高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题45弧度制(原卷版+解析)

专题45弧度制1．度量角的两种单位制角度制定义用度作为单位来度量角的单位制1度的角1度的角等于周角的eq\f(1,360)，记作1°弧度制定义以弧度为单位来度量角的单位制1弧度的角长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1rad(rad可省略不写)在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为αrad，那么|α|＝eq\f(l,r).一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.2．弧度数的计算3．角度制与弧度制的换算4．一些特殊角与弧度数的对应关系度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)πeq\f(3π,2)2π5.扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l＝αR;(2)扇形面积公式：S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)αR2.(3)在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用：①l＝|α|·r，|α|＝eq\f(l,r)，r＝eq\f(l,|α|)；②S＝eq\f(1,2)|α|r2，|α|＝eq\f(2S,r2).题型一角度与弧度的互化与应用1．将下列角度化为弧度(1)105°；(2)1920°；(3)20°；(4)－15°；(5)112°30′；(6)－157°30′；(7)－630°；(8)2100°；(9)37°30′；(10)－216°；(11)－1500°；(12)67°30′；(13)2145°2．将下列弧度化为角度(1)－eq\f(5π,12)rad；(2)－eq\f(11π,5)rad；(3)eq\f(7π,5)rad；(4)eq\f(7π,12)；(5)－eq\f(11π,5)；(6)－eq\f(10π,3)；(7)eq\f(23π,6)；(8)－eq\f(13π,6)；(9)eq\f(8π,5)3．下列转化结果错误的是()A．60°化成弧度是eq\f(π,3)radB．－eq\f(10,3)πrad化成度是－600°C．－150°化成弧度是－eq\f(7,6)πradD.eq\f(π,12)rad化成度是15°4．已知α＝15°，β＝eq\f(π,10)rad，γ＝1rad，θ＝105°，φ＝eq\f(7π,12)rad，试比较α，β，γ，θ，φ的大小．题型二用弧度数表示角1．下列说法中，错误的是()A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．1°的角是周角的eq\f(1,360)，1rad的角是周角的eq\f(1,2π)C．1rad的角比1°的角要大D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关2．下列叙述中正确的是()A．1弧度是1度的圆心角所对的弧B．1弧度是长度为半径的弧C．1弧度是1度的弧与1度的角之和D．大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角一样大3．下列说法正确的是()A．在弧度制下，角的集合与正实数集之间建立了一一对应关系B．每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应C．用角度制和弧度制度量任一角，单位不同，数量也不同D．－120°的弧度数是eq\f(2π,3)4．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为()A.eq\f(14,3)πB．－eq\f(14,3)πC.eq\f(7,18)π D．－eq\f(7,18)π5．自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数是()A.eq\f(5π,11)B.eq\f(44π,5) C.eq\f(5π,22) D.eq\f(22π,5)6．已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，集合B＝{x|－4≤x≤4}，则A∩B＝________________.7．将－1485°表示成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式是_________．8．下列与eq\f(9π,4)的终边相同的角的表达式中，正确的是()A．2kπ＋45°(k∈Z)B．k·360°＋eq\f(9π,4)(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)9．用弧度制表示与150°角的终边相同的角的集合为()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(β＝－\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z))))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(β＝\f(5π,6)＋k·360°，k∈Z))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(β＝\f(2π,3)＋2kπ，k∈Z))))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(β＝\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z))))10．与30°角终边相同的角的集合是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝k·360°＋\f(π,6)，k∈Z))))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋30°，k∈Z))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2k·360°＋30°，k∈Z))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(π,6)，k∈Z))))11．若把－570°写成2kπ＋α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式，则α＝________.12．终边经过点(a，a)(a≠0)的角α的集合是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4)))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,4)＋2kπ，k∈Z))))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,4)＋kπ，k∈Z))))13．把－eq\f(11,4)π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是()A．－eq\f(3π,4)B．－eq\f(π,4)C.eq\f(π,4) D.eq\f(3π,4)14．