导数【数学思想】第4讲 数形结合思想在函数（导数部分）中的应用含答案解析

第4讲数形结合思想在函数（导数部分）中的应用数学结合是数学解题中常用的思想方法。运用数学结合的方法，许多问题迎刃而解，且解法简洁。所谓数形结合，就是依据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问。问题的一种重要思想方法，数形结合思想，通过以形助数，以数解形，使困难问题简洁化、抽象问题详细化。能够变抽象思维为形象思维，有助于数学问题的本质，它是数学的规律性和敏捷性的有机结合。我们在解决函数问题的过程中，经常会遇到这样的一种困境：做题时总是感觉看到的式子比较抽象，不容易理解，想来想去总是没有头绪。此时便需要我们将其具象化，而具体化最好的途径便是借助图象。【应用一】利用数形结合，解决函数不等关系的问题在做题的过程中，我们经常会遇到比大小问题，遇到这类题，我们的想法往往是先算出所有数的大小，然后放在一起比较，但有的时候，题目中出现的数字我们难以计算，这种情况下我们一般借助于函数的图像，若函数的解析式不是基本函数可以运用求导的方法，做出函数的图像。【例1.1】（2023·广东佛山·统考一模）（多选题）若正实数，满足，则下列不等式中可能成立的是（

）A． B．C． D．【思维提升】借助于函数的图像比较大小，最主要的是做出函数的图像，有些情况下要对函数进行适当的变形，变成常见的函数，或者比较容易进行求导做出函数的图像。然后借助于函数的图像进行比较大小或者不等关系。【变式1.1】（2022•江苏二模）已知实数，，且，为自然对数的底数，则A． B． C． D．【变式1.2】【2021年新高考1卷】若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B．C． D．【应用二】利用数形结合，研究函数的零点问题函数零点问题是我们在做题过程中常见的问题，但是往往在解决函数零点问题时会发现，函数解析式总是十分复杂，所以为了研究较复杂函数的零点问题，我们一般会通过函数的单调性、极值、图象的变化趋势等求解；根据题目要求画出函数图象，通过数形结合思想分析问题。【例2】（（2022·湖北·模拟预测）已知函数，若函数有5个零点，则实数k的取值范围为______．【思维提升】函数的零点问题，就是指两个函数的交点问题，在解决这类问题要构造恰当的函数，以便更好的做出函数的图像，能从图像中更直接的解决问题。【变式2.1】（2022·河北衡水中学一模）已知函数，，当实数的取值范围为________时，的零点最多.【变式2.2】（2022•玄武区模拟）已知函数为自然对数的底数）在上有两个零点，则的范围是A． B． C． D．【变式2.3】（2022年徐州市高三月考试卷）设，若函数有且只有三个零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【应用三】利用数形结合，研究函数的极值点问题函数的极值问题，既是重点题型又是难点题型，遇到此类题，我们一般的想法是进行求导，实际上，对于已知的基本初等函数求极值的问题，也可以直接做出基本初等函数的图象，结合函数图象使问题得到解决。【例3】（【2022年全国乙卷】已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax−ex【思维提升】本题由x1,x2分别是函数fx=2ax−ex2的极小值点和极大值点，可得x∈−∞,x1∪x2,+∞时，f'x<0因此，对于函数的极值问题借助于构造两个函数研究交点问题。【变式3.1】（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）若函数只有一个极值点，则的取值范围是___________.【变式3.2】已知函数有且只有一个极值点，则实数的取值范围为（） B． C． D．【变式3.3】（2022年福州高级中学高三月考模拟试卷）（多选题）若函数有两个极值点，且，则下列结论中正确的是（）A. B.的取值范围是C. D.巩固练习1、（2022•苏州模拟）已知为常数，函数有两个极值点，其中一个极值点满足，则的取值范围是A． B． C． D．2、（2022·山东省淄博实验中学高三期末）已知函数有三个不同的零点，且，则的值为（）A．3 B．4 C．9 D．163、（2022年江苏泰州市高三月考模拟试卷）已知函数，其中实数，则下列结论错误的是（）A.必有两个极值点B.有且仅有3个零点时，的范围是C.当时，点是曲线的对称中心D.当时，过点可以作曲线的3条切线4、（2022年福州八中高三月考模拟试卷）（多选题）已知函数和，有相同的极小值，若存在，使得成立，则（）A.B.C.当时，D.当时，若所有根记为，，，，且，则5、（2023·广东揭阳·校考模拟预测）（多选题）已知a为常数，函数有两个极值点，（），则（

