高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题53正切函数的性质与图象(原卷版+解析)

专题53正切函数的性质与图象知识点正切函数的图象与性质解析式y＝tanx图象定义域eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈R，且x≠\f(π,2)))＋kπ，k∈Z))值域R周期π奇偶性奇函数对称中心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z单调性在开区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))，k∈Z内都是增函数题型一有关正切函数的定义域、值域问题类型一定义域1．函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的定义域为________．2．函数y＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(x,4)))的定义域为________．3．函数f(x)＝eq\f(1,tanx－1)的定义域是____________．4．函数y＝eq\f(1,\r(tanx－1))的定义域为()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(π,2)))，k∈ZB．{x|x≠kπ－eq\f(π,4)，k∈Z}C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(π,2)))，k∈ZD.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(π,2)))，k∈Z5．函数y＝lg(eq\r(3)－tanx)的定义域为________．6．函数y＝logeq\f(1,2)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))的定义域是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝kπ－\f(π,4)，k∈Z))))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,4)＜x＜kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ－\f(π,4)，k∈Z))))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))7．函数y＝eq\r(tanx＋1)＋lg(1－tanx)的定义域为________．8．函数y＝eq\r(－tanx)＋eq\r(cosx)的定义域为________．9．已知函数f(x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))(1)求f(x)的定义域；(2)设β∈(0，π)，且f(β)＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))，求β的值．类型二值域1．函数y＝tanxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)≤x≤\f(3π,4)，且x≠\f(π,2)))的值域是________．2．求函数y＝tan(π－x)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,3)))的值域为________．3．函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,4)))，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))的值域是________．4．函数y＝eq\f(1,tanx)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＜x＜\f(π,4)且x≠0))的值域是()A．(－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－1，＋∞)5．求函数y＝tan2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,3)))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,3)))＋1的定义域和值域．6．函数y＝－tan2x＋4tanx＋1，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))的值域为________．7．已知f(x)＝tan2x－2tanxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|x|≤\f(π,3)))，求f(x)的值域．8．函数y＝tan(cosx)的值域是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))C．[－tan1，tan1] D．以上都不对9．方程taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝eq\r(3)在[0,2π)上的解的个数是()A．5 B．4C．3 D．2题型二正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性类型一奇偶性1．判断下列函数的奇偶性：①y＝3xtan2x－2x4；②y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＋tanx.2．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝eq\f(tan2x－tanx,tanx－1)；(2)f(x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4))).3．函数y＝|x|tan2x是()A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数，又是偶函数4．函数y＝eq\f(tanx,1＋cosx)()A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数，又是偶函数D．既不是奇函数，又不是偶函数5．当x∈(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))时，函数y＝tan|x|的图象()A．关于原点对称 B．关于y轴对称C．关于x轴对称 D．无法确定6．f(x)＝asinx＋btanx＋1，满足f(5)＝7，则f(－5)＝________.7．已知函数f(x)＝x＋tanx＋1，若f(a)＝2，则f(－a)的值为________．类型二周期性1．函数y＝tan3x的最小正周期是________．2．函数f(x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的周期为________．3．函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y＝1所得的线段长为eq\f(π,4)，则ω的值是()A．1B．2C．4D．84．函数y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))))的最小正周期为________．5．若f(n)＝taneq\f(nπ,3)，(n∈N*)则f(1)＋f(2)＋…＋f(2019)＝________.6．函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝eq\f(π,4)所得线段长为eq\f(π,4)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))的值是()A．0 B．1C．－1 D.eq\f(π,4)类型三图象的对称性1．已知函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，则该函数图象的对称中心坐标为________．2．函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,5)))，x∈R且x≠eq\f(3,10)π＋kπ，k∈Z的一个对称中心是()A．(0,0) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,5)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)π，0)) D．(π，0)3．求函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,3)))的定义域、最小正周期、单调区间及其图象的对称中心．4．