高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第一册)第七章随机变量及其分布综合检测卷-2022-2023学年高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第三册)(原卷版+解析)

第七章随机变量及其分布综合检测卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知离散型随机变量X的方差为1，则（

）A．2 B．3 C．8 D．92．把一枚硬币连续抛掷两次，第一次出现正面为事件A，第二次出现正面为事件B，则（

）A． B． C． D．3．若随机变量的分布列如下，则（

）123PaA． B． C． D．4．若随机变量且，则（

）A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.345．某冷饮店的冰淇淋在一天中销量为200个，三种口味各自销量如表所示：把频率视作概率，从卖出的冰淇淋中随机抽取10个，记其中草莓味的个数为X，则（

）冰淇淋口味草莓味巧克力味原味销量（个）4060100A．5 B．3 C．2 D．1；6．某工厂生产的零件的尺寸(单位：)服从正态分布，任选一个零件，尺寸在的概率为（

）附：若，则．A．B．C．D．7．排球比赛实行“五局三胜制”，根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲､乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为（

）A． B． C． D．8．某实验测试的规则是：每位学生最多可做实验3次，一旦实验成功，则停止实验，否则一直做到3次为止.设某学生一次实验成功的概率为，实验次数为随机变量，若的数学期望，则的取值范围是（

）A． B． C． D．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得09．下列是离散型随机变量的是（

）A．某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数为B．某网站中某歌曲一天内被点击的次数为C．一天内的温度为D．射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用表示该射手在一次射击中的得分10．设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示：ξ－10123P则下列各式不正确的是（

）A．P(ξ＜3)＝ B．P(ξ＞1)＝C．P(2＜ξ＜4)＝ D．P(ξ＜0.5)＝011．已知某批零件的长度误差服从正态分布，其密度函数的曲线如图所示，则下列结论正确的是（

）.（附：若随机变量服从正态分布，则，，．从中随机取一件，．A．B．C．长度误差落在内的概率为0.1359D．长度误差落在内的概率为0.159912．某同学共投篮12次，每次投篮命中的概率为0.8，假设每次投篮相互独立，记他投篮命中的次数为随机变量，下列选项中正确的是（

）A． B．C． D．该同学投篮最有可能命中9次三．填空题本题共4小题，每小题5分，共20分13．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比賽，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，则表示______.14．对于随机变量X，它的数学期望和方差，下列所有正确的序号是______．①是反映随机变量的平均取值；

②越小，说明X越集中于；③；

④．15．袋中有个相同的球，其中编号为的球各个，从中不放回地依次抽取个球，以表示取到的2个球上的编号之和，则随机变量的均值___________．提示：记=第次取到的球上的数字，其中，则16．某大学选拔新生进“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团，据资料统计，新生是否通过考核选拔进入这三个社团相互独立.某新生参加社团时，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团的概率依次为，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，则__________.四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知η的分布列为η010205060P（1）求η的方差及标准差；（2）设，求D(Y).18．设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯的概率为，遇到红灯（禁止通行）的概率为．假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，表示停车时已经通过的路口数，求：(1)的概率的分布列及期望；(2)停车时最多已通过3个路口的概率．19．体育锻炼不仅可以使人们增强体质、增进健康，也有助于培养人们勇敢顽强的性格、超越自我的精神、迎接挑战的意志和承担风险的能力．为了提高身体素质，加强体育锻炼，甲乙两人决定每天早晚各进行一次体育运动，甲乙都选择了跳绳或跑步，对两人过去100天的锻炼安排统计如下：项目选择（早上，晚上）（跳绳，跳绳）（跳绳，跑步）（跑步，跳绳）（跑步，跑步）休息甲20天20天30天20天10天乙20天25天15天30天10天假设甲乙两人运动项目相互独立，用频率估计概率．(1)请预测在今后的4天中甲恰有2天早上和晚上都选跳绳的概率；(2)试判断甲、乙在晚上跳绳的条件下，哪位更有可能早上选择跑步，并说明理由．20．某景区内有一项“投球”游戏，游戏规则如下：游客投球目标为由近及远设置的A，B，C三个空桶，每次投一个球，投进桶内即成功，游客每投一个球交费10元，投进A桶，奖励游客面值20元的景区消费券；投进B桶，奖励游客面值60元的景区消费券；投进C桶，奖励游客面值90元的景区消费券；投不进则没有奖励．游客各次投球是否投进相互独立．(1)向A桶投球3次，每次投进的概率为p，记投进2次的概率为，求的极大值点；(2)游客甲投进A，B，C三桶的概率分别为，，，若他投球一次，他应该选择向哪个桶投球更有利？说明理由．21．从《唐宫夜宴》火爆破圈开始，河南电视台推出的“中国节日”系列节目被年轻人列入必看节目之一.从某平台“中国节日”系列节目的粉丝与游客（未注册的访客）中各随机抽取200人，统计他们的年龄（单位：岁，年龄都在内），并按照，，，，分组，得到粉丝年龄频率分布直方图及游客年龄频数分布表如下所示.年龄/岁频数1060504535(1)估计粉丝年龄的平均数及游客年龄的中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)以频率估计概率，从该平台“中国节日”系列节目的所有粉丝与游客中各随机抽取2人，记这4人中年龄在内的人数为，求的分布列与期望.22．某市宣传部门开展了线上新冠肺炎世界防控现状及防控知识竞赛，现从全市的参与者中随机抽取了1000名幸运者的成绩进行分析，把他们的得分（满分100分）分成以下7组：，，，，，，，统计得各组的频率之比为1∶6：8：10：9：4：2．同一组数据用该区间中点值代替．(1)求这1000名幸运者成绩的第75百分位数和平均值（结果保留整数）﹔(2)若此次知识竞赛得分，为感谢市民的积极参与，对参与者制定如下奖励方案：得分不超过79分的可获得1次抽奖机会，得分超过79分不超过93分的可获得2次抽奖机会，超过93分的有3次抽奖机会，试估计任意一名幸运者获得抽奖次数的数学期望．参考数据：，，．第七章随机变量及其分布综合检测卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知离散型随机变量X的方差为1，则（