）A． B． C． D．6、（2023·云南红河·统考一模）（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．函数有两个极值点B．若关于x的方程恰有1个解，则C．函数的图象与直线有且仅有一个交点D．若，且，则无最值7、（2023·湖南邵阳·统考三模）已知函数有两个极值点，，且，则实数m的取值范围是__________.8、（2022年福建德化高三月考模拟试卷）已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______________．第4讲数形结合思想在函数（导数部分）中的应用数学结合是数学解题中常用的思想方法。运用数学结合的方法，许多问题迎刃而解，且解法简洁。所谓数形结合，就是依据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问。问题的一种重要思想方法，数形结合思想，通过以形助数，以数解形，使困难问题简洁化、抽象问题详细化。能够变抽象思维为形象思维，有助于数学问题的本质，它是数学的规律性和敏捷性的有机结合。我们在解决函数问题的过程中，经常会遇到这样的一种困境：做题时总是感觉看到的式子比较抽象，不容易理解，想来想去总是没有头绪。此时便需要我们将其具象化，而具体化最好的途径便是借助图象。【应用一】利用数形结合，解决函数不等关系的问题在做题的过程中，我们经常会遇到比大小问题，遇到这类题，我们的想法往往是先算出所有数的大小，然后放在一起比较，但有的时候，题目中出现的数字我们难以计算，这种情况下我们一般借助于函数的图像，若函数的解析式不是基本函数可以运用求导的方法，做出函数的图像。【例1.1】（2023·广东佛山·统考一模）（多选题）若正实数，满足，则下列不等式中可能成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】因为，所以，因为，所以，则，令，，则，所以在上单调递增，由，可得，令，则，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，则，即当且仅当时取等号，即当且仅当时取等号，又，所以，当且仅当时取等号，当时或，结合与的图象也可得到所以或.故选：AC【思维提升】借助于函数的图像比较大小，最主要的是做出函数的图像，有些情况下要对函数进行适当的变形，变成常见的函数，或者比较容易进行求导做出函数的图像。然后借助于函数的图像进行比较大小或者不等关系。【变式1.1】（2022•江苏二模）已知实数，，且，为自然对数的底数，则A． B． C． D．【答案】【详解】实数，，且，变形为，令，，则，函数在上单调递增，，即．①令，；令，，时，，，当时，，即．②令，（a）；令，，时，，，当（a）时，，即．综上，可得．故选：【变式1.2】【2021年新高考1卷】若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得，所以，曲线在点处的切线方程为，即，由题意可知，点在直线上，可得，令，则.当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，，由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.故选：D.【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.【应用二】利用数形结合，研究函数的零点问题函数零点问题是我们在做题过程中常见的问题，但是往往在解决函数零点问题时会发现，函数解析式总是十分复杂，所以为了研究较复杂函数的零点问题，我们一般会通过函数的单调性、极值、图象的变化趋势等求解；根据题目要求画出函数图象，通过数形结合思想分析问题。【例2】（（2022·湖北·模拟预测）已知函数，若函数有5个零点，则实数k的取值范围为______．【答案】【分析】先分析函数的奇偶性，再转化为有两个不同的正实数解，令，求出函数的最小值即得解.