新教材必修第一册451：函数的零点与方程的解

新教材必修第一册451：函数的零点与方程的解

课标解读：

1.函数零点的概念.(理解)

2./(x)=0有解与y=/(x)有零点的关系(理解)

3.函数零点的判断.(理解)

学习指导：

在熟练掌握基本初等函数(幕函数、指数函数、对数函数等)的图像与性质的基础上,

提炼方程/(x)=0的解与函数y=/(x)的图像与X轴交点的关系，进而理解并准确把握函

数零点的概念，以及函数零点、方程的实数解、函数图像与X轴交点三者之间的关系,

并能从“形"(函数图像)与“数”(函数零点存在定理)两个角度分析解决函数零

点有关问题.

知识导图

函数的零最

与方程的解

I1

函数零点.概念1—1函数:点存在定理］

函数的零点与方几何意义：曲线与工

程的解的关系轴至少有一个交点

基本初等函数的

零点

知识点1:函数的零点

1.函数零点的概念

对于一般函数y=/(x),我们把使〃x)=0的实数x叫做函数y=/(x)的零点.即哈数的零点

就是使函数值为零的自变量的值.

2.函数的零点与方程的解的关系

函数y=/(x)的零点就是方程〃x)=0的实数解，也就是函数y="X)的图像与X轴的公共

点的横坐标.所以方程/（X）=0有实数解o函数y="X）有零点o函数广以X）的图像与x

轴有公共点.

3.几种常见函数的零点

（1）二次函数的零点

一1兀二次方程"2+Zzx+c=O（"O）的实数根也称为函数y=ax?+8x+c（a/0）的零点.

当a>0时，一元二次方程ad+法+c=O的实数根、二次函数kaf+以+c的零点之间的

（2）正比例函数y=kx^k中0）仅有一个零点0.

（3）一次函数,=依+双左/0）仅有一个零点-2.

K

（4）反比例函数y=«（心0）没有零点.

（5）指数函数y=a'（a〉O且awl）没有零点.

（6）对数函数y=log“x（a>0且aw0）仅有一个零点1.

（7）幕函数y=当a>0时仅有一个零点0；当a<0时，没有零点.

例LI：观察如图所示的四个函数图像，指出在(7,0)上哪个函数有零点.

例1-2：判断下列说法是否正确：

(1)函数/(x)=x-l(2KxW10)的零点为1;

(2)函数/(x)=f—2x的零点为(0,0),(2,0).

答案：(1)不正确(2)不正确

例1-3：函数/(x)=x3—x的零点个数是()

A.0B.1C.2D.3

答案：D

例1-4："m<1"是“函数/(x)=x?+x+机有零点”的()

A.充分不必要条件B.充要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

答案：C

知识点2：函数零点存在定理

1.函数零点存在定理

如果函数y=在区间a加上的图像是一条连续不断的曲线，且有/'(aV^XO,那么

函数y=/(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在ce(a,力,使得〃c)=0,这个C也就

是方程/(x)=0的解.

2.函数零点存在定理的几何意义.

在闭区间以勿上有连续不断的曲线y=/(%),且曲线的起点(①/⑷)与终点(氏/⑹)分别在

x轴的两侧，则连续曲线与x轴至少有一个交点.

3.函数零点的性质

如果函数图像通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点.如图(1)所示，%,七,々

都是变号零点；如果没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点，如图(2)所示，

二次函数丁=必有一个不变号零点(或叫二重零点).

对于任意函数y=/(x),只要它的图像是连续不断的，则有：

(1)当它的图像听过零点且穿过x轴时，零点两侧的函数值异号;

(2)相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.

例2-5：若函数y=/(x)在区间&句上的图像是一条连续不断的曲线，则下列说法正确的

是()

A.若/(办")>0,则不存在实数ce(a,6),使得/(c)=0

B.若/⑷"(份<0,则只存在实数ce(a,Z?),使得f(c)=0

C.若/(4/(份>0,则有可能在实数ce(a,A),使得/(c)=0

D.若/⑷"3)<0,则有可能不存在实数ce(a,A),使得/(c)=0

答案：C

例2-6：已知定义在R上的函数/(x)的图像是连续不断的，当x=l,2,3,5时对应的函数值

如下表，那么下列区间内，函数/（X）不一定存在零点的是（）

X1235

f(x)3-120

A.(1,2)B.[l,3]C.[2,5)D.(3,5)

答案：D

变式训练1：针对例2-6,函数/（X）在区间［1,5］上的零点至少有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

答案：C

题型与方法

题型1：求函数的零点（方程的根）

例7：判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.