）A．2 B．3 C．8 D．9【答案】D【分析】根据方差的性质，得到，即可求解.【详解】由题意，离散型随机变量的方差为1，即，则.故选：D.2．把一枚硬币连续抛掷两次，第一次出现正面为事件A，第二次出现正面为事件B，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合条件概率的知识求得正确答案.【详解】连续抛一枚硬币两次，基本事件有：正面正面、正面反面、反面正面、反面反面，共种，第一次出现正面的为：正面正面、正面反面，所以.故选：A3．若随机变量的分布列如下，则（

）123PaA． B． C． D．【答案】B【分析】由分布列的性质求出参数a，再根据分布列求期望即可.【详解】由分布列性质，，则，所以.故选：B4．若随机变量，且，则（

）A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.34【答案】D【分析】根据正态分布的性质，结合已知条件，求解即可.【详解】根据题意，.故选：D.5．某冷饮店的冰淇淋在一天中销量为200个，三种口味各自销量如表所示：把频率视作概率，从卖出的冰淇淋中随机抽取10个，记其中草莓味的个数为X，则（

）冰淇淋口味草莓味巧克力味原味销量（个）4060100A．5 B．3 C．2 D．1【答案】C【详解】按照所给的数据，卖出草莓味冰淇淋的频率为，抽取的草莓味的冰淇淋个数分布列服从超几何分布，按照超几何分布的公式计算即可.【分析】由题意可得卖出草莓味冰淇淋的频率为，由于把频率视作概率，故卖出草莓味冰淇淋的概率为，已知Ⅹ表示抽取卖出的冰淇淋中草莓味的个数，则X服从超几何分布，且，，，由超几何分布的定义知，，．所以；故选：C．6．某工厂生产的零件的尺寸(单位：)服从正态分布，任选一个零件，尺寸在的概率为（

）附：若，则．A．B．C．D．【答案】B【分析】根据正态分布的意义确定，即可根据概率值求得，即可得答案.【详解】由零件的尺寸(单位：)服从正态分布，可知，故，由可得，故尺寸在的概率为，故选：B7．排球比赛实行“五局三胜制”，根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲､乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】乙队获胜可分为乙队以或或的比分获胜.然后分别求出各种情况的概率，加起来即可；也可以构建二项分布模型解决.【详解】解法一：乙队获胜可分为乙队以或或的比分获胜.乙队以获胜，即乙队三场全胜，概率为；乙队以获胜，即乙队前三场两胜一负，第四场获胜，概率为；乙队以获胜，即乙队前四场两胜两负，第五场获胜，概率为.所以，在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为.解法二：采用五局三胜制，不妨设赛满5局，用表示5局比赛中乙胜的局数，则.乙最终获胜的概率为.故选：C.8．某实验测试的规则是：每位学生最多可做实验3次，一旦实验成功，则停止实验，否则一直做到3次为止.设某学生一次实验成功的概率为，实验次数为随机变量，若的数学期望，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先得到X的所有可能取值为1,2,3，再求出相应概率，计算得到X的数学期望，得到不等式后求解即可.【详解】X的所有可能取值为1,2,3，，，，由，解得或，又因为，所以.故选：A.选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得09．下列是离散型随机变量的是（