【详解】解：因为，所以，所以函数为偶函数，又，所以在上有两个零点，即有两个不同的正实数解，即，令，则，；.故在上递减，上递增，故．画出图像如图所示从而.故答案为：．【思维提升】函数的零点问题，就是指两个函数的交点问题，在解决这类问题要构造恰当的函数，以便更好的做出函数的图像，能从图像中更直接的解决问题。【变式2.1】（2022·河北衡水中学一模）已知函数，，当实数的取值范围为________时，的零点最多.【答案】【分析】作出函数的图象，由得，设，分，，分别讨论与的交点个数，当时，求得与相切时切线的斜率，与相切时切线的斜率，由此可求得实数的取值范围.【详解】解：作出函数的图象如图：由得，设，当时，与有2个交点；当时，与有2个交点；.当时，设与相切，切点为，则，所以切线的斜率为，其切线方程为：，又因切线恒过点，所以，解得，所以切线的斜率为，当时，设与相切，切点为，则，所以切线的斜率为，其切线方程为：，又因切线恒过点，所以，解得，所以切线的斜率为，所以当时，与有1个交点；当时，与有2个交点；当时，与有3个交点；当时，与有4个交点；所以实数的取值范围为时，的零点最多，故答案为：.【变式2.2】（2022•玄武区模拟）已知函数为自然对数的底数）在上有两个零点，则的范围是A． B． C． D．【答案】【详解】由得，当时，方程不成立，即，则，设，且，则，且，由得，当时，，函数为增函数，当且时，，函数为减函数，则当时函数取得极小值，极小值为（1），当时，，且单调递减，作出函数的图象如图：要使有两个不同的根，则即可，即实数的取值范围是，方法2：由得，设，，，当时，，则为增函数，设与，相切时的切点为，切线斜率，则切线方程为，当切线过，时，，即，即，得或（舍，则切线斜率，要使与在上有两个不同的交点，则，即实数的取值范围是故选：．【变式2.3】（2022年徐州市高三月考试卷）设，若函数有且只有三个零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】令，则，令，得；令，得；所以在上单调递减，在上单调递增，故，又因为对于任意，在总存在，使得，在上由于的增长速率比的增长速率要快得多，所以总存在，使得，所以在与上都趋于无穷大；令，则开口向下，对称轴为，所以在上单调递增，在上单调递增，故，.因为函数有且只有三个零点，而已经有唯一零点，所以必须有两个零点，则，即，解得或，当时，，则，即在处取不到零点，故至多只有两个零点，不满足题意，当时，，则，所以在处取得零点，结合图像又知与必有两个交点，故在与必有两个零点，所以有且只有三个零点，满足题意；综上：，即.故选：C.【应用三】利用数形结合，研究函数的极值点问题函数的极值问题，既是重点题型又是难点题型，遇到此类题，我们一般的想法是进行求导，实际上，对于已知的基本初等函数求极值的问题，也可以直接做出基本初等函数的图象，结合函数图象使问题得到解决。【例3】（【2022年全国乙卷】已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax−ex【答案】1【解析】解：f'因为x1,x所以函数fx在−∞,x1所以当x∈−∞,x1∪x若a>1时，当x<0时，2lna⋅a故a>1不符合题意，若0<a<1时，则方程2lna⋅a即方程lna⋅ax即函数y=lna⋅a∵0<a<1,∴函数y=a又∵lna<0,∴y=lna⋅ax的图象由指数函数设过原点且与函数y=gx的图象相切的直线的切点为x则切线的斜率为g'故切线方程为y−ln则有−lna⋅a则切线的斜率为ln2因为函数y=lna⋅a所以eln2a<又0<a<1，所以1e综上所述，a的范围为1e【思维提升】本题由x1,x2分别是函数fx=2ax−ex2的极小值点和极大值点，可得x∈−∞,x1∪x2,+∞时，f'x<0因此，对于函数的极值问题借助于构造两个函数研究交点问题。【变式3.1】（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）若函数只有一个极值点，则的取值范围是___________.【答案】或【分析】对求导，利用导数与函数极值的关系，分类讨论3是否为极值点，结合的图像性质即可求得的取值范围.