已知函数f(x)＝tan(x＋φ)的图象的一个对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))且|φ|<eq\f(π,2)，则φ＝________.5．关于x的函数f(x)＝tan(x＋φ)有以下几种说法：①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；②f(x)的图象关于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－φ，0))对称；③f(x)的图象关于(π－φ，0)对称；④f(x)是以π为最小正周期的周期函数．其中不正确的说法的序号是________．6．下列关于函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的说法正确的是()A．在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))上单调递增B．最小正周期是2πC．图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))成中心对称D．图象关于直线x＝eq\f(π,6)成轴对称7．设函数f(x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,3))).(1)求函数f(x)的周期，对称中心；(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图．题型三正切函数单调性的应用类型一求单调区间1．函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,5)))的单调增区间是________．2．求函数y＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x))的单调区间．3．求函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))的单调区间；4．函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,4)))的单调增区间为________．5．函数f(x)＝eq\f(1,3)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋\f(π,4)))的单调递增区间为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2k－\f(3,2)，2k＋\f(1,2)))，k∈ZB.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2k－\f(1,2)，2k＋\f(1,2)))，k∈ZC.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4k－\f(1,2)，4k＋\f(1,2)))，k∈ZD.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4k－\f(3,2)，4k＋\f(1,2)))，k∈Z类型二比较大小1．tan1，tan2，tan3，tan4从小到大的排列顺序为________．2．下列各式中正确的是()A．tan735°＞tan800° B．tan1＞－tan2C．taneq\f(5π,7)＜taneq\f(4π,7) D．taneq\f(9π,8)＜taneq\f(π,7)3．比较taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,4)))与taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12π,5)))的大小；4．比较大小：taneq\f(6,5)π________taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,7)π))；5．已知函数f(x)＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(x,4))).(1)求它的最小正周期和单调递减区间；(2)试比较f(π)与feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)))的大小．类型三单调性的应用(求参等)1．解不等式taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))≤eq\r(3).2．若tanx≥1，则()A．2kπ－eq\f(π,4)＜x＜2kπ(k∈Z)B．x≤(2k＋1)π(k∈Z)C．kπ－eq\f(π,4)＜x≤kπ(k∈Z)D．kπ＋eq\f(π,4)≤x＜kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)3．不等式taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))≥1的解集为______________．4．函数y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))内的图象是()5．已知函数y＝tanωx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内是减函数，则()A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0C．ω≥1 D．ω≤－16．已知函数f(x)＝2taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kx－\f(π,3)))的最小正周期T满足1＜T＜eq\f(3,2)，求正整数k的值，并写出f(x)的奇偶性、单调区间．7．已知函数f(x)＝x2＋2xtanθ－1，x∈[－1，eq\r(3)]，其中θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))).(1)当θ＝－eq\f(π,6)时，求函数的最大值和最小值；(2)求使y＝f(x)在区间[－1，eq\r(3)]上是单调函数的θ的取值范围．8．设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，0＜φ＜\f(π,2)))，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为eq\f(π,2)，且图象关于点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)，0))对称．(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)的单调区间．9．是否存在实数a，且a∈Z，使得函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－ax))在x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)，\f(5π,8)))上是单调递增的？若存在，求出a的一个值；若不存在，请说明理由．专题53正切函数的性质与图象知识点正切函数的图象与性质解析式y＝tanx图象定义域eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈R，且x≠\f(π,2)))＋kπ，k∈Z))值域R周期π奇偶性奇函数对称中心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z单调性在开区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))，k∈Z内都是增函数题型一有关正切函数的定义域、值域问题类型一定义域1．函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的定义域为________．[解析]因为2x－eq\f(π,6)≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，所以x≠eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,3)，k∈Z所以函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(kπ,2)＋\f(π,3)，k∈Z)))).2．函数y＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(x,4)))的定义域为________．[解析]要使函数有意义应满足eq\f(π,6)－eq\f(x,4)≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得x≠－4kπ－eq\f(4π,3)，k∈Z，所以函数的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－4kπ－\f(4π,3)，k∈Z)))).3．