在[0,4π]中，与72°角终边相同的角有________．(用弧度表示)15．在0到2π范围内，与角－eq\f(4π,3)终边相同的角是()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(4π,3)16．若角α与角eq\f(8π,5)终边相同，则在[0,2π]内终边与eq\f(α,4)终边相同的角是________．17．若角α，β的终边关于直线y＝x对称，且α＝eq\f(π,6)，则在0～4π内满足要求的β＝________.18．若角α与角x＋eq\f(π,4)有相同的终边，角β与角x－eq\f(π,4)有相同的终边，那么α与β间的关系为()A．α＋β＝0B．α－β＝0C．α＋β＝2kπ(k∈Z)D．α－β＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)19．若α＝2kπ－eq\f(35,4)，k∈Z，则角α所在象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限20．角－eq\f(29,12)π的终边所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限21．角eq\f(29π,12)的终边所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限22．α＝－3rad，它是第________象限角．23．α＝－2rad，则α的终边在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限24．若θ＝－5，则角θ的终边所在的象限是()A．第四象限 B．第三象限C．第二象限 D．第一象限25．若eq\f(α,3)＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，则eq\f(α,2)的终边在()A．第一象限 B．第四象限C．x轴上 D．y轴上26．已知角α=－1480°(1)将α改写成写成2kπ＋β(k∈Z)的形式，其中0≤β<2π，并判断它是第几象限角？(2)在[－4π，4π)范围内找出与α终边相同的角的集合27．已知角α＝2005°.(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；(2)在[－5π，0)内找出与α终边相同的角．28．已知角α＝2010°.(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角；(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．29．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；(2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))).30．已知α＝1690°.(1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0,2π))的形式；(2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)．31．下列表示中不正确的是()A．终边在x轴上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}B．终边在y轴上角的集合是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))C．终边在坐标轴上角的集合是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝k·\f(π,2)，k∈Z))))D．终边在直线y＝x上角的集合是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,4)＋2kπ，k∈Z))))32．用弧度制表示终边落在x轴上方的角α的集合为________．33．用弧度表示终边落在y轴右侧的角的集合为________．34．集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))中的角所表示的范围(阴影部分)是()35．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)，并判断2019°是不是这个集合的元素．36．用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合．37．用弧度写出终边落在如图阴影部分(不包括边界)内的角的集合．38．如图所示：(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合．(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．题型三弧长公式与扇形面积公式的应用1．半径为2，圆心角为eq\f(π,6)的扇形的面积是________．2．若扇形的半径为1，圆心角为3弧度，则扇形的面积为________．3．圆的半径为r，该圆上长为eq\f(3,2)r的弧所对的圆心角是()A.eq\f(2,3)rad B.eq\f(3,2)radC.eq\f(2π,3)rad D.eq\f(3π,2)rad4．在半径为2的圆中，弧长为4的弧所对的圆心角的大小是________rad.5．已知扇形的弧长是4cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是()A．1 B．2C．4 D．1或46．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为()A．2 B．4C．6 D．87．已知扇形的周长为8cm，圆心角为2，则扇形的面积为________cm2.8．已知扇形的圆心角为120°，半径为eq\r(3)cm，则此扇形的面积为________cm2.9．圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________倍．10．扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增加为原来的两倍，则()A．扇形的面积不变B．扇形圆心角不变C．扇形面积增大到原来的2倍D．扇形圆心角增大到原来的2倍11．求半径为πcm，圆心角为120°的扇形的弧长及面积．12．已知扇形OAB的圆心角为eq\f(5,7)π，周长为5π＋14，则扇形OAB的面积为________．13．已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇形圆心角的弧度数．14．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是()A．2 B．sin2C．2sin1 D.eq\f(2,sin1)15．一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角为()A.eq\f(π,2) B.eq\f(π,3)C.eq\r(2) D.eq\r(3)16．已知扇形的圆心角为108°，半径等于30cm，求扇形的弧长和面积．17．已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为eq\f(2π,3).求：(1)这个圆心角所对的弧长；(2)这个扇形的面积．18．