=1,(a-b>(a+8)=/

(1)求a与b的夹角9-

⑵求|a+外

解:⑴因为(a-Z>)•(a+〃)="2/2苫,⑷=1,

所以32=42-：=片=3所以步|=孝.

所以COS

同向a*2

因为ee[0,矶所以伊T，故a与。的夹角为;.

⑵|a+b|=I(a+b)2=yJa2+2a-b+b2=^-.

B级能力提升

6.如图所示，在D4BCQ中，若AB=\,AD=2,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD边上的中点，则

'EF-'FG+GH-TiE^()

ER

解析:易知四边形EFGH为平行四边膨，如图所示，连接HP,取HF的中点0,

则E尸/G=E?£H=(EO-OH)・(EO+OH)=EO2-OH2=L(±)2==

24

G...H>HE>=GH’G'F''>=(GO’+OH).(GO・・…O”…H)=GO'c2・'O——H,c2=l-1(3~2=z，

因此丽•前十而泥金.

2

D____G

答案:A

7.已知ei,©2是平面单位向量，且e「e2=：.若平面向量b满足万ei="e2=l,则|"=手.

解析:令ei与e?的夹角为0,

所以e「e2=|ei|・|e21cos8=cos6*=j.

因为0°«先180°,所以6H60°.

因为b'{e\-e2)=0,b'e\=\,

所以b与d冏的夹角均为30°,

所以"ei=|6||ejcos30°=1,

8.已知⑷=2网=2,且向量Q在向量的方向上的投影为-1.

(1)求。与b的夹角8;

(2)求(af;

⑶当A为何值时,向量相+》与向量a-3b互相垂直？

解:(1)因为⑷=2团=2,所以⑷=2,团=1.

因为a在〃方向上的投影为|a|cos6=-\,

所以d'fr=|a||Z)|cosQ-1,所以cos0=-：.

因为，丘［0,矶所以仇号.

(2)(a-2b)-b-a-b-2b2=-l-2=-3.

(3)因为Aa+b与a-3b互相垂直，

所^(Aa+b)(a-3b)=Aa~-3Aa-b+b-a-3b2=4A+3A-1-3=74-4=0,所以％=3

C级挑战创新

|对任意向量a,"下列关系式中恒成立的是

A.\a-b\>\a\\b\

B.|a-*|<||a|-|*||

C\a+b)2=\a+b\2

D.(a+b)\a-b)=a1-b2

解析:根据。•。=IMWIcos仇且cosOWl,知|0・。凶”|网,选项A不恒成立;当向量a和。方向不

相同时,|。-力|>||。|-网选项B不恒成立;根据|a+0|2=〃2+2a・b+力2=(。+)选项C恒成立;根据向量

的运算性质得选项D恒成立.

答案:CD

多空题|若非零向量a,b满足⑷=1,且(ad)・(〃+A)=点则网二苧.若a・〃=g时,则向量。与)

的夹角夕的值为史.

解析:因为(。-办(。+〃)二/

所以a2-Z>2=i,

2

所以网2=|.吗=1一衿，所以|Z»|二M负值舍去).

因为cos族£=它,且0。5公180°,

|a||o|2

所以<9=45°.

6.3.1平面向量基本定理

A级基础巩固

1.如图所示，向量等于()

A.-4e)-2e2B.-2ei-4e2

C.e\-3c2D.3e「e2

解析:令a=CA,b=CB,

则谦=瓦4由平行四边形法则可知瓦Xe「3e2.

答案:c

2.如图所示,在矩形ABCD中，若灰=5的,灰二362,则历:

B5ei

A.[(5ei+3c2)B.i(5ei-3e2)

C*3e2-5ei)

D.-(5e2-3ei)

解析:方《^C=1(BC+AB)=i(BC+DC)=i(5e1+3e2).

答案:A

3.已知A,B,D三点共线,若对任意一点C,都有而而则A=()

解析：因为A,B,D三点共线，所以存在实数f,使标"四，则而-石？="方-乙？),即

.，♦・'"•一"♦♦1

CD=CA+t(CB-CA)=(\-t)CA+tCB.

z4

所以［1"=丁故H.