函数f(x)＝eq\f(1,tanx－1)的定义域是____________．[解析]若使函数f(x)有意义，需使tanx－1≠0，即tanx≠1.∵tanx有意义，∴x≠kπ＋eq\f(π,2)且x≠kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z，∴f(x)＝eq\f(1,tanx－1)的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠kπ＋\f(π,4)且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).4．函数y＝eq\f(1,\r(tanx－1))的定义域为()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(π,2)))，k∈ZB．{x|x≠kπ－eq\f(π,4)，k∈Z}C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(π,2)))，k∈ZD.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(π,2)))，k∈Z[解析]若使函数y＝eq\f(1,\r(tanx－1))有意义，需使tanx－1>0，即tanx>1.结合正切曲线，可得kπ＋eq\f(π,4)<x<kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．所以函数y＝eq\f(1,\r(tanx－1))的定义域是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)．5．函数y＝lg(eq\r(3)－tanx)的定义域为________．[解析]因为eq\r(3)－tanx＞0，所以tanx＜eq\r(3).又因为tanx＝eq\r(3)时，x＝eq\f(π,3)＋kπ(k∈Z)，根据正切函数图象，得kπ－eq\f(π,2)＜x＜kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)．6．函数y＝logeq\f(1,2)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))的定义域是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝kπ－\f(π,4)，k∈Z))))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,4)＜x＜kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ－\f(π,4)，k∈Z))))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))[解析]由题意taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＞0，即taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＜0，∴kπ－eq\f(π,2)＜x－eq\f(π,4)＜kπ，∴kπ－eq\f(π,4)＜x＜kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z，故选B.7．函数y＝eq\r(tanx＋1)＋lg(1－tanx)的定义域为________．[解析]要使函数y＝eq\r(tanx＋1)＋lg(1－tanx)有意义，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanx＋1≥0，,1－tanx>0，))即－1≤tanx<1.在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上满足上述不等式的x的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4))).又因为y＝tanx的周期为π，所以所求x的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋kπ≤x<\f(π,4)＋kπ，k∈Z)))).8．函数y＝eq\r(－tanx)＋eq\r(cosx)的定义域为________．[解析]由题意得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－tanx≥0，,cosx≥0，))所以2kπ－eq\f(π,2)＜x≤2kπ，k∈Z，所以函数y＝eq\r(－tanx)＋eq\r(cosx)的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)＜x≤2kπ，k∈Z)))).9．已知函数f(x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))(1)求f(x)的定义域；(2)设β∈(0，π)，且f(β)＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))，求β的值．[解析](1)由x＋eq\f(π,4)≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z得x≠kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z.所以函数f(x)的定义域是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z)))).(2)依题意；得taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,4)))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))，所以eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,4))),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,4))))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,4)))，整理得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,4)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,4)))－1))＝0，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,4)))＝0或coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,4)))＝eq\f(1,2).因为β∈(0，π)，所以β＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4)))，由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,4)))＝0得β＋eq\f(π,4)＝π，β＝eq\f(3π,4)，由coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,4)))＝eq\f(1,2)得β＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,3)，β＝eq\f(π,12)，所以β＝eq\f(π,12)或β＝eq\f(3π,4).类型二值域1．函数y＝tanxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)≤x≤\f(3π,4)，且x≠\f(π,2)))的值域是________．[解析]因为y＝tanx在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))上都是增函数，所以y≥taneq\f(π,4)＝1或y≤taneq\f(3π,4)＝－1.2．求函数y＝tan(π－x)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,3)))的值域为________．[解析]y＝tan(π－x)＝－tanx，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,3)))上为减函数，所以值域为(－eq\r(3)，1)．3．函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,4)))，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))的值域是________．