高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册）3.3.1 抛物线及其标准方程(附答案)

3.3.1抛物线及其标准方程【考点梳理】考点一抛物线的定义1．定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹．2．焦点：定点F.3．准线：定直线l.考点二抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))x＝－eq\f(p,2)y2＝－2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))x＝eq\f(p,2)x2＝2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))y＝－eq\f(p,2)x2＝－2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))y＝eq\f(p,2)重难点技巧：p的几何意义是焦点到准线的距离．【题型归纳】题型一：抛物线的定义求轨迹方程1．已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（

）A． B． C． D．2．已知圆C与过点且垂直于x轴的直线仅有1个公共点，且与圆外切，则点C的轨迹方程为（

）A． B． C． D．3．已知点，过直线上一动点P作与y轴垂直的直线，与线段的中垂线交于点Q，则Q点的轨迹方程为（

）A． B． C． D．题型二：抛物线的最值问题4．已知抛物线的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆上，则的最小值为（

）A．4 B．6 C．8 D．105．动点P，Q分别在抛物线和圆上，则的最小值为（

）A． B． C． D．6．已知圆，点在抛物线上运动，过点引直线，与圆相切，切点分别为，，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．8题型三：抛物线焦半径的公式7．已知抛物线C：（）的准线为l，圆M：与l相切，则（

）A．1 B．2 C．3 D．48．已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，点在上，且，则直线的斜率为A． B． C． D．9．以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是（

）A． B． C．或 D．或题型四：抛物线的四种标准方程10．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点在C上，过P作l的垂线，垂足为Q，若，则F到l的距离为（

）A．2 B．4 C．6 D．811．抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过点做直线与此抛物线交于，两点，若，则（

）A．3 B．4 C．5 D．612．已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为30°的直线交抛物线于点（在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，若，则抛物线的方程是（

）A． B．C． D．题型五：抛物线的方程常见求法13．根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)经过点；(2)焦点为直线与坐标轴的交点．14．根据下列条件，求圆锥曲线的标准方程：(1)焦点为，，离心率为；(2)焦点为，，离心率为3：(3)抛物线的准线为；(4)椭圆与双曲线有相同的焦点，且短轴长为2．15．分别根据下列条件，求抛物线的标准方程．(1)准线方程是；(2)抛物线的焦点是双曲线的左顶点；(3)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，.【双基达标】一、单选题16．已知抛物线的顶点在原点，焦点坐标为，则抛物线的方程为（

）A． B． C． D．17．已知抛物线的准线是圆与圆的公共弦所在的直线，则抛物线的标准方程为（

）A． B． C． D．18．焦点在直线上的抛物线的标准方程为（

）A．或 B．或C．或 D．或19．已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为3，离心率为，则以双曲线C的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（

）A． B．C． D．20．已知双曲线的离心率，且双曲线C的两条渐近线与抛物线的准线围成的三角形的面积为3，则p的值为（

）A．1 B．2 C． D．421．求适合下列条件的抛物线的方程.(1)焦点为，准线方程为；(2)顶点在原点，准线方程为；(3)顶点在原点，以轴为对称轴，过点．22．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，且过点.(1)求双曲线的渐近线方程；(2)求抛物线的标准方程.【高分突破】一：单选题23．已知直线恒过定点，抛物线：的焦点坐标为，为抛物线上的动点，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．424．抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置．当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上．如图所示的太阳灶中，灶深CD即焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为1m，则灶口直径AB为（

）A．2m B．3m C．4m D．5m25．以椭圆的对称中心为顶点，椭圆的焦点为焦点的抛物线的方程是（

）．A． B．或C． D．或26．已知抛物线：的焦点为F，准线l上有两点A，B，若为等腰直角三角形且面积为8，则抛物线C的标准方程是（

）A． B．C．或 D．27．已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于点、，为坐标原点，若双曲线的离心率为2，三角形的面积为，则（

）A．1 B． C．2 D．3．已知抛物线：（）的焦点为，点在上，且，若点的坐标为，且，则的方程为（

）A．或 B．或C．或 D．或29．已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，过点的直线与抛物线交于，两点，则的最小值为（