【详解】因为，所以，因为只有一个极值点，所以若3是极值点，因为，所以当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，故，则，所以；当趋向于0时，趋向于1，趋向于0，则趋向于正无穷，当趋向正无穷时，趋向正无穷的速率远远大于趋向正无穷的速率，则趋向于正无穷，若3不是极值点，则3是即的一个根，且存在另一个根，此时；当时，，令，解得；令，解得；所以在单调递减，在单调递增，满足题意，综上：或【变式3.2】已知函数有且只有一个极值点，则实数的取值范围为（） B． C． D．【答案】A【解析】易知函数的导数，令，得，即．设，则，当时，或，所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增．因为函数有且只有一个极值点，所以直线与函数的图象有一个交点，作出的图象如图所示．由图得或．当时，恒成立，所以无极值，所以【变式3.3】（2022年福州高级中学高三月考模拟试卷）（多选题）若函数有两个极值点，且，则下列结论中正确的是（）A. B.的取值范围是C. D.【答案】ACD【解析】【详解】，有两个极值点，且，∴，有两个零点，，且在，各自两边异号，∴与有两个交点，，记，则，易知：时，时，∴在上递增，在上递减，即在上递增，在上递减．∴有最大值，且时；时，又，，由上的图象如下，∴当且仅当时与有两个交点，才符合条件，且，故A正确，B不正确．又，∴，故C正确．令，则，∴，则，，∴要证，只需证，只需证，令，则，∴在上单调递减，即时，不等式得证，故D正确．故选：ACD巩固练习1、（2022•苏州模拟）已知为常数，函数有两个极值点，其中一个极值点满足，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】【详解】，由函数有两个极值点，则等价于有两个解，即与有两个交点，所以．直线过点由在点处的切线为，显然直线过点，当时，直线与曲线交于不同两点（如下图），且，，令，则，所以单调递增，，即，故选：．2、（2022·山东省淄博实验中学高三期末）已知函数有三个不同的零点，且，则的值为（）A．3 B．4 C．9 D．16【答案】C【解析】【分析】利用换元法转换，结合导数以及一元二次方程根与系数的关系来求得正确答案.【详解】，，有三个不同的零点.令，在递增，在上递减，.时，.令，必有两个根，，且，有一解，有两解，且，故.故选：C3、（2022年江苏泰州市高三月考模拟试卷）已知函数，其中实数，则下列结论错误的是（）A.必有两个极值点B.有且仅有3个零点时，的范围是C.当时，点是曲线的对称中心D.当时，过点可以作曲线的3条切线【答案】B【解析】【详解】对于A，，令，解得：或，因为，所以令，得或，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，在处取得极小值,所以A正确；对于B，要使有且仅有3个零点，只需即，所以，所以的范围是，故B不正确；对于C，当时，，，，所以点是曲线的对称中心，所以C正确；对于D，，设切点为，所以在点处的切线方程为：，又因为切线过点，所以，解得：，令，所以过点可以作曲线的切线条数转化为与图象的交点个数.,令，解得：或，因为，所以令，得或，令，得，则在上单调递增，在上单调递减，，如下图所示，当时，与图象有3个交点，即过点可以作曲线的3条切线，故正确，故选：B4、（2022年福州八中高三月考模拟试卷）（多选题）已知函数和，有相同的极小值，若存在，使得成立，则（）A.B.C.当时，D.当时，若所有根记为，，，，且，则【答案】ACD【解析】【详解】，，，上单调递减，上单调递增，在处取得极小值，而，且，在上单调递减，上单调递增，在处取得极小值，依据题意，和有相同的极小值，故，解得，故A正确；作出函数图象如下图所示，若，则与、相交时，或者，故B错误.由图像可知，当时，，所以，C正确；若的所有根记为，，且时，则有，，可得，即，又，同理可得，，则，故D正确.故选：ACD.5、（2023·广东揭阳·校考模拟预测）（多选题）已知a为常数，函数有两个极值点，（），则（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】，，令，则，令，则，在上单调递增，在上单调递减．作出，的大致图象，当时，有两个根，，且，故A正确；当时，，故B错误；又函数在区间上递减，在区间上递增，在区间上递减，，，故CD正确；故选：ACD6、（2023·云南红河·统考一模）（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．函数有两个极值点B．若关于x的方程恰有