[解析]因为x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))，所以eq\f(x,2)＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,4)))∈(1，eq\r(3))．4．函数y＝eq\f(1,tanx)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＜x＜\f(π,4)且x≠0))的值域是()A．(－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－1，＋∞)[解析]当－eq\f(π,4)＜x＜0时，－1＜tanx＜0，∴eq\f(1,tanx)≤－1；当0＜x＜eq\f(π,4)时，0＜tanx＜1，∴eq\f(1,tanx)≥1.即当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，0))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))时，函数y＝eq\f(1,tanx)的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．5．求函数y＝tan2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,3)))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,3)))＋1的定义域和值域．[解析]由3x＋eq\f(π,3)≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得x≠eq\f(kπ,3)＋eq\f(π,18)(k∈Z)，所以函数的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(kπ,3)＋\f(π,18)k∈Z)))).设t＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,3)))，则t∈R，y＝t2＋t＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)，所以原函数的值域是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞)).6．函数y＝－tan2x＋4tanx＋1，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))的值域为________．[解析]∵－eq\f(π,4)≤x≤eq\f(π,4)，∴－1≤tanx≤1.令tanx＝t，则t∈[－1,1]．∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.∴当t＝－1，即x＝－eq\f(π,4)时，ymin＝－4，当t＝1，即x＝eq\f(π,4)时，ymax＝4.故所求函数的值域为[－4,4]．7．已知f(x)＝tan2x－2tanxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|x|≤\f(π,3)))，求f(x)的值域．[解析]令tanx＝t，由|x|≤eq\f(π,3)，则t∈[－eq\r(3)，eq\r(3)]．即有y＝t2－2t＝(t－1)2－1，则y在[－eq\r(3)，1]上单调递减，在[1，eq\r(3)]上单调递增．∴y的最大值为3＋2eq\r(3)，最小值为－1.∴f(x)的值域为[－1,3＋2eq\r(3)]．8．函数y＝tan(cosx)的值域是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))C．[－tan1，tan1] D．以上都不对[解析]cosx∈[－1,1]，y＝tanx在[－1,1]上是增函数，所以y＝tan(cosx)的值域是[－tan1，tan1]．9．方程taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝eq\r(3)在[0,2π)上的解的个数是()A．5 B．4C．3 D．2[解析]由题意知，2x＋eq\f(π,3)＝eq\f(π,3)＋kπ，k∈Z，所以x＝eq\f(kπ,2)，k∈Z，又x∈[0,2π)．所以x＝0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，共4个．故选B.题型二正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性类型一奇偶性1．判断下列函数的奇偶性：①y＝3xtan2x－2x4；②y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＋tanx.[解析]①定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(kπ,2)＋\f(π,4)，k∈Z))))，关于原点对称，又f(－x)＝3(－x)tan2(－x)－2(－x)4＝3xtan2x－2x4＝f(x)，所以它是偶函数．②定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))，关于原点对称，y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＋tanx＝sinx＋tanx，又f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sinx－tanx＝－f(x)，所以它是奇函数．2．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝eq\f(tan2x－tanx,tanx－1)；(2)f(x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4))).[解析](1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z，,tanx≠1，))得f(x)的定义域为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)且x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))，不关于原点对称，所以函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数．(2)函数定义域为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≠kπ－\f(π,4)且x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))，关于原点对称，又f(－x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x－\f(π,4)))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x＋\f(π,4)))＝－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数．3．函数y＝|x|tan2x是()A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数，又是偶函数[解析]易知2x≠kπ＋eq\f(π,2)，即x≠eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,4)，k∈Z，定义域关于原点对称．又|－x|tan(－2x)＝－|x|tan2x，∴y＝|x|tan2x是奇函数．4．函数y＝eq\f(tanx,1＋cosx)()A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数，又是偶函数D．既不是奇函数，又不是偶函数[解析]函数的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)))且x≠π＋2kπ，k∈Z))，关于原点对称．设y＝f(x)＝eq\f(tanx,1＋cosx)，则f(－x)＝eq\f(tan－x,1＋cos－x)＝eq\f(－tanx,1＋cosx)＝－f(x)．所以y＝f(x)是奇函数．故选A.5．当x∈(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))时，函数y＝tan|x|的图象()A．关于原点对称 B．关于y轴对称C．关于x轴对称 D．无法确定[解析]函数y＝tan|x|，x∈(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))是偶函数，其图象关于y轴对称．故选B.6．f(x)＝asinx＋btanx＋1，满足f(5)＝7，则f(－5)＝________.[解析]∵f(5)＝asin5＋btan5＋1＝7，∴asin5＋btan5＝6，∴f(－5)＝asin(－5)＋btan(－5)＋1＝－(asin5＋btan5)＋1＝－6＋1＝－5.7．