高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第一册)第三章圆锥曲线的方程综合检测卷(原卷版+解析)

第三章圆锥曲线的方程综合检测卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．2．已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，点M在抛物线上，且，则M点到轴的距离为（

）A．2 B． C． D．3．已知抛物线（）的焦点为F.若直线与C交于A，B两点，且，则（

）A．3 B．4 C．5 D．64．已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，，则椭圆C的标准方程为（

）A． B． C． D．5．直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（

）A．6 B．8 C．2 D．46．已知直线与双曲线无公共交点，则双曲线C离心率e的取值范围为（

）．A． B． C． D．7．已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点A满足，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．8．椭圆的焦点为，，椭圆上的点满足，则点到轴的距离为（

）A． B． C． D．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得09．下列双曲线中以为渐近线的是（

）A． B． C． D．10．对任意的，方程所表示的曲线可能为（

）A．双曲线 B．抛物线 C．椭圆 D．圆11．已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（

）A．存在P使得 B．的最小值为C．，则的面积为9 D．直线与直线斜率乘积为定值12．已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（

）A．直线的斜率为 B．C． D．三．填空题本题共4小题，每小题5分，共20分13．若是双曲线上一点，则到两个焦点的距离之差为______.14．设双曲线的两个焦点分别为、，P为双曲线上一点，若，则______．15．如图，，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为_______．16．是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，则的最小值为________．四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知抛物线上的点到焦点F的距离为6．(1)求抛物线C的方程；(2)过点作直线l交抛物线C于A，B两点，且点P是线段的中点，求直线l方程．18．已知双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且与以点为圆心，1为半径的圆相切，双曲线C的一个顶点与点A关于直线对称，设直线l过点A，斜率为k．(1)求双曲线C的方程；(2)当时，在双曲线C的上支上求点B，使其与直线l的距离为．19．已知椭圆的左焦点，右顶点．(1)求的方程(2)设为上一点（异于左、右顶点），为线段的中点，为坐标原点，直线与直线交于点，求证：．20．已知抛物线，O是坐标原点，F是C的焦点，M是C上一点，，．(1)求抛物线C的标准方程；(2)设点在C上，过Q作两条互相垂直的直线，分别交C于A，B两点（异于Q点）．证明：直线恒过定点．21．已知椭圆：的一个顶点为，焦距为．(1)求椭圆E的方程；(2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值．22．已知抛物线的顶点在坐标原点，椭圆的顶点分别为，，，，其中点为抛物线的焦点，如图所示.（1）求抛物线的标准方程；（2）若过点的直线与抛物线交于，两点，且，求直线的方程.第三章圆锥曲线的方程综合检测卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据标准方程可得的值，进而可用离心率公式求解.【详解】由双曲线，得，，∴，，∴，故选:C．2．已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，点M在抛物线上，且，则M点到轴的距离为（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】设点的坐标，由焦半径公式列出方程，求出点的横坐标，从而求出纵坐标，得到答案.【详解】由题意得，所以准线为，又因为，设点的坐标为，则有，解得：将代入解析式得：，所以M点到x轴的距离为．故选：D．3．已知抛物线（）的焦点为F.若直线与C交于A，B两点，且，则（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】将代入，求出点、的坐标，利用弦长求出，进而求得结果.【详解】将代入，解得，则、，所以，解得，则.故选：C.4．已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，，则椭圆C的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】方法一：构造并利用，从而求出，得出椭圆C的标准方程；方法二：若椭圆的标准方程为，则过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的线段为椭圆的通径，其长为，并利用，求出，从而得出椭圆C的标准方程.【详解】方法一：由题意，设椭圆C的标准方程连接，如图所示．由题意，得，．在中，①．又②．由①②，得a＝2，所以，所以椭圆C的标准方程为．方法二：由题意，设椭圆C的标准方程为，则，即，又，所以a＝2或（舍去），所以，，故椭圆C的标准方程为．故选：C.5．直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（

）A．6 B．8 C．2 D．4【答案】B【分析】联立直线与抛物线的方程，根据抛物线的焦点坐标，结合焦点弦长公式求解即可【详解】因为抛物线的焦点坐标为，又直线过抛物线的焦点F，所以，抛物线的方程为，由，得，所以，所以．故选：B6．已知直线与双曲线无公共交点，则双曲线C离心率e的取值范围为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】利用直线与双曲线的渐近线的位置关系即可求得结果.【详解】由题意得，的斜率为，而的渐近线为，由于直线与双曲线没有公共交点，如图，所以，即，故，即，所以，故，即.故选：C.7．已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点A满足，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由抛物线得到焦点坐标和准线方程，设，利用抛物线的定义可得到，代入抛物线可得或，即可得到答案【详解】解：由抛物线得，准线为，设，则由抛物线的定义可得即，将代入抛物线可得，即或，当的坐标为时，则的斜率；当的坐标为时，则的斜率；故选：C．8．椭圆的焦点为，，椭圆上的点满足，则点到轴的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用椭圆的定义以及余弦定理，可以解得，一方面，另一方面设点到轴的距离为，则，所以，即可求解【详解】易得．设，，则．在中，由余弦定理得，即，则，所以．设点到轴的距离为，则，故，解得．故选：C．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得09．下列双曲线中以为渐近线的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】依次求4个选项中的渐近线方程即可.【详解】A选项：渐近线方程，正确；B选项：渐近线方程，正确；C选项：渐近线方程，错误；D选项：渐近线方程，正确；故选：ABD.10．对任意的，方程所表示的曲线可能为（