）A． B． C． D．930．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，点C(－4，0)，过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线，与抛物线交于A，B两点，若△CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是（

）A．y2＝4x B．y2＝－4xC．y2＝8x D．y2＝－8x二、多选题31．已知抛物线，为坐标原点，为抛物线的焦点且为过焦点的弦，若，，则（

）A．抛物线的方程为B．抛物线的准线方程为C．过点可作抛物线的两条切线D．的面积为32．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则（

）A．焦点的坐标为B．过点恰有2条直线与抛物线有且只有一个公共点C．直线与抛物线相交所得弦长为8D．抛物线与圆交于两点，则33．已知斜率为的直线过抛物线：()的焦点，且与抛物线交于，两点，抛物线的准线上一点，满足，则（

）A． B．C． D．的面积为三、填空题34．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为_____35．已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，点是抛物线上一点，到准线的距离为，且，则抛物线的方程为____________.36．已知斜率为k的直线l过抛物线的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，抛物线C的准线上一点满足，则______．37．已知抛物线C：的焦点坐标为，点，过点P作直线l交抛物线C于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线，两切线交于点Q，则面积的最小值为___________.四、解答题38．求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点为；(2)准线方程为；(3)经过点；(4)焦点在y轴上，通径的长等于4．39．在①直线l：是抛物线C的准线；②F是椭圆的一个焦点；③，对于C上的点A，的最小值为；在以上三个条件中任选一个，填到下面问题中的横线处，并完成解答．已知抛物线C：的焦点为F，满足_____．(1)求抛物线C的标准方程；(2)是抛物线C上在第一象限内的一点，直线：与C交于M，N两点，若的面积为，求m的值．【答案详解】1．A【分析】根据动圆M与直线y=2相切，且与定圆外切，可得动点M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹是抛物线，由此易得轨迹方程．【详解】设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等,由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，-3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，所以，其方程为，故选：A2．A【分析】根据外切关系结合抛物线定义，分析得到的轨迹为抛物线，由此求解出抛物线的方程.【详解】由题意得，直线，且圆，设点到直线的距离为，则点到与点到的距离相等，都是，故点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，故方程为.故选：A.3．D【分析】根据中垂线性质得到，结合抛物线的定义判断出点的轨迹是抛物线，由此求解出轨迹方程.