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝eq\f(1,2)(弦×矢＋矢2)．弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为eq\f(2π,3)，半径为4m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是________m2.19．已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形的圆心角的弧度数．20．已知两角和为1弧度，且两角差为1°，则这两个角的弧度数分别是__________________________．21．已知扇形AOB的周长为10cm”，求该扇形的面积的最大值及取得最大值时圆心角的大小及弧长．22．已知一扇形的周长为40cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？23．已知扇形AOB的周长为8cm.(1)若这个扇形的面积为3cm2，求该扇形的圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦AB的长度．24．已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.25．已知扇形AOB的圆心角为120°，半径为6，求：(1)eq\o\ac(AB,\s\up15(︵))的长；(2)扇形所含弓形的面积(即阴影面积)．26．如图所示，以正方形ABCD中的点A为圆心，边长AB为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD的弧度数大小为________．27．已知扇形OAB的周长是60cm，面积是20cm2，求扇形OAB的圆心角的弧度数．28．如图，一长为eq\r(3)dm，宽为1dm的长方形木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底面与桌面所成角为eq\f(π,6)，试求点A走过的路程及走过的弧所在的扇形的总面积．(圆心角为正)29．如图，动点P，Q从点A(4,0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转eq\f(π,3)弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转eq\f(π,6)弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间及P，Q点各自走过的弧长．专题45弧度制1．度量角的两种单位制角度制定义用度作为单位来度量角的单位制1度的角1度的角等于周角的eq\f(1,360)，记作1°弧度制定义以弧度为单位来度量角的单位制1弧度的角长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1rad(rad可省略不写)在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为αrad，那么|α|＝eq\f(l,r).一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.2．弧度数的计算3．角度制与弧度制的换算4．一些特殊角与弧度数的对应关系度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)πeq\f(3π,2)2π5.扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l＝αR;(2)扇形面积公式：S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)αR2.(3)在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用：①l＝|α|·r，|α|＝eq\f(l,r)，r＝eq\f(l,|α|)；②S＝eq\f(1,2)|α|r2，|α|＝eq\f(2S,r2).题型一角度与弧度的互化与应用1．将下列角度化为弧度(1)105°；(2)1920°；(3)20°；(4)－15°；(5)112°30′；(6)－157°30′；(7)－630°；(8)2100°；(9)37°30′；(10)－216°；(11)－1500°；(12)67°30′；(13)2145°[解析](1)105°＝105×eq\f(π,180)rad＝eq\f(7π,12)rad；(2)1920°＝5×360°＋120°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5×2π＋\f(2π,3)))rad＝eq\f(32π,3)rad；(3)20°＝eq\f(20π,180)＝eq\f(π,9)；(4)－15°＝－eq\f(15π,180)＝－eq\f(π,12)；(5)因为1°＝eq\f(π,180)rad，所以112°30′＝eq\f(π,180)×112.5rad＝eq\f(5π,8)rad；(6)－157°30′＝－157.5°＝－eq\f(315,2)×eq\f(π,180)rad＝－eq\f(7,8)πrad；(7)－630°＝－630×eq\f(π,180)＝－eq\f(7,2)π；(8)2100°＝2100×eq\f(π,180)＝eq\f(35π,3)；(9)37°30′＝37.5°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(75,2)))°＝eq\f(75,2)×eq\f(π,180)＝eq\f(5π,24)；(10)－216°＝－216×eq\f(π,180)＝－eq\f(6π,5)；(11)－1500°＝－1500×eq\f(π,180)＝－eq\f(25,3)π(12)67°30′＝67.5°＝67.5×eq\f(π,180)＝eq\f(3π,8)；(13)2145°＝2145×eq\f(π,180)rad＝eq\f(143π,12)rad.2．将下列弧度化为角度(1)－eq\f(5π,12)rad；(2)－eq\f(11π,5)rad；(3)eq\f(7π,5)rad；(4)eq\f(7π,12)；(5)－eq\f(11π,5)；(6)－eq\f(10π,3)；(7)eq\f(23π,6)；(8)－eq\f(13π,6)；(9)eq\f(8π,5)[解析](1)因为1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°，所以－eq\f(5π,12)rad＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)×\f(180,π)))°＝－75°；(2)－eq\f(11π,5)rad＝－eq\f(11π,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝－396°；(3)eq\f(7π,5)rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,5)×\f(180,π)))°＝252°；(4)eq\f(7π,12)＝eq\f(7,12)×180°＝105°；(5)－eq\f(11π,5)＝－eq\f(11,5)×180°＝－396°；(6)－eq\f(10π,3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10π,3)×\f(180,π)))°＝－600°；(7)eq\f(23π,6)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(23π,6)×\f(180,π)))°＝690°；(8)－eq\f(13π,6)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13π,6)×\f(180,π)))°＝－390°；(9)eq\f(8π,5)＝eq\f(8,5)×180°＝288°.3．