）A．某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数为B．某网站中某歌曲一天内被点击的次数为C．一天内的温度为D．射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用表示该射手在一次射击中的得分【答案】ABD【分析】根据离散型随机变量的特征判断即可.【详解】ABD中的都满足离散型随机变量的四个特征，而一天内的温度变化的范围是连续的，无法逐一列出，故C不是离散型随机变量.故选：ABD．10．设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示：ξ－10123P则下列各式不正确的是（

）A．P(ξ＜3)＝ B．P(ξ＞1)＝C．P(2＜ξ＜4)＝ D．P(ξ＜0.5)＝0【答案】ABD【分析】利用分布列和概率的性质求出概率，逐一验证即可.【详解】P(ξ＜3)＝＋＋＋＝，A错误；P(ξ＞1)＝＋＝，B错误；P(2＜ξ＜4)＝P(ξ＝3)＝，C正确；P(ξ＜0.5)＝＋＝，D错误．故选：ABD．11．已知某批零件的长度误差服从正态分布，其密度函数的曲线如图所示，则下列结论正确的是（

）.（附：若随机变量服从正态分布，则，，．从中随机取一件，．A．B．C．长度误差落在内的概率为0.1359D．长度误差落在内的概率为0.1599【答案】BC【分析】根据正态分布的性质，结合图像、题中所给公式逐一判断即可.【详解】由图中密度函数解析式，可得；又由图像可知，则长度误差落在内的概率为：．故选：BC12．某同学共投篮12次，每次投篮命中的概率为0.8，假设每次投篮相互独立，记他投篮命中的次数为随机变量，下列选项中正确的是（

）A． B．C． D．该同学投篮最有可能命中9次【答案】AB【分析】由二项分布的定义以及方差、期望的性质判断ABC，再由判断D.【详解】由二项分布的定义可知，，，，故AB正确，C错误；设该同学投篮最有可能命中次，则，即，因为为正整数，所以，故D错误；故选：AB三．填空题本题共4小题，每小题5分，共20分13．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比賽，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，则表示______.【答案】所选3人中至多有1名女生【分析】根据包含或，结合题意分析即可.【详解】包含两种情况：或.故表示所选3人中至多有1名女生.故答案为：所选3人中至多有1名女生.14．对于随机变量X，它的数学期望和方差，下列所有正确的序号是______．①是反映随机变量的平均取值；