2

（1）/（X）=-X-4X-4；

（2）/（x）=（DC/-以+3）；

x-3

⑶/（幻=4工+5;

（4）/（x）=log3（x+l）.

答案：（1）零点为x=-2;（2）零点为x=l;（3）不存在零点；（4）零点为x=0.

例8：函数=的零点的个数是（）

x—1,%>0

A.0B.1C.2D.3

答案：C

变式训练2：若函数/00=必-ax-b的图像如图所示，则函数g（x）=/-ax-1的零点

题型2：函数零点存在定理的应用一一判断函数零点（方程的根）

11

例9：若x。是方程守厂=产的根，则为属于区间（）

A.（-.1）B.C.D.（0,-）

323323

答案：C

例10:函数;•（工户中二-a的一个零点在区间（1,2）内，则实数a的取值范围是（）

X

A.（1,3）B.（1,2）C.（0,3）D.（0,2）

答案：C

变式训练3：e表示不超过x的最大整数，例如[3.5]=3,[-0.5]=-1.已知4是方程

lnx+3x-15=0的根，则[%）]=（）

A.2B.3C.4D.5

答案：C

题型3：利用图象交点来处理函数零点（方程的根）问题

1.函数零点的个数

例11:已知函数/0）=6-工+必一3%+1,则函数/（x）的零点个数为（）

A.3B.2C.1D.0

答案：B

变式训练4：函数/（x）=E-x3的零点的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

答案：B

2.已知函数零点个数或零点所在区间求参数的取值范围

例12:已知函数/(x)=logaX-x+2(a〉0,且awl)有且只有两个零点，则a的取值范围是

().

A.0<«<1B.a>lC.1<«<2D.a>2

答案：B

变式训练5：已知无wH,符号团表示不超过x的最大整数，若函数/(x)=£-a(x>0)有

且仅有3个零点，则a的取值范围是()

1?123434

A.\]B,-,-]D.*

答案：C

3.涉及图像变换

例13：若关于品一=°有两个不等的实数根,则”的取值范围是——・

答案：(-l,+oo)

4.函数零点位置的确定

例14：已知/是函数/(劝=2，+'的一个零点.若占6(1,%),々€(%,小)，则()

1-X

A./(%1)<0,/(x2)<0B./a)<0,/(%)>o

C./(^)>0,/(x2)<0D./a)>o,/(W)>。

答案：B

例15：若方程(g)*=bg2尤的根为X1,方程(；)*=logiX的根为了2，则%逮2的取值范围为

）.

A.(0,1)B.(1,+oo)C.(1,2)D.[l,+co）

答案：A

题型4：一元一次方程根的分布及应用

例16:当相为何值时，方程mx?+(nz+l>x+根=0有；两个不相等的实根?

答案：..•方程有两个不相等的负根，

my：0

A=(m+1)2-4m>0

m+1

/+%=-----<0

m

m„

故当X10%,<=加一<>1时0，方程恤7+(7〃+1).%+/〃=0有两个不相等的负根.

I-m

例17：若方程4%2-(24+1)%-3=0的两个根国,々满足-1</<1<々<3,求实数左的取值范

围.

答案：由题意可知7(-1)"⑴<0且/■⑴"⑶<0,

即y3左_2）（—左一4）<0

［（—左一4）（3左一6）<0解得左<T或左>2

故实数k的取值范围是伙|k<-4或左>2)

【变式1】若本例题中的条件改为“方程叱-(2k+1口-3=0的一根小于1,另一根大于r,

实数左的取值范围是什么呢?

答案：伙|左<—4或左>0}

【变式2】若将本例题中的条件改为“方程标-(24+l)x-3=0在-1<X<1时有两个相异

实根”，实数左的取值范围是什么呢?

答案：{Z:|-4<^<-2-^^-}

例18：已知八X)=3—1|,关于X的方程"(切2—,⑴+A=0,,给出下列四个命题:

①存在实数左，使得方程恰有2个不同的实数解；

②存在实数左，使得方程恰有4个不同的实数解；

③存在实数3使得方程恰有5个不同的实数解；

④存在实数3使得方程恰有8个不同的实数解；

其中真命题的个数是()

A.1B.2C.3D.4

答案：D

易错提醒

易错1：误解零点的概念

例19：函数/(x)=f—3x+2的零点是()

A.(1,0)B.(2,0)C.(1,0),(2,0)D.1,2

答案：D

易错2：错用函数零点存在定理

例20：函数/(九)=2-石二？(xe[-1,1])的零点个数为()

A.0B.1C.2D.4

易错3：求参数的取值范围忽略限制条件

例21：若函数/(幻=/_2办+2在区间[0,4]内至少有一个零点，求实数。的取值范围.