下列转化结果错误的是()A．60°化成弧度是eq\f(π,3)radB．－eq\f(10,3)πrad化成度是－600°C．－150°化成弧度是－eq\f(7,6)πradD.eq\f(π,12)rad化成度是15°[解析]对于A,60°＝60×eq\f(π,180)rad＝eq\f(π,3)rad；对于B，－eq\f(10,3)πrad＝－eq\f(10,3)×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150×eq\f(π,180)rad＝－eq\f(5,6)πrad；对于D，eq\f(π,12)rad＝eq\f(1,12)×180°＝15°.故选C.4．已知α＝15°，β＝eq\f(π,10)rad，γ＝1rad，θ＝105°，φ＝eq\f(7π,12)rad，试比较α，β，γ，θ，φ的大小．[解析]法一(化为弧度)：α＝15°＝15×eq\f(π,180)rad＝eq\f(π,12)rad，θ＝105°＝105×eq\f(π,180)rad＝eq\f(7π,12)rad.显然eq\f(π,12)＜eq\f(π,10)＜1＜eq\f(7π,12).故α＜β＜γ＜θ＝φ.法二(化为角度)：β＝eq\f(π,10)rad＝eq\f(π,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝18°，γ＝1rad≈57.30°，φ＝eq\f(7π,12)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝105°.显然，15°＜18°＜57.30°＜105°.故α＜β＜γ＜θ＝φ.题型二用弧度数表示角1．下列说法中，错误的是()A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．1°的角是周角的eq\f(1,360)，1rad的角是周角的eq\f(1,2π)C．1rad的角比1°的角要大D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关[解析]“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，所以A正确.1°的角是周角的eq\f(1,360)，1rad的角是周角的eq\f(1,2π)，所以B正确．因为1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°>1°，所以C正确．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关，所以D错误．2．下列叙述中正确的是()A．1弧度是1度的圆心角所对的弧B．1弧度是长度为半径的弧C．1弧度是1度的弧与1度的角之和D．大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角一样大[解析]弧度是度量角的大小的一种单位，而不是长度的度量单位，1弧度是长度等于半径的圆弧所对圆心角的大小，与圆的半径无关，故选D.3．下列说法正确的是()A．在弧度制下，角的集合与正实数集之间建立了一一对应关系B．每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应C．用角度制和弧度制度量任一角，单位不同，数量也不同D．－120°的弧度数是eq\f(2π,3)[解析]A项中，零角的弧度数为0，故A项错误；B项是正确的；C项中，用角度制和弧度制度量零角时，单位不同，但数量相同(都是0)，故C项错误；－120°对应的弧度数是－eq\f(2π,3)，故D项错误．故选B.4．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为()A.eq\f(14,3)πB．－eq\f(14,3)πC.eq\f(7,18)π D．－eq\f(7,18)π[解析]分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的eq\f(1,3)，用弧度制表示就是：－4π－eq\f(1,3)×2π＝－eq\f(14,3)π.5．自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数是()A.eq\f(5π,11)B.eq\f(44π,5) C.eq\f(5π,22) D.eq\f(22π,5)[解析]由题意，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮逆时针转过eq\f(88,20)周，小链轮转过的弧度是eq\f(88,20)×2π＝eq\f(44π,5).6．已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，集合B＝{x|－4≤x≤4}，则A∩B＝________________.[解析]如图所示，∴A∩B＝[－4，－π]∪[0，π]．7．将－1485°表示成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式是_________．[解析]∵－1485°＝－5×360°＋315°，而315°＝eq\f(7,4)π，∴应填－10π＋eq\f(7,4)π.8．下列与eq\f(9π,4)的终边相同的角的表达式中，正确的是()A．2kπ＋45°(k∈Z)B．k·360°＋eq\f(9π,4)(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)[解析]A，B中弧度与角度混用，不正确．eq\f(9,4)π＝2π＋eq\f(π,4)，所以eq\f(9,4)π与eq\f(π,4)终边相同．－315°＝－360°＋45°，所以－315°也与45°终边相同．故选C.9．用弧度制表示与150°角的终边相同的角的集合为()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(β＝－\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z))))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(β＝\f(5π,6)＋k·360°，k∈Z))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(β＝\f(2π,3)＋2kπ，k∈Z))))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(β＝\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z))))[解析]150°＝150×eq\f(π,180)＝eq\f(5π,6)，故与150°角终边相同的角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(β＝\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z)))).10．