②越小，说明X越集中于；③；

④．【答案】①②③【分析】根据离散型随机变量期望与方差的意义，以及期望与方差的性质依次判断即可.【详解】离散型随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差越小，说明随机变量的取值越集中于均值，则①②正确；，，则③正确，④错误.故答案为：①②③.15．袋中有个相同的球，其中编号为的球各个，从中不放回地依次抽取个球，以表示取到的2个球上的编号之和，则随机变量的均值___________．提示：记=第次取到的球上的数字，其中，则【答案】n【分析】由古典概型和全概率公式分别求和，发现其式均满足服从二项分布的概率，故、均服从二项分布，由二项分布的期望公式求得，故.【详解】由题可知，，故，所以.故，所以.所以.故答案为：n.16．某大学选拔新生进“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团，据资料统计，新生是否通过考核选拔进入这三个社团相互独立.某新生参加社团时，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团的概率依次为，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，则__________.【答案】##【分析】利用独立事件的概率公式可得关于的方程组，从而可求的值.【详解】设该新生“进入篮球社团”为事件，“进入电子竞技社团”为事件，“进入国学社团”为事件，则：“三个社团他都能进入”的概率为，“至少进入一个社团”的概率为，整理得到，故，故答案为：四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知η的分布列为η010205060P（1）求η的方差及标准差；（2）设，求D(Y).【答案】（1）方差，标准差；（2）.【分析】（1）直接利用方差及标准差公式求解即可；（2）由于，所以由方差的性质可得【详解】解：（1）∵E(η)=0×+10×+20×+50×+60×=16，D(η)=(016)2×+(1016)2×+(2016)2×+(5016)2×+(6016)2×=384，∴=8.（2）∵，∴=4×384=1536.18．设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯的概率为，遇到红灯（禁止通行）的概率为．假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，表示停车时已经通过的路口数，求：(1)的概率的分布列及期望；(2)停车时最多已通过3个路口的概率．【答案】(1)分布列见解析，期望为；(2).【分析】（1）由题意可能值为，利用独立事件乘法公式求对应概率，即可得分布列，再应用期望公式求期望；（2）应用对立事件概率求法，停车时最多已通过3个路口的概率为.【详解】（1）由题设可能值为，，，，，，所以的分布列如下：01234故.（2）由题设及（1）知：停车时最多已通过3个路口的概率为.19．体育锻炼不仅可以使人们增强体质、增进健康，也有助于培养人们勇敢顽强的性格、超越自我的精神、迎接挑战的意志和承担风险的能力．为了提高身体素质，加强体育锻炼，甲乙两人决定每天早晚各进行一次体育运动，甲乙都选择了跳绳或跑步，对两人过去100天的锻炼安排统计如下：项目选择（早上，晚上）（跳绳，跳绳）（跳绳，跑步）（跑步，跳绳）（跑步，跑步）休息甲20天20天30天20天10天乙20天25天15天30天10天假设甲乙两人运动项目相互独立，用频率估计概率．(1)请预测在今后的4天中甲恰有2天早上和晚上都选跳绳的概率；(2)试判断甲、乙在晚上跳绳的条件下，哪位更有可能早上选择跑步，并说明理由．【答案】(1)今后的4天中甲恰有2天早上和晚上都选跳绳的概率为：.(2)甲更有可能早上选择跑步，理由见解析.【分析】（1）由题意解得甲早晚都选跳绳的概率，接着利用二项分布公式即可；（2）利用条件概率的公式分别求出甲、乙在晚上跳绳的条件下，早上选择跑步的概率，接着比较两个概率的大小即可.【详解】（1）解：依题意可知，设甲早晚都选跳绳为事件，则，设今后的4天中甲恰有2天早上和晚上都选跳绳为事件，，所以今后的4天中甲恰有2天早上和晚上都选跳绳的概率为：.（2）设甲早上跑步为事件，甲晚上跳绳为事件，乙早上跑步为事件，乙晚上跳绳为事件，由题意可知，甲在晚上跳绳的条件下，早上选择跑步的概率为：，乙在晚上跳绳的条件下，早上选择跑步的概率为：，，即，所以甲更有可能早上选择跑步.20．某景区内有一项“投球”游戏，游戏规则如下：游客投球目标为由近及远设置的A，B，C三个空桶，每次投一个球，投进桶内即成功，游客每投一个球交费10元，投进A桶，奖励游客面值20元的景区消费券；投进B桶，奖励游客面值60元的景区消费券；投进C桶，奖励游客面值90元的景区消费券；投不进则没有奖励．游客各次投球是否投进相互独立．(1)向A桶投球3次，每次投进的概率为p，记投进2次的概率为，求的极大值点；(2)游客甲投进A，B，C三桶的概率分别为，，，若他投球一次，他应该选择向哪个桶投球更有利？说明理由．【答案】(1)(2)游客甲选择向B桶投球更有利；理由见解析【分析】（1）根据概率公式求得概率，利用导数求得极大值点即可；（2）分别求出游客投进A，B，C三桶的纯收入的期望，比较其大小即可得到结论.【详解】（1）3次向A桶投球投进2次的概率．则．令，得．当时，；当时，．∴在上单调递增，在单调递减，∴所以的极大值点．（2）由（1）得游客甲投进A，B，C三桶的概率分别为，，．设投进A桶的纯收入为X元，；设投进B桶的纯收入为Y元．；设投进C桶的纯收入为Z元，；因为，所以游客甲选择向B桶投球更有利．21．从《唐宫夜宴》火爆破圈开始，河南电视台推出的“中国节日”系列节目被年轻人列入必看节目之一.从某平台“中国节日”系列节目的粉丝与游客（未注册的访客）中各随机抽取200人，统计他们的年龄（单位：岁，年龄都在内），并按照，，，，分组，得到粉丝年龄频率分布直方图及游客年龄频数分布表如下所示.年龄/岁频数1060504535(1)估计粉丝年龄的平均数及游客年龄的中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)以频