【详解】设，因为的中垂线经过点，所以，又因为轴，所以表示到直线的距离，且表示点到点的距离，点不在直线上，由抛物线的定义可知：点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，设轨迹方程为，所以，所以，所以轨迹方程为.故选：D.【点睛】方法点睛：求解动点的轨迹方程的常见方法：（1）定义法：如果动点的运动规律符合我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件待定方程中的参数，即可求得轨迹方程；（2）直接法：如果动点的运动规律满足的等量关系容易建立，则可用点的坐标表示该等量关系，即可得轨迹方程；（3）相关点法：如果动点的运动是由另外一点的运动引发的，而点的运动规律已知（坐标满足某已知的曲线方程），则用点的坐标表示出相关点的坐标，然后将点的坐标代入已知曲线方程，即可得到点的轨迹方程；（4）交轨消参法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程.4．C【分析】利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，再根据三点共线求最小距离.【详解】如图，过点向准线作垂线，垂足为，则，当垂直于抛物线的准线时，最小，此时线段与圆的交点为，因为准线方程为，，半径为，所以的最小值为.故选：C5．B【分析】设，根据两点间距离公式，先求得P到圆心的最小距离，根据圆的几何性质，即可得答案.【详解】设，圆化简为，即圆心为（0,4），半径为，所以点P到圆心的距离，令，则，令，，为开口向上，对称轴为的抛物线，所以的最小值为，所以，所以的最小值为.故选：B6．C【分析】利用切线性质，构造的长度关于的函数关系，再求函数的最小值即可.【详解】圆的方程：，可知，，，，故四边形的面积，，当取最小值时最小，设，则，当时，取最小值为，的最小值为．故选：．7．B【解析】求出抛物线的准线方程，利用已知条件列出方程求解即可．【详解】解：抛物线的准线与圆相切，可得，解得．故选：B．【点睛】本题考查抛物线的简单性质以及抛物线与圆的位置关系的应用，是基本知识的考查．8．B【分析】根据抛物线的定义，求得p的值，即可得抛物线，的标准方程，求得抛物线的焦点坐标后，再根据斜率公式求解.【详解】因为，所以，解得，所以直线的斜率为．故选B.【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用，考查了抛物线的简单性质，涉及了直线的斜率公式；抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离；解题过程中注意焦点的位置.9．C【分析】根据抛物线的概念以及几何性质即可求抛物线的标准方程.【详解】依题意设抛物线方程为．因为焦点到准线的距离为4，所以，所以，所以抛物线方程为或．故选：C．10．C【分析】根据抛物线的定义，结合条件表示出的长度，然后列出方程即可得到结果.【详解】如图，不妨令在轴上方，准线l与轴交点为，因为点在C上，根据抛物线定义可得，且，则，所以为等腰三角形，且，在中，，即解得，即F到l的距离为.故选:C.11．B【分析】根据抛物线标准方程，得到焦点坐标和准线方程，设出直线方程，联立抛物线方程，整理得到关于的一元二次方程，根据垂直，得到点的横坐标，根据韦达定理，得到的横坐标，在由抛物线的定义，可得答案.【详解】由，则焦点，且准线方程为直线，即，设过点的直线方程为，联立抛物线可得：，消去可得：，化简得：，因为，且直线过点，所以，即点位于以线段为直径的圆上，易知以线段为直径的圆的方程为，将代入上式，可得，解得，（舍去），则点的横坐标，设点的横坐标，由韦达定理可得：，则，根据抛物线的定义，可得，，则，故选：B.12．C【分析】如图所示，过点作，垂足为.先证明是等边三角形，再求出，求出的值即得解.【详解】解：如图所示，过点作，垂足为.由题得,所以.因为，所以是等边三角形.