♦—13

答案:c

4.设｛幻㈤,｛。乃｝分别表示平面内所有向量的两个基底且a=ei+2e2,5=-ei+e2,则用向量a,b

表示向量e1+e2为彳*.

解析:因为a=0+2攵(D,b=-e\+e2②，

所以①+②,得°+力=3。2,

所以02=等，代入②，得

5.已知向量a,b是不共线向量，实数x,y满足(3x-4y)a+(2x-3y)b=

6a+3大则x-y的值为工

解析:因为a与b不共线，

(3x-4y)a+(2x-3y)h=6a+3b,

所以代4y='解得产=.所以x-y=3.

\2x-3y=3,D=3,，

6.如图所示，在△ABC中，力为BC的中点，前=］而，前=|前，设何=a，前=4

(1)试用a,b表示MN；

(2)试用a,b表示而.

A

nnc

解:(1)因为前=),前=:4

所以而=而一丽=1峥.

⑵连接AD(图略)，因为加=、,而=3。+0),

所以而=而-宿=》+如

B级能力提升

7.如图所示，在△A8C中，点D在BC边上，若而=痂前=,泡+

解析:因为而=|而=|(同-近),

所以L：,s=q，所以r+s=O.

答案:D

8.如图所示,已知点E,F分别是矩形ABCD的边BC,CD的中点,EF与AC交于点G,若

..,'一,..__.一，

AB=a,AD=b,H]a,b表示4G=()

ii.

AA.-a+-力B#?

44

C^a-bD.-a+-ft

4444

解析:易知而专CD,CE=jCB.

设，则由平行四边形法则可得而=，而+而)=22而+2比不.由于E,G,F三点共线,

则22+2/1=1,^^二1从而CG=12C4♦

44

从而而W福!(a+力.

答案:D

9.如图所示,。£尸分别是△ABC的边BC.CAAB上的点工。与EF相交于点G,已知

CD=2DB,AF=4FB,AG=mAD,AE=fAC.

(1)试用48,4。表示4。；

⑵若相告求*的值•

解:(1)因为前三前三(AC^AB)=^AC-^AB,

一一一>>'…，1,1>7>1,

^^AD=AB+BD=AB+^AC-^AB)=^AB+^AC.

(2)依题意，知而=-AB,AE=tAC,AG=-AD=-AB+-AC,所以

5236

一，…'・'’‘>1.......♦7....»..>一…,..>一一，A..»

FG=AG-AF=-AC--AB,FE=AE-AF=tAC--AB.

6155

因为E,F,G三点共线，所以设同二》而.

因为荏不共线，所以工=〃,二=±2,

6155

解得t=~.

7

C级挑战创新

多空题I在△A3C中，点MN满足前二2前，丽二配.若丽7=HS+y而，则

解析:因为祠=2就,所以前=|前.

因为8N=NC,所以4N=34B+4C),

所以丽=丽-丽节前+码-|前=］荏+记

因为“可=X48+)/。,所以x=|j'=-|.

6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示

A级基础巩固

1.如图所示,向量前W的坐标是()

A.(l,l)B.(-l,-2)C.(2,3)D.(-2,-3)

解析:由图知M(1,1),M-1「2),则MA?=(-1-1,-2-1)=(-2,-3).

答案:D

2.已知向量a*满足a+Z>=(l,3),a-b=(3,-3),则a.b的坐标分别为()

A.(4,0),(-2,6)B.(-2,6),(4,0)

C.(2,0),(-1,3)D.(-l,3),(2,0)

解析:2a=(a+b)+(aJ)=(l,3)+(3,-3)=(4,0),所以a=(2,0).

b=(a+b)-a=(1,3)-(2,0)=(1-2,3-0)=(-l,3).

答案:c

3.已知平面向量a=(x,l),b=(-x*),则向量a+b(.)

A.平行于y轴

B.平行于第一、三象限的角平分线

C.平行于x轴

D.平行于第二、四象限的角平分线

解析:a+%=(0,1+f),故平行于y轴.

