2023-2024学年江苏省淮安市金湖中学高一（下）段考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江苏省淮安市金湖中学高一（下）段考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若sinx=223，则A.19 B.−19 C.72.若AB=(3,4)，A(−2,−1)，则B点的坐标为(

)A.(1,3) B.(5,5) C.(1,5) D.(5,4)3.已知α，β∈(0,π2)，且tanα=3，tanβ=2，则α+β=A.5π12 B.2π3 C.3π44.平面向量a与b的夹角为60°，a=(2,0)，|b|=1，则|A.3 B.23 C.45.如图，在平行四边形ABCD中，M为AB的中点，AC与DM交于点O，则OM=(

)A.16AB−13AD

B.16.已知a，b是夹角为120°的两个单位向量，若向量a+λb在向量a上的投影向量为2a，则λ=A.−2 B.2 C.−237.已知3sinα=cos(πA.33 B.−33 8.已知sin(α−β)=13,tanαA.−79 B.−12 C.二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.四边形ABCD为边长为1的正方形，M为边CD的中点，则(

)A.AB=2MD B.DM−CB=AM10.下列选项中其值等于32的是(

)A.cos215o−sin215o 11.如图，△ABC中，BD=13BC，点E在线段AC上，AD与BE交于点F，BF=A.AD=23AB+13AC

B.|AE|=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设a，b是两个不共线的非零向量，若8a+kb和ka+2b共线，则实数13.若3sinα+cosα=m−2，则实数m的取值范围是______．14.我们把由平面内夹角成60°的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“@未来坐标系”，如图所示，e1,e2分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量OP=xe1+ye2，则把实数对(x,y)叫做向量OP的“@未来坐标”，记OP={x,y}，已知{x1,y1}，{x四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知向量a=(−3,1),b=(1,−2),m=a+kb(k∈R)．

(1)向量a,b夹角的余弦值；

(2)若向量m与2a−b垂直，求实数16.(本小题12分)

已知向量a=(sin12x,3),b=(1,cos12x)，函数f(x)=a⋅b．

(1)若f(x)=0，且17.(本小题12分)

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(x1,y1)在单位圆O上，∠xOA=α，且α∈(π6,π2).

(Ⅰ)若cos(α+π3)=−1113，求x1的值；

(Ⅱ)若B(x2,y2)也是单位圆O上的点，且∠AOB=π18.(本小题12分)

将一块圆心角为120°，半径为20cm的扇形铁片裁成一块矩形，有两种裁法(如图所示)，让矩形一边在扇形的一条半径OA(图1)，或让矩形一边与弦AB平行(图2)，对于图1和图2，均记∠MOA=θ．

(1)对于图1，请写出矩形面积S1关于θ的函数解析式；

(2)对于图2，请写出矩形面积S2关于θ的函数解析式；(提示：∠OQM=120°)

(3)试求出S1的最大值和S219.(本小题12分)

以C为钝角的△ABC中，BC=3．

(1)若BA=3BM，且|CM|=2,cos∠ACB=−13，求CM⋅CB；

参考答案1.D

2.A

3.C

4.B

5.A

6.A

7.D

8.C

9.BD

10.AC

11.ACD

12.±4

13.[0,4]

14.131415.解：(1)由已知可得，a⋅b=−3−2=−5，|a|=10，|b|=5，

所以cos〈a,b〉=a⋅b|a||b|=−510×5=−22；

(2)由已知可得，2a−b=2(−3,1)−(1,−2)=(−7,4)16.解：(1)因为f(x)=a⋅b=sin12x+3cos12x，且f(x)=0；

所以sin12x+3cos12x=0；

因为π<x<2π，所以π2<12x<π，

所以cos12x≠0，所以tan12x=−3，

所以12x=2π3，所以x=4π3；

(2)因为f(x)=sin12x+3cos12x=2(12sin12x+17.解：(Ⅰ)由三角函数的定义有x1=cosα，

∵cos(α+π3)=−1113，α∈(π6,π2)，∴sin(α+π3)=4313，

∴x1=cosα=cos[(α+π3)−π3]=cos(α+π3)cosπ318.解：(1)对于图1，在△OMP中，PM=20sinθ，OP=20cosθ，

矩形PQMN的面积为S1=20sinθ×20cosθ=200sin2θ(0°<θ<90°)；

(2)对于图2，在△OMQ中，由正弦定理得QM=OMsinθsin120∘，

由对称性可知，∠AOB的平分线OC所在直线为对称轴，则MN=2OMsin(60°−θ)，OM=20，

所以矩形PQMN的面积为S2=QM×MN=OMsinθsin120∘×2OMsin(60°−θ)=800(sinθcosθ−33sin2θ)=800[12sin2θ−33×1−cos2θ2]=19.解：(1)因为BA=3BM，所以BM=13BA，

所以CM=CB+BM=CB+13BA=CB+13(CA−CB)=23CB+13CA，

所以|CM|2=(23