已知函数f(x)＝x＋tanx＋1，若f(a)＝2，则f(－a)的值为________．[解析]设g(x)＝x＋tanx，显然g(x)为奇函数．∵f(a)＝g(a)＋1＝2，∴g(a)＝1，∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝0.类型二周期性1．函数y＝tan3x的最小正周期是________．[解析]函数y＝tan3x的最小正周期是eq\f(π,3).2．函数f(x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的周期为________．[解析]法一：(定义法)∵taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)＋π))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，即taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＋\f(π,3)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，∴f(x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的周期是eq\f(π,2).法二：(公式法)f(x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的周期T＝eq\f(π,2).3．函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y＝1所得的线段长为eq\f(π,4)，则ω的值是()A．1B．2C．4D．8[解析]由题意可得f(x)的周期为eq\f(π,4)，则eq\f(π,ω)＝eq\f(π,4)，∴ω＝4.4．函数y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))))的最小正周期为________．[解析]y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，x∈\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(π,4)))，k∈Z，,－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，x∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(3π,4)，kπ－\f(π,4)))，k∈Z，))其图象如图所示：由图象知y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))))的最小正周期为π.5．若f(n)＝taneq\f(nπ,3)，(n∈N*)则f(1)＋f(2)＋…＋f(2019)＝________.[解析]因为f(n)＝taneq\f(π,3)n的周期T＝eq\f(π,\f(π,3))＝3，且f(1)＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3)，f(2)＝taneq\f(2π,3)＝－eq\r(3)，f(3)＝tanπ＝0，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2019)＝eq\f(2019,3)×0＝0.6．函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝eq\f(π,4)所得线段长为eq\f(π,4)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))的值是()A．0 B．1C．－1 D.eq\f(π,4)[解析]由题意，T＝eq\f(π,ω)＝eq\f(π,4)，∴ω＝4，∴f(x)＝tan4x,feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝tanπ＝0，故选A.类型三图象的对称性1．已知函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，则该函数图象的对称中心坐标为________．[解析]由x－eq\f(π,3)＝eq\f(kπ,2)(k∈Z)得x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,3)(k∈Z)，所以图象的对称中心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)＋\f(π,3)，0))，k∈Z.2．函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,5)))，x∈R且x≠eq\f(3,10)π＋kπ，k∈Z的一个对称中心是()A．(0,0) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,5)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)π，0)) D．(π，0)[解析]∵y＝tanx的对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)，∴x＋eq\f(π,5)＝eq\f(kπ,2)，(k∈Z)∴x＝eq\f(kπ,2)－eq\f(π,5)(k∈Z)当k＝2时，x＝eq\f(4,5)π，∴对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)π，0)).3．求函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,3)))的定义域、最小正周期、单调区间及其图象的对称中心．[解析]①由eq\f(x,2)－eq\f(π,3)≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得x≠2kπ＋eq\f(5π,3)，k∈Z，∴函数的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠2kπ＋\f(5,3)π，k∈Z)))).②T＝eq\f(π,\f(1,2))＝2π，∴函数的最小正周期为2π.③由kπ－eq\f(π,2)＜eq\f(x,2)－eq\f(π,3)＜kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得2kπ－eq\f(π,3)＜x＜2kπ＋eq\f(5π,3)，k∈Z，∴函数的单调递增区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(5π,3)))，k∈Z.④由eq\f(x,2)－eq\f(π,3)＝eq\f(kπ,2)，k∈Z，得x＝kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z，∴函数图象的对称中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(2π,3)，0))，k∈Z.4．已知函数f(x)＝tan(x＋φ)的图象的一个对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))且|φ|<eq\f(π,2)，则φ＝________.[解析]由题意得eq\f(π,3)＋φ＝eq\f(kπ,2)(k∈Z)，即φ＝eq\f(kπ,2)－eq\f(π,3)(k∈Z)，又|φ|<eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,6)或φ＝－eq\f(π,3).5．关于x的函数f(x)＝tan(x＋φ)有以下几种说法：①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；②f(x)的图象关于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－φ，0))对称；③f(x)的图象关于(π－φ，0)对称；④f(x)是以π为最小正周期的周期函数．其中不正确的说法的序号是________．[解析]①若取φ＝kπ(k∈Z)，则f(x)＝tanx，此时，f(x)为奇函数，所以①错误；观察正切函数y＝tanx的图象，可知y＝tanx关于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)对称，令x＋φ＝eq\f(kπ,2)得x＝eq\f(kπ,2)－φ，分别令k＝1,2知②、③正确，④显然正确．6．下列关于函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的说法正确的是()A．在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))上单调递增B．最小正周期是2πC．图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))成中心对称D．