与30°角终边相同的角的集合是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝k·360°＋\f(π,6)，k∈Z))))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋30°，k∈Z))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2k·360°＋30°，k∈Z))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(π,6)，k∈Z))))[解析]∵与30°角终边相同的角表示为α＝k·360°＋30°，k∈Z，化为弧度为α＝2kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z，∴选D.11．若把－570°写成2kπ＋α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式，则α＝________.[解析]－570°＝－eq\f(19π,6)＝－4π＋eq\f(5π,6).12．终边经过点(a，a)(a≠0)的角α的集合是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4)))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,4)＋2kπ，k∈Z))))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,4)＋kπ，k∈Z))))[解析]因为角α的终边经过点(a，a)(a≠0)，所以角α的终边落在直线y＝x上，所以角α的集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,4)＋kπ，k∈Z)))).13．把－eq\f(11,4)π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是()A．－eq\f(3π,4)B．－eq\f(π,4)C.eq\f(π,4) D.eq\f(3π,4)[解析]∵－eq\f(11π,4)＝－2π－eq\f(3π,4)，∴－eq\f(11π,4)与－eq\f(3π,4)是终边相同的角，且此时eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)))＝eq\f(3π,4)是最小的．14．在[0,4π]中，与72°角终边相同的角有________．(用弧度表示)[解析]因为终边与72°角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)．当k＝0时，θ＝72°＝eq\f(2,5)πrad；当k＝1时，θ＝432°＝eq\f(12,5)πrad，所以在[0,4π]中与72°终边相同的角有eq\f(2,5)π，eq\f(12,5)π.15．在0到2π范围内，与角－eq\f(4π,3)终边相同的角是()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(4π,3)[解析]与角－eq\f(4π,3)终边相同的角是2kπ＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,3)))，k∈Z，令k＝1，可得与角－eq\f(4π,3)终边相同的角是eq\f(2π,3)，故选C.16．若角α与角eq\f(8π,5)终边相同，则在[0,2π]内终边与eq\f(α,4)终边相同的角是________．[解析]由题意得α＝eq\f(8π,5)＋2kπ(k∈Z)，eq\f(α,4)＝eq\f(2π,5)＋eq\f(kπ,2)(k∈Z)，又eq\f(α,4)∈[0,2π]，所以k＝0,1,2,3，此时eq\f(α,4)＝eq\f(2π,5)，eq\f(9π,10)，eq\f(7π,5)，eq\f(19π,10).17．若角α，β的终边关于直线y＝x对称，且α＝eq\f(π,6)，则在0～4π内满足要求的β＝________.[解析]由角α，β的终边关于直线y＝x对称，及α＝eq\f(π,6)，可得β＝－α＋eq\f(π,2)＋2kπ＝eq\f(π,3)＋2kπ，令k＝0,1可得结果．[答案]eq\f(π,3)，eq\f(7π,3)18．若角α与角x＋eq\f(π,4)有相同的终边，角β与角x－eq\f(π,4)有相同的终边，那么α与β间的关系为()A．α＋β＝0B．α－β＝0C．α＋β＝2kπ(k∈Z)D．α－β＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)[解析]选D.因为α＝x＋eq\f(π,4)＋2k1π(k1∈Z)，β＝x－eq\f(π,4)＋2k2π(k2∈Z)，所以α－β＝eq\f(π,2)＋2(k1－k2)π(k1∈Z，k2∈Z)．所以k1∈Z，k2∈Z，所以k1－k2∈Z.所以α－β＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)．19．若α＝2kπ－eq\f(35,4)，k∈Z，则角α所在象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[解析]∵－9<－eq\f(35,4)<－8，∴－3π<－eq\f(35,4)<－3π＋eq\f(π,2).∴－eq\f(35,4)在第三象限，故α也在第三象限．20．角－eq\f(29,12)π的终边所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[解析]－eq\f(29,12)π＝－4π＋eq\f(19,12)π，eq\f(19,12)π的终边位于第四象限，故选D.21．角eq\f(29π,12)的终边所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[解析]选A.因为eq\f(29π,12)＝2π＋eq\f(5π,12)，角eq\f(5π,12)是第一象限角，所以角eq\f(29π,12)的终边所在的象限是第一象限．22．α＝－3rad，它是第________象限角．[解析]根据角度制与弧度制的换算，1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°，则α＝－3rad＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(540,π)))°≈－171.9°.分析可得，α是第三象限角．23．α＝－2rad，则α的终边在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[解析]∵1rad≈57.30°，∴－2rad≈－114.60°.故α的终边在第三象限．24．若θ＝－5，则角θ的终边所在的象限是()A．第四象限 B．第三象限C．第二象限 D．第一象限[解析]因为－2π＜－5＜－eq\f(3π,2)，所以α是第一象限角．25．若eq\f(α,3)＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，则eq\f(α,2)的终边在()A．第一象限 B．第四象限C．x轴上 D．