）A．双曲线 B．抛物线 C．椭圆 D．圆【答案】ACD【分析】分情况讨论不同取值时所表示的曲线.【详解】因为，所以当时，方程可化为，表示两条直线；当时，方程化为，表示焦点在轴上的椭圆；当时，方程化为，表示圆；当时，方程化为，表示焦点在轴上的椭圆；当时，方程化为，表示焦点在轴上的双曲线；故选：ACD.11．已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（

）A．存在P使得 B．的最小值为C．，则的面积为9 D．直线与直线斜率乘积为定值【答案】ABC【分析】设椭圆短轴顶点为根据得的最大角为钝角即可判断A；记，则，结合余弦定理与基本不等式求解判断B；结合题意得，进而计算面积判断C；设，直接求解即可判断D.【详解】解：设椭圆短轴顶点为，由题知椭圆：中，，所以，，，，，对于A选项，由于，，所以的最大角为钝角，故存在P使得，正确；对于B选项，记，则，由余弦定理：，当且仅当时取“=”，B正确；对于C选项，由于，故，所以，C正确；对于D选项，设，则，，于是,故错误.故选：ABC12．已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（

）A．直线的斜率为 B．C． D．【答案】ACD【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，设，则，则，代入抛物线得，解得，则，则，B错误；对于C，由抛物线定义知：，C正确；对于D，，则为钝角，又，则为钝角，又，则，D正确.故选：ACD.三．填空题本题共4小题，每小题5分，共20分13．若是双曲线上一点，则到两个焦点的距离之差为______.【答案】【分析】由双曲线方程可得，根据双曲线定义可求得结果.【详解】由题意得：双曲线标准方程为，则，由双曲线定义知：，则.故答案为：.14．设双曲线的两个焦点分别为、，P为双曲线上一点，若，则______．【答案】0【分析】先由双曲线的定义结合已知求得，进而可求出.【详解】由题意得，，联立，因此，则．故答案为：0.15．如图，，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为_______．【答案】【分析】连接，设（），则.利用椭圆的定义表示出，由勾股定理求出，即可得到，进而求出直线的斜率.【详解】如图，连接.设（），则.因为，，所以，.在中，，所以，即，整理得，所以，所以直线的斜率为．故答案为：-2.16．是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，则的最小值为________．【答案】##【分析】求出圆心坐标和抛物线的焦点坐标，把的最小值转化为减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的距离即可得答案.【详解】圆的圆心为，半径，抛物线的焦点，因为是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，所以要使最小，即到抛物线的焦点与到圆的圆心的距离最小，连接，则的最小值为减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的距离，即，所以的最小值为，故答案为：四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知抛物线上的点到焦点F的距离为6．(1)求抛物线C的方程；(2)过点作直线l交抛物线C于A，B两点，且点P是线段的中点，求直线l方程．【答案】(1).(2).【分析】（1）由抛物线定义有求参数，即可写出抛物线方程.（2）由题意设，联立抛物线方程，结合韦达定理、中点坐标求参数k，即可得直线l方程．(1)由题设，抛物线准线方程为，∴抛物线定义知：，可得，∴.(2)由题设，直线l的斜率存在且不为0，设，联立抛物线方程，有，整理得，则，又P是线段的中点，∴，即，故.18．已知双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且与以点为圆心，1为半径的圆相切，双曲线C的一个顶点与点A关于直线对称，设直线l过点A，斜率为k．(1)求双曲线C的方程；(2)当时，在双曲线C的上支上求点B，使其与直线l的距离为．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据对称求出，确定，在由到渐近线距离为1列出方程，求出，确定双曲线方程；（2）设出，写出直线l的方程，利用点到直线距离列出方程，求出，写出点B坐标.（1）因为双曲线的焦点坐标在轴上，所以设双曲线方程为，因为，顶点与点A关于直线对称，所以，即，设双曲线渐近线为，由题意得：到渐近线距离为1，即，解得：，所以双曲线方程为.（2）设是双曲线C上到直线的距离为的点，所以，解得：，此时，即．19．已知椭圆的左焦点，右顶点．(1)求的方程(2)设为上一点（异于左、右顶点），为线段的中点，为坐标原点，直线与直线交于点，求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据题意，求得a，c的值，根据a，b，c的关系，求得的值，即可得答案.（2）设点，即可得M点坐标及直线OM的方程，与直线l联立，可得N点坐标，即可得坐标，结合数量积公式，即可得证（1）设椭圆的半焦距为．因为椭圆的左焦点，右顶点，所以，．所以，故C的方程为：；（2）设点，且，因为为线段的中点，所以，所以直线的方程为：，令，得，所以点，此时，，，所以，所以，所以．20．已知抛物线，O是坐标原点，F是C的焦点，M是C上一点，，．(1)求抛物线C的标准方程；(2)设点在C上，过Q作两条互相垂直的直线，分别交C于A，B两点（异于Q点）．证明：直线恒过定点．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由抛物线的方程可得焦点的坐标及准线方程，由及抛物线的性质可得的横坐标，再由．可得的纵坐标，将的坐标代入抛物线的方程可得的值，进而求出抛物线的方程；（2）由题意可得直线的斜率不为0，设直线的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出数量积的表达式，由数量积为0可得参数的关系，代入直线的方程可得直线恒过定点．（1）解：由，可得，代入．解得或（舍），所以抛物线的方程为：．（2）解:由题意可得，直线的斜率不为0，设直线的方程为，设，由，得，从而，则．所以，，∵，∴，故，整理得．即，从而或，即或．若，则，过定点，与Q点重合，不符合；若，则，过定点．综上，直线过异于Q点的定点．21．已知椭圆：的一个顶点为，焦距为．(1)求椭圆E的方程；