图象关于直线x＝eq\f(π,6)成轴对称[解析]令kπ－eq\f(π,2)<x＋eq\f(π,3)<kπ＋eq\f(π,2)，解得kπ－eq\f(5π,6)<x<kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z，显然eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))不满足上述关系式，故A错误；易知该函数的最小正周期为π，故B错误；令x＋eq\f(π,3)＝eq\f(kπ,2)，解得x＝eq\f(kπ,2)－eq\f(π,3)，k∈Z，令k＝1得到x＝eq\f(π,6)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))是函数的对称中心，故C正确；正切曲线没有对称轴，因此函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的图象也没有对称轴，故D错误．故选C.7．设函数f(x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,3))).(1)求函数f(x)的周期，对称中心；(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图．[解析](1)∵ω＝eq\f(1,2)，∴周期T＝eq\f(π,ω)＝eq\f(π,\f(1,2))＝2π.令eq\f(x,2)－eq\f(π,3)＝eq\f(kπ,2)(k∈Z)，则x＝kπ＋eq\f(2π,3)(k∈Z)，∴f(x)的对称中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(2π,3)，0))(k∈Z)．(2)令eq\f(x,2)－eq\f(π,3)＝0，则x＝eq\f(2π,3)；令eq\f(x,2)－eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)，则x＝eq\f(5π,3)；令eq\f(x,2)－eq\f(π,3)＝－eq\f(π,2)，则x＝－eq\f(π,3).∴函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,3)))的图象与x轴的一个交点坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，0))，在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－eq\f(π,3)，x＝eq\f(5π,3)，从而得到函数y＝f(x)在一个周期eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(5π,3)))内的简图(如图)．题型三正切函数单调性的应用类型一求单调区间1．函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,5)))的单调增区间是________．[解析]令kπ－eq\f(π,2)＜x－eq\f(π,5)＜kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得kπ－eq\f(3π,10)＜x＜kπ＋eq\f(7π,10)，k∈Z即函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,5)))的单调增区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(3π,10)，kπ＋\f(7π,10)))，k∈Z.2．求函数y＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x))的单调区间．[解析]y＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x))＝－3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))，由－eq\f(π,2)＋kπ＜2x－eq\f(π,4)＜eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z得，－eq\f(π,8)＋eq\f(k,2)π＜x＜eq\f(3π,8)＋eq\f(k,2)π，k∈Z，所以y＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x))的减区间为(－eq\f(π,8)＋eq\f(k,2)π，eq\f(3π,8)＋eq\f(k,2)π)，k∈Z.3．求函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))的单调区间；[解析]由kπ－eq\f(π,2)<eq\f(1,2)x－eq\f(π,4)<kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)得，2kπ－eq\f(π,2)<x<2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z，所以函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))的单调递增区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z)．4．函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,4)))的单调增区间为________．[解析]由题意知，kπ－eq\f(π,2)<eq\f(1,2)x＋eq\f(π,4)<kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，即kπ－eq\f(3π,4)<eq\f(1,2)x<kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z.所以2kπ－eq\f(3π,2)<x<2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，故单调增区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(3π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)．5．函数f(x)＝eq\f(1,3)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋\f(π,4)))的单调递增区间为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2k－\f(3,2)，2k＋\f(1,2)))，k∈ZB.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2k－\f(1,2)，2k＋\f(1,2)))，k∈ZC.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4k－\f(1,2)，4k＋\f(1,2)))，k∈ZD.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4k－\f(3,2)，4k＋\f(1,2)))，k∈Z[解析]由kπ－eq\f(π,2)<eq\f(π,2)x＋eq\f(π,4)<kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)得2k－eq\f(3,2)<x<2k＋eq\f(1,2)(k∈Z)．故f(x)的单调递增区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2k－\f(3,2)，2k＋\f(1,2)))(k∈Z)．类型二比较大小1．tan1，tan2，tan3，tan4从小到大的排列顺序为________．[解析]y＝tanx在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))上是单调增函数，且tan1＝tan(π＋1)，又eq\f(π,2)＜2＜3＜4＜π＋1＜eq\f(3π,2)，所以tan2＜tan3＜tan4＜tan1.2．下列各式中正确的是()A．tan735°＞tan800° B．tan1＞－tan2C．taneq\f(5π,7)＜taneq\f(4π,7) D．taneq\f(9π,8)＜taneq\f(π,7)[解析]对于A，tan735°＝tan15°，tan800°＝tan80°，tan15°＜tan80°，所以tan735°＜tan800°；对于B，－tan2＝tan(π－2)，而1＜π－2＜eq\f(π,2)，所以tan1＜－tan2；对于C，eq\f(π,2)＜eq\f(4π,7)＜eq\f(5π,7)＜π，taneq\f(4π,7)＜taneq\f(5π,7)；对于D，taneq\f(9π,8)＝taneq\f(π,8)＜taneq\f(π,7).3．