y轴上[解析]因为eq\f(α,3)＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，因为α＝6kπ＋π(k∈Z)，所以eq\f(α,2)＝3kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．当k为奇数时，eq\f(α,2)的终边在y轴的非正半轴上；当k为偶数时，eq\f(α,2)的终边在y轴的非负半轴上．综上，eq\f(α,2)的终边在y轴上，故选D.26．已知角α=－1480°(1)将α改写成写成2kπ＋β(k∈Z)的形式，其中0≤β<2π，并判断它是第几象限角？(2)在[－4π，4π)范围内找出与α终边相同的角的集合[解析](1)－1480°＝－1480×eq\f(π,180)＝－eq\f(74π,9)＝－10π＋eq\f(16π,9)，其中0≤eq\f(16π,9)<2π，因为eq\f(16π,9)是第四象限角，所以－1480°是第四象限角．(2)与α终边相同的角为2kπ＋eq\f(16,9)π(k∈Z)．由－4π≤2kπ＋eq\f(16,9)π<4π知k＝－2，－1，0，1.所以所求角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(20,9)π，－\f(2,9)π，\f(16,9)π，\f(34,9)π)).27．已知角α＝2005°.(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；(2)在[－5π，0)内找出与α终边相同的角．[解析](1)2005°＝2005×eq\f(π,180)rad＝eq\f(401π,36)rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5×2π＋\f(41π,36)))rad，又π<eq\f(41π,36)<eq\f(3π,2)，∴角α与eq\f(41π,36)终边相同，是第三象限的角．(2)与α终边相同的角为2kπ＋eq\f(41π,36)(k∈Z)，由－5π≤2kπ＋eq\f(41π,36)<0，k∈Z知k＝－1，－2，－3.∴在[－5π，0)内与α终边相同的角是－eq\f(31π,36)，－eq\f(103π,36)，－eq\f(175π,36).28．已知角α＝2010°.(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角；(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．[解析](1)2010°＝2010×eq\f(π,180)＝eq\f(67π,6)＝5×2π＋eq\f(7π,6)，又π＜eq\f(7π,6)＜eq\f(3π,2)，∴α与eq\f(7π,6)终边相同，是第三象限的角．(2)与α终边相同的角可以写成γ＝eq\f(7π,6)＋2kπ(k∈Z)，又－5π≤γ＜0，∴当k＝－3时，γ＝－eq\f(29,6)π；当k＝－2时，γ＝－eq\f(17,6)π；当k＝－1时，γ＝－eq\f(5,6)π.29．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；(2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))).[解析](1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝eq\f(14,9)π，∴α＝－800°＝eq\f(14π,9)＋(－3)×2π.∵α与角eq\f(14π,9)终边相同，∴α是第四象限角．(2)∵与α终边相同的角可写为2kπ＋eq\f(14π,9)，k∈Z的形式，而γ与α的终边相同，∴γ＝2kπ＋eq\f(14π,9)，k∈Z，又γ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴－eq\f(π,2)<2kπ＋eq\f(14π,9)<eq\f(π,2)，k∈Z，解得k＝－1，∴γ＝－2π＋eq\f(14π,9)＝－eq\f(4π,9).30．已知α＝1690°.(1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0,2π))的形式；(2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)．[解析](1)1690°＝1440°＋250°＝4×360°＋250°＝4×2π＋eq\f(25,18)π.(2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2kπ＋eq\f(25,18)π(k∈Z)．又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2kπ＋eq\f(25,18)π<4π，∴－eq\f(97,36)<k<eq\f(47,36)(k∈Z)．∴k＝－2，－1,0,1.∴θ的值是－eq\f(47,18)π，－eq\f(11,18)π，eq\f(25,18)π，eq\f(61,18)π.31．下列表示中不正确的是()A．终边在x轴上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}B．终边在y轴上角的集合是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))C．终边在坐标轴上角的集合是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝k·\f(π,2)，k∈Z))))D．终边在直线y＝x上角的集合是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,4)＋2kπ，k∈Z))))[解析]对于A，终边在x轴上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}，故A正确；对于B，终边在y轴上的角的集合是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))，故B正确；对于C，终边在x轴上的角的集合为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝kπ，k∈Z))))，终边在y轴上的角的集合为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))，故合在一起即为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝kπ，k∈Z))))∪eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝\f(kπ,2)，k∈Z))))，故C正确；对于D，终边在直线y＝x上的角的集合是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,4)＋kπ，k∈Z))))，故D不正确．32．用弧度制表示终边落在x轴上方的角α的集合为________．[解析]若角α的终边落在x轴上方，则2kπ＜α＜2kπ＋π(k∈Z)．33．用弧度表示终边落在y轴右侧的角的集合为________．[解析]y轴对应的角可用－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)表示，所以y轴右侧角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ＜θ＜\f(π,2)＋2kπ，k∈Z)))).34．