答案:A

4.在平面直角坐标系。町中,已知点A(3,5),8(5,1),P(2,1),M是坐标平面内的一点.若四边形

APBM是平行四边形，则点M的坐标为(6,5).

解析:设M(x,y),则»=(-1<4),而=(5-x,l-y).

因为四边形APBM是平行四边形，

所以衣=祈不，

所以(-l,-4)=(5-x,l-y),

所以伊7

(1-y=4

所以『建

{y=5.

所以点例的坐标为(6,5).

5.在平面直角坐标系。孙中，向量a,b,c的方向如图所示，且|a|=2,团=3,|c|=4,分别计算出它

们的坐标.

解:设a=(a］,也)力=(。i力2),c=(c1,。2),

则〃］二|〃|cos45°=2x^=V2,

。2=|。Isin45°=2x^=V2,

b尸网cos120°=3x(-1)=-|,

b2=\b\sin120。=3乂］二手，

CI=|C|COS(-30°)=4XY=2V3,

C2=|c|sin(-30°)=4x(-1)=-2.

因此。=(企,伪力=苧)，c=(2百,-2).

B级能力提升

6.若向量/B=(2,4),BC==(-227)/C=(〃2,2),m,〃WR,则m+n的值()

A.-2B.-lC.OD.1

解析:因为前二荏+玩，

所以("?,2)=(2,4)+(-2,2〃)，

即pn=2-2,所以.m=0,,

_贝m+n=-l.

(2=4+2n,n=-1,

答案:B

7.如图，在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线，荏=(2,4),石?=

(-L-3),则而=(3,5).

解析:在平行四边形ABCD中，

因为荏=(2,4),已?=(-1,-3),

所以m=(1,3),

所以前=尤-而=(1,3)-(2,4)=(-11).

所以而=沆+而=荏-芯=(2,4)-(-1,-1X3,5).

8.以原点0及点A(2b,-2)为顶点作一个等边三角形A08,求点B的坐标及向量方的坐标.

解:如图所示，因为△AOB为等边三角形,且A(2g.-2),

所以|0X|=|而|=|前1=4.

因为在0~27t范围内，以Ox为始边为终边的角为生，当点8在OA的上方，即点8在点

6

©时，以为终边的角为四,由三角函数的定义，得丽=(4cos-,4sin-)=(2百,2).

666

所以近=丽-瓦?=(26,2)-(2百,-2)=(0,4).

当点8在OA的下方，即点B在点B2时，以OB为终边的角为手，

由三角函数的定义，得而=(0,-4),

所以荏=而-m=(0,-4)-(2百,-2)=(-28,-2).

综上所述，点B的坐标为(26,2),荏的坐标为(0,4)或点B的坐标为(0,-4),荏的坐标为

(-273,-2).

C级挑战创新

多选题已知向量i=(l,0)J=(0,l),对坐标平面内的任意一个向量a,则下列结论正确的是

()

A.存在唯一的一对实数x,y,使得a=(x,y)

B.若。=(孙)1)=(也》2),则加=取,且力=”

C.若a=(x,y),且a翔，则a的起始点是原点。

D.若在0,且a的终点坐标是(x,y),则a=(x,y)

解析:由平面向量基本定理可知选项A正确，选项B正确;因为向量可以平移，所以a=(x,y)与

a的起始点是不是原点无关,故选项C错误;a的坐标为终点坐标，是以a的起始点是原点为前提

的,故选项D错误.

答案:AB

多空题己知。是坐标原点，点A在第一象限,|万?|=4V5,/XOA=

60°,则向量万?=(2百,6);若点8(百1),则瓦?=(8,7).

解析:设点A(x,y),贝'Jx=4V3cos600=2V3,y=4V3sin60。=6,即A(2V3,6),O71=(2V3,6).

因为8(百「1),所以瓦?=(2百,6)-(百1)=(百,7).

6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示

A级基础巩固

1.已知点41,1),8(4,2)和向量a=(2㈤，若a〃前,则实数7的值()

A.--B.-C.-D.--

3