因为是的中点，所以，所以，所以.所以.所以所以抛物线的方程是.故选：C13．(1)或(2)或【分析】（1）设抛物线方程为和，将点代入抛物线方程求出，即可求出抛物线方程.（2）求出焦点坐标，由此求得，即可求出抛物线方程.（1）当抛物线的标准方程为时，将点代入，得，即所求抛物线的标准方程为；当抛物线的标准方程为时，将点代入，得，即所求抛物线的标准方程为．综上，抛物线的标准方程为或．（2）令，得；令，得所以抛物线的焦点坐标为或．当焦点为时，抛物线的标准方程为．当焦点为时，抛物线的标准方程为．综上，抛物线的标准方程为或．14．(1)；(2)；(3)；(4).【分析】（1）由题可知圆锥曲线为椭圆，结合条件即求；（2）由题可知圆锥曲线为双曲线，利用双曲线的性质即求；（3）由抛物线的准线方程为，即求；（4）由题可得椭圆的焦点为，然后结合条件即求.(1)由题可知，圆锥曲线为椭圆，可设方程为，则，∴，所以椭圆的标准方程为.(2)由题可知，圆锥曲线为双曲线，可设方程为，则，∴，所以双曲线的标准方程为.(3)∵抛物线的准线方程为，即，∴抛物线的标准方程为.(4)∵双曲线的焦点为，设椭圆的标准方程为，∴，∴，∴椭圆的标准方程为15．(1)(2)(3)或【分析】（1）根据准线方程，确定抛物线的开口和值，直接代入求解；（2）根据双曲线的左顶点，即可求得抛物线的焦点坐标，直接求解；（3）首先设抛物线方程，再根据焦半径公式，代入求解.（1）准线方程为，所以抛物线方程开口向上，且，得，所以抛物线方程是；（2）双曲线方程，左顶点为，所以抛物线的焦点为，抛物线的开口向左，，，所以抛物线方程是；（3）设抛物线方程，，当时，，，即，解得：或，抛物线方程为或；设抛物线方程，，当时，，，解得：或，抛物线方程为或；综上可知，抛物线方程为或.16．D【分析】根据题意，由焦点坐标求，并确定焦点所在位置，进而求抛物线方程.【详解】∵抛物线的焦点坐标为，则，且焦点在轴正半轴上，∴，故抛物线的方程为.故选：D.17．C【分析】根据给定条件，求出两个圆的公共弦所在的直线方程，再求出抛物线方程作答.【详解】将两圆、的方程相减得：，显然圆的圆心到直线距离1小于其半径2，圆的圆心到直线距离小于其半径，因此直线是圆与圆的公共弦所在的直线，即抛物线的准线，所以抛物线的标准方程为：.故选：C18．B【分析】分别求得直线与x轴，y轴的交点得到抛物线的焦点即可.【详解】解：直线与x轴的交点为（4，0），与y轴的交点为（0，-3），当以（4，0）为焦点时，抛物线的标准方程为，当由（0，-3）为焦点时，抛物线的标准方程为，故选：B19．C【分析】根据双曲线焦点到渐近线的距离求得，结合离心率求得，从而求得抛物线的标准方程.【详解】双曲线的右焦点到渐近线的距离为，离心率，，所以双曲线的右顶点为，对于抛物线，，所以抛物线方程为.故选：C20．D【分析】根据双曲线的离心率可求得，即可得双曲线的渐近线方程，求出抛物线的准线方程，与渐近线方程联立，分别求出渐近线与准线的交点坐标，从而可得围成三角形面积，结合题意即可得出答案.【详解】解：根据题意，，可得，所以双曲线的渐近线方程为，抛物线的准线方程为，设准线与抛物线的交点分别为M，N，则，可解得，同理，所以，解得.故选：D．21．(1)(2)(3)【分析】（1）设所求抛物线的标准方程为，求出的值，即可得解；（2）设所求抛物线的标准方程为，求出的值，即可得解；（3）设所求抛物线的标准方程为，将点的坐标代入抛物线的标准方程，求出的值，即可得解.（1）解：根据题意，可设所求抛物线的标准方程为，则，可得，故所求抛物线的标准方程为.（2）解：根据题意，可设所求抛物线的标准方程为，则，可得，故所求抛物线的标准方程为.（3）解：根据题意，设所求抛物线的标准方程为，则，得，故所求抛物线的标准方程为.22．(1)(2)【分析】（1）将已知点代入双曲线方程，然后可得；（2）由双曲线右焦点与抛物线的焦点相同可解.(1)因为双曲线过点，所以