集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))中的角所表示的范围(阴影部分)是()[解析]当k＝2m，m∈Z时，2mπ＋eq\f(π,4)≤α≤2mπ＋eq\f(π,2)，m∈Z；当k＝2m＋1，m∈Z时，2mπ＋eq\f(5π,4)≤α≤2mπ＋eq\f(3π,2)，m∈Z.故选C.35．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)，并判断2019°是不是这个集合的元素．[解析]∵150°＝eq\f(5π,6)，∴终边在阴影区域内角的集合为S＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋2kπ≤β≤\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z)))).∵2019°＝219°＋5×360°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(219π,180)＋10π))rad，又eq\f(5π,6)<eq\f(219π,180)<eq\f(3π,2)，∴2019°∈S.36．用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合．[解析]如题图(1)，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－eq\f(π,6)，而75°＝75×eq\f(π,180)＝eq\f(5π,12)，所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,6)<θ<2kπ＋\f(5π,12)，k∈Z)))).如题图(2)，因为30°＝eq\f(π,6)，210°＝eq\f(7π,6)，这两个角的终边所在的直线相同，因此终边在直线AB上的角为α＝kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z，又终边在y轴上的角为β＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)<θ<kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))).37．用弧度写出终边落在如图阴影部分(不包括边界)内的角的集合．[解析]30°＝eq\f(π,6)rad,150°＝eq\f(5π,6)rad.终边落在题干图中阴影区域内角的集合(不包括边界)是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋kπ＜β＜\f(5π,6)＋kπ，k∈Z)))).38．如图所示：(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合．(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．[解析](1)终边在OA上的角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z)).终边在OB上的角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β|β＝－\f(π,6)＋2kπ，k∈Z)).(2)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|－\f(π,6)＋2kπ≤α≤\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z)).题型三弧长公式与扇形面积公式的应用1．半径为2，圆心角为eq\f(π,6)的扇形的面积是________．[解析]由已知得S扇＝eq\f(1,2)×eq\f(π,6)×22＝eq\f(π,3).2．若扇形的半径为1，圆心角为3弧度，则扇形的面积为________．[解析]由于扇形面积S＝eq\f(1,2)αr2＝eq\f(1,2)×3×12＝eq\f(3,2)，故扇形的面积为eq\f(3,2).3．圆的半径为r，该圆上长为eq\f(3,2)r的弧所对的圆心角是()A.eq\f(2,3)rad B.eq\f(3,2)radC.eq\f(2π,3)rad D.eq\f(3π,2)rad[解析]由弧度数公式α＝eq\f(l,r)，得α＝eq\f(\f(3,2)r,r)＝eq\f(3,2)，因此圆弧所对的圆心角是eq\f(3,2)rad.4．在半径为2的圆中，弧长为4的弧所对的圆心角的大小是________rad.[解析]根据弧度制的定义，知所求圆心角的大小为eq\f(4,2)＝2rad.5．已知扇形的弧长是4cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是()A．1 B．2C．4 D．1或4[解析]因为扇形的弧长为4，面积为2，所以扇形的面积为eq\f(1,2)×4×r＝2，解得r＝1，则扇形的圆心角的弧度数为eq\f(4,1)＝4.故选C.6．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为()A．2 B．4C．6 D．8[解析]设扇形所在圆的半径为R，则2＝eq\f(1,2)×4×R2，∴R2＝1，∴R＝1.∴扇形的弧长为4×1＝4，扇形的周长为2＋4＝6.故选C.7．已知扇形的周长为8cm，圆心角为2，则扇形的面积为________cm2.[解析]设扇形的半径为rcm，弧长为lcm，由圆心角为2rad，依据弧长公式可得l＝2r，从而扇形的周长为l＋2r＝4r＝8，解得r＝2，则l＝4.故扇形的面积S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×4×2＝4cm2.8．已知扇形的圆心角为120°，半径为eq\r(3)cm，则此扇形的面积为________cm2.[解析]设扇形的弧长为l，因为120°＝120×eq\f(π,180)rad＝eq\f(2π,3)(rad)，所以l＝αR＝eq\f(2π,3)×eq\r(3)＝eq\f(2\r(3)π,3)(cm)．所以S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)×eq\f(2\r(3)π,3)×eq\r(3)＝π(cm2)．故填π.9．圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________倍．[解析]设原来圆的半径为r，弧长为l，弧所对的圆心角为α，则现在的圆的半径为3r弧长为l，设弧所对的圆心角为β，于是l＝αr＝β·3r，∴β＝eq\f(1,3)α.10．扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增加为原来的两倍，则()A．扇形的面积不变B．扇形圆心角不变C．扇形面积增大到原来的2倍D．扇形圆心角增大到原来的2倍[解析]由弧度制定义，等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，所以一扇形所在圆的半径增加为原来的2倍，弧长也增加到原来的2倍，弧长与半径之比不变，所以，扇形圆心角不变，故选B.11．求半径为πcm，圆心角为120°的扇形的弧长及面积．[解析]因为r＝π，α＝120×eq\f(π,180)＝eq\f(2π,3)，所以l＝αr＝eq\f(2π2,3)cm，S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(π3,3)cm2.12．