八2a.2/7

0<——V4T—>4

答案：＜2或r2解得a>72

4a2—820/(4)<0

高考链接

考向1：确定函数零点所在的区间

例22：已知函数7•(x)=g-log2X.在下列区间中，包含/(%)零点的区间是()

X

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+8)

答案：C

考向2：确定函数零点的个数

例23：已知函数〃X)=12T：L2,函数g(x)=3_/(2—x),贝lj函数y="x)—g(x)的零点

(x-2),x>2

个数为()

A.2B.3C.4D,5

答案：A

考向3：与函数零点相关的参数问题

例24：已知函数/(x)=[ef°,g(x)=/(x)+x+a.若gQ)存在2个零点，贝心的取值范

Inx,x>0

围是()

A.[-l,0)B.[0,+oo)C.[-l,+oo)D.[l,+oo)

答案：c

基础巩固

L下列命题中真命题的个数是()

①若/（a）"3）<0,函数在［a,句上单调且图像连续，则函数y=/（x）在（a,。）上只有一

个I零y占八、、.9

②若/⑷"3)>0,函数/（%）在5力］上单调且图像连续，则函数y="X）在3。）内一定没

有零点;

③若/(。)"3)>0,函数在小句上不单调且图像连续，则函数y=/（x）在（a,。）内是否

存在零点不确定;

④若/⑷"3)=0,则。或b是函数/（%）的零点.

A.1B.2C.3D.4

2.下列函数不存在零点的是（）

2x+l,%>0

A.y=X--B.j=y/lx—x—1C.'=D.y=<

x-l,x<0

3.根据表格中的数据可以判定方程lnx-x+2=0的一个根所在的区间为（）

X12345

Inx00.6931.0991.3861.609

x-2-10123

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)

4.若%是函数/(x)=k)g2X-工的零点，则()

X

A.-1<x0<0B.0<x0<1C.1<x0<2D.2<x0<4

5.方程2，+x-2=0的根所在的区间为()

A.(-1,0)B.(0,1)C(1,3)D.(2,3)

6.函数F(x)=k>gaX+x-2有两个零点芭，趣,其中X]e(0,1),We(2,3),则实数a的取值范围是

().

A.(0,1)B.(1,l)C.(l,3)D.(3,+oo)

7.已知函数/(x)=2(/77+l)x2+4-mx+2/71-1.

（1）如果函数的一个零点为0,求冽的值;

(2)当函数f(x)有两个零点，求m的取值范围；

(3)当函数/(x)有两个零点，且其中一个大于1,另一个小于1,求加的取值范围.

能力提升

8.若函数/(尤)的零点与g(x)=lnx+2x-8的零点之差的绝对值不大于0.5,则可以是

().

A.f(x)=3x-6B./(X)=(X-5)2

dTD./(x)=ln(x-j)

9.函数/(x)=2，|k)go5x|-1的零点个数为().

A.1B.2C.3D,4

10.已知分别是关于x的方程xlnx=2020,xe，=2020的根，则下面为定值的是().

A.%+x2B.%1-x2C.xYx2DH

%

11.设函数F(x)=/+x-2,g(x)=lnx+x2—3.若实数“8满足/(a)=0,gg)=0,则().

A.g(a)<0</S)B./(Z?)<0<g(a)C.0<g(a)</3)D.f(b)<g(a)<0

12.定义在R上的偶函数满足/(尤-2)=/(x+2),且在xe［-2,0］时，/⑴=0厂—1.若关

于x的方程/(x)-log"+2)=0(a>1)在xe(-2,6］时恰有3个不同的实数根,则实数a的取值

范围为()

A.(1,2)B.(2,+oo)C.(1,V4)D.(V4,2)

13.若关于x的方程4，+27+a+l=0有实数根，则实数。的取值范围为..

14.偶函数)(x)满足)(D=)(x+l),且当1,0］时，/(%)=%%则函数g(x)=/(x)-|lgx|

在(0,10)上的零点的个数为.

15.若函数/(x)=|2-2|-A有两个零点，则实数6的取值范围是.

16.已知函数/(x)=log“x+x-仇Q>0,且"1)，当2<6Z<3<Z7<4时，函数/(%)的零点

x0G(n,zi+l),neN+,贝U〃=・

17.设函数/(%)=x2+ax-b(a,beR)

2

(1)当6=幺+1时，求函数/(无)在11,1］上的最小值g(a)的表达式；

4

(2)已知函数/(x)在卜1,1］上存在零点，00-%"求b的取值范围.

参考答案

1.D

2.