比较taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,4)))与taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12π,5)))的大小；[解析]由于taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,4)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(3π,4)))＝taneq\f(3π,4)＝－taneq\f(π,4)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12π,5)))＝－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(2π,5)))＝－taneq\f(2π,5)，又0<eq\f(π,4)<eq\f(2π,5)<eq\f(π,2)，而y＝tanx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上单调递增，所以taneq\f(π,4)<taneq\f(2π,5)，－taneq\f(π,4)>－taneq\f(2π,5)，即taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,4)))>taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12π,5))).4．比较大小：taneq\f(6,5)π________taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,7)π))；[解析]taneq\f(6,5)π＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,5)))＝taneq\f(π,5)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,7)π))＝－taneq\f(13,7)π＝－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(π,7)))＝－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,7)))＝taneq\f(π,7)，因为－eq\f(π,2)<eq\f(π,7)<eq\f(π,5)<eq\f(π,2)，y＝tanx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上单调递增，所以taneq\f(π,7)<taneq\f(π,5)，即taneq\f(6,5)π>taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,7)π)).5．已知函数f(x)＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(x,4))).(1)求它的最小正周期和单调递减区间；(2)试比较f(π)与feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)))的大小．[解析](1)因为f(x)＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(x,4)))＝－3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)－\f(π,6)))，所以T＝eq\f(π,ω)＝eq\f(π,\f(1,4))＝4π.由kπ－eq\f(π,2)＜eq\f(x,4)－eq\f(π,6)＜kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得4kπ－eq\f(4π,3)＜x＜4kπ＋eq\f(8π,3)(k∈Z)．因为y＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)－\f(π,6)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4kπ－\f(4π,3)，4kπ＋\f(8π,3)))(k∈Z)上单调递增，所以f(x)＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(x,4)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4kπ－\f(4π,3)，4kπ＋\f(8π,3)))(k∈Z)上单调递减．故函数的最小正周期为4π，单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4kπ－\f(4π,3)，4kπ＋\f(8π,3)))(k∈Z)(2)f(π)＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(π,4)))＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)))＝－3taneq\f(π,12)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)))＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(3π,8)))＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,24)))＝－3taneq\f(5π,24)，因为eq\f(π,12)＜eq\f(5π,24)，且y＝tanx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上单调递增，所以taneq\f(π,12)＜taneq\f(5π,24)，所以f(π)＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2))).类型三单调性的应用(求参等)1．解不等式taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))≤eq\r(3).[解析]将x＋eq\f(π,3)看成一个整体，由函数y＝tanx的图象可知在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上满足tanx≤eq\r(3)的解应满足－eq\f(π,2)<x≤eq\f(π,3)，再结合y＝tanx的周期，得kπ－eq\f(π,2)<x＋eq\f(π,3)≤kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z，即kπ－eq\f(5,6)π<x≤kπ，k∈Z，所以不等式taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))≤eq\r(3)的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|kπ－\f(5,6)π<x≤kπ，k∈Z)).2．若tanx≥1，则()A．2kπ－eq\f(π,4)＜x＜2kπ(k∈Z)B．x≤(2k＋1)π(k∈Z)C．kπ－eq\f(π,4)＜x≤kπ(k∈Z)D．kπ＋eq\f(π,4)≤x＜kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)[解析]因为tanx≥1＝taneq\f(π,4).所以eq\f(π,4)＋kπ≤x＜eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z.3．不等式taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))≥1的解集为______________．[解析]由已知可得kπ＋eq\f(π,4)≤2x＋eq\f(π,4)<kπ－eq\f(π,2)，解得eq\f(kπ,2)≤x<eq\f(kπ,2)－eq\f(3π,8)，k∈Z，∴不等式taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))≥1的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))\f(kπ,2)≤x<\f(kπ,2)－\f(3,8)π，k∈Z)).4．函数y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))内的图象是()[解析]当eq\f(π,2)＜x＜π，tanx＜sinx，y＝2tanx＜0；当x＝π时，y＝0；当π＜x＜eq\f(3π,2)时，tanx＞sinx，y＝2sinx．故选D.5．已知函数y＝tanωx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,