已知扇形OAB的圆心角为eq\f(5,7)π，周长为5π＋14，则扇形OAB的面积为________．[解析]设扇形的半径为r，圆心角为eq\f(5,7)π，∴弧长l＝eq\f(5,7)πr，∵扇形的周长为5π＋14，∴eq\f(5,7)πr＋2r＝5π＋14，解得r＝7，由扇形的面积公式得＝eq\f(1,2)×eq\f(5,7)π×r2＝eq\f(1,2)×eq\f(5,7)π×49＝eq\f(35π,2).13．已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇形圆心角的弧度数．[解析]设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l，半径为R，依题意有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(l＋2R＝10，①,\f(1,2)lR＝4.②))①代入②得R2－5R＋4＝0，解得R1＝1，R2＝4.当R＝1时，l＝8(cm)，此时，θ＝8rad＞2πrad舍去．当R＝4时，l＝2(cm)，此时，θ＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)(rad)．综上可知，扇形圆心角的弧度数为eq\f(1,2)rad.14．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是()A．2 B．sin2C．2sin1 D.eq\f(2,sin1)[解析]设圆的半径为R，则sin1＝eq\f(1,R)，∴R＝eq\f(1,sin1)，故所求弧长为l＝α·R＝2·eq\f(1,sin1)＝eq\f(2,sin1).15．一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角为()A.eq\f(π,2) B.eq\f(π,3)C.eq\r(2) D.eq\r(3)[解析]设圆内接正方形的边长为a，则该圆的直径为eq\r(2)a，所以弧长等于a的圆弧所对的圆心角α＝eq\f(l,r)＝eq\f(a,\f(\r(2),2)a)＝eq\r(2)，故选C.16．已知扇形的圆心角为108°，半径等于30cm，求扇形的弧长和面积．[解析]∵108°＝108×eq\f(π,180)＝eq\f(3π,5)，所以扇形的弧长为eq\f(3π,5)×10＝6π(cm)，扇形的面积为eq\f(1,2)×eq\f(3π,5)×302＝270π(cm2)．17．已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为eq\f(2π,3).求：(1)这个圆心角所对的弧长；(2)这个扇形的面积．[解析](1)因为扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为eq\f(2π,3)，所以半径r＝eq\f(1,sin\f(π,3))＝eq\f(2\r(3),3)，所以这个圆心角所对的弧长l＝eq\f(2\r(3),3)×eq\f(2π,3)＝eq\f(4\r(3)π,9).(2)由(1)得扇形的面积S＝eq\f(1,2)×eq\f(2\r(3),3)×eq\f(4\r(3)π,9)＝eq\f(4π,9).18．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝eq\f(1,2)(弦×矢＋矢2)．弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为eq\f(2π,3)，半径为4m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是________m2.[解析]eq\f(2π,3)＝120°，根据题设，弦＝2×4sineq\f(120°,2)＝4eq\r(3)(m)，矢＝4－2＝2(m)，因此弧田面积＝eq\f(1,2)×(弦×矢＋矢2)＝eq\f(1,2)×(4eq\r(3)×2＋22)＝4eq\r(3)＋2≈9(m2)．19．已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形的圆心角的弧度数．[解析]设扇形的圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，所在圆的半径为r.依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l＋2r＝10，,\f(1,2)lr＝4，))消去l，得r2－5r＋4＝0，解得r＝1或r＝4.当r＝1时，l＝8，此时θ＝8rad>2πrad，故舍去；当r＝4时，l＝2，此时θ＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)rad，满足题意．故θ＝eq\f(1,2)rad.20．已知两角和为1弧度，且两角差为1°，则这两个角的弧度数分别是__________________________．[解析]设两个角的弧度数分别为x，y.因为1°＝eq\f(π,180)rad，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1,x－y＝\f(π,180).))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)＋\f(π,360),y＝\f(1,2)－\f(π,360)，))所以所求两角的弧度数分别为eq\f(1,2)＋eq\f(π,360)，eq\f(1,2)－eq\f(π,360).21．已知扇形AOB的周长为10cm”，求该扇形的面积的最大值及取得最大值时圆心角的大小及弧长．[解析]设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S，由l＋2r＝10得l＝10－2r，S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)(10－2r)·r＝5r－r2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r－\f(5,2)))2＋eq\f(25,4)，0<r<5.当r＝eq\f(5,2)时，S取得最大值eq\f(25,4)，这时l＝10－2×eq\f(5,2)＝5，∴θ＝eq\f(l,r)＝eq\f(5,\f(5,2))＝2.故该扇形的面积的最大值为eq\f(25,4)cm2，取得最大值时圆心角为2rad，弧长为5cm.22．已知一扇形的周长为40cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？[解析]设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝40，所以l＝40－2r，所以S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×(40－2r)r＝－(r－10)2＋100.所以当半径r＝10cm时，扇形的面积最大，最大值为100cm2，这时θ＝eq\f(l,r)＝eq\f(40－2×10,10)＝2rad.23．已知扇形AOB的周长为8cm.(1)若这个扇形的面积为3cm2，求该扇形的圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦AB的长度．[解析](1)设该扇形AOB的半径为r，圆心