所以，得又因为，所以所以双曲线的渐近线方程(2)由（1）得所以

所以双曲线的右焦点是所以抛物线的焦点是所以，所以所以抛物线的标准方程23．C【分析】由条件求出的坐标，结合抛物线的定义求的最小值.【详解】方程可化为，所以直线恒过定点，因为抛物线：的焦点坐标为，所以，即，所以，过点作准线，垂足为，则，过点作准线，垂足为，所以，当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为3，故选：C.24．C【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为，根据是抛物线的焦点，求得抛物线的方程，进而求得的长.【详解】由题意，建立如图所示的平面直角坐标系，O与C重合，设抛物线的方程为，由题意可得是抛物线的焦点，即，可得，所以抛物线的方程为，当时，，所以.故选：C.25．D【分析】由椭圆的方程得出椭圆的焦点坐标，然后可得答案.【详解】因为椭圆的对称中心为原点，焦点为所以抛物线的方程为或故选：D26．C【分析】分或（）两种情况讨论，由面积列方程即可求解【详解】由题意得，当时，，解得；当或时，，解得，所以抛物线的方程是或.故选：C.27．C【分析】根据双曲线及抛物线的基本性质，求得的坐标，表示出三角形的面积，从而求得参数.【详解】由双曲线的离心率为2知，，渐近线方程为，又抛物线的准线方程为，则设渐近线与准线的交点为，，三角形的面积为，（）解得，故选：C28．A【分析】设为，得到，，得到，由，联立方程组求得，结合，求得的值，即可求解.【详解】设为，则，又由，所以，因为，所以，可得，由，联立方程组，消去，可得，所以，故，又由，所以，即，解得或，所以的方程为或．故选：A．29．B【分析】根据抛物线的定义求得，进而求得抛物线方程.设出直线的方程，并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，结合基本不等式求得的最小值.【详解】因为抛物线的焦点到其准线的距离为2，所以，抛物线的方程为．设直线的方程为，将此方程代入，整理得．设，，则，所以，当且仅当，即时等号成立．故选：B．30．D【解析】根据AB⊥x轴，且AB过点F，易知|AB|＝2p，再由S△CAB＝×2p×求解即可.【详解】因为AB⊥x轴，且AB过点F，所以AB是焦点弦，且|AB|＝2p，所以S△CAB＝×2p×解得p＝4或－12(舍)，所以抛物线方程为y2＝8x，所以直线AB的方程为x＝2，所以以直线AB为准线的抛物线的标准方程为y2＝－8x.故选：D.31．BCD【分析】由可得，所以，则可判断A错误，B正确．易知点K在抛物线外，则过点可作抛物线的两条切线，C正确．对于D选项，方法一：的面积可将看作是与面积之和；方法二：设直线的倾斜角为，则由解得，【详解】由题意可知，所以所以抛物线的方程为，其准线方程为，A错误，B正确．当时，，则点K在抛物线外，则过点可作抛物线的两条切线，C正确．方法一

设点，，则由抛物线的定义，可知，所以．由，可得，设直线的方程为：代入抛物线方程中得故，故．故D正确．方法二

设直线的倾斜角为，则由抛物线焦点弦的性质可知，故，所以，所以，故．故选：BCD32．ACD【分析】先求出抛物线方程，对选项逐一判断即可.【详解】由题可知抛物线方程为对于A，焦点的坐标为，故A正确对于B，过点有抛物线的2条切线，还有，共3条直线与抛物线有且只有一个交点，故B错误对于C，，弦长为，故C正确对于D，，解得（舍去），交点为，有，故D正确故选：ACD33．ABD【分析】对于A，由题意可得抛物线的准线为，从而可求得，进而可判断A；对于B，抛物线的方程为，其焦点为，则直线的方程为，设，，设的中点为，利用点差法可得，则，再结合可得在以为直径的圆上，从而可求出直线的斜率；对于C，利用弦长公式求解即可；对于D，利用点到直线的距离求出点到直线的距离，从而可求出的面积【详解】由题意知，抛物线的准线为，即，得，故选项A正确.因为，所以抛物线的方程为，其焦点为.因为直线过抛物线的焦点，所以直线的方程为.因为，所以在以为直径的圆上.设点，，联立方程组两式相减可得.设的中点为，则.因为点在直线上，所以，所以点是以为直径的圆的圆心.由抛物线的定义知，圆的半径.，因为，所以，解得，故选项B正确.因为，所以弦长，故选项C不正确.因为，所以直线为，由点到直线的距离公式可得，点到直线的距离，所以，故选项D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的性质，考查化归与转化的数学思想及运算求解能力，解题的关键是由题意求出抛物线的方程，然后利用抛物线的性质求解即可，属于中档题34．【分析】先求出双曲线的半焦距c，进而得到实数的值.【详解】解：由得双曲线，则，所以，抛物线的焦点为，，，故答案为：4.35．【分析】根据抛物线的几何意义结合三角形种的关系求解即可【详解】依题意可得，所以抛物线的方程为.故答案为：36．【分析】求出抛物线的方程为，其焦点为．直线的方程为．利用，说明在以为直径的圆上．设点，，，，利用平方差法求出斜率，设的中点为，，推出．通过点，在直线上，结合点是以为直径的圆的圆心．转化求解直线的斜率，求解弦长即可．【详解】解：由题意知，抛物线的准线为，即，得，所以抛物线的方程为，其焦