经济学非寿险

§2.1研究损失分布的数学工具

2.1.1随机变量及其分布

例：用X表示保险标的的损失额，a表示合同规定的免赔额，则保险公司承担保险责任的概率为P（X>a）=1－F(a)。又损失不超过b（b>a）且保险公司承担保险责任的概率

P(a<X≤b)=F(b)－

F(a)

。

随机变量及其分布:用X、Y、Z等大写字母表示随机变量;随机变量X的分布函数，记作F（x）=P(Xx)，xR.

2.1.2离散型随机变量和连续型随机变量

保险期限内，保险标的发生保险事故的次数N的取值只能是0、1、2、…，这种只能取有限个值或可列个值的随机变量，我们称之为离散型随机变量。离散型随机变量除了用分布函数刻划其规律以外，还可以用分布列来反映其分布规律。

离散型随机变量的分布列和分布函数的关系可用下式表示：离散型随机变量的分布函数是一个右连续的阶梯函数。

其分布函数为：这种分布我们称为两点分布，或0—1分布。例2.1.1（二点分布）设同类保单在保险期限内只有索赔和不索赔两种情况，根据以往经验，索赔的概率为p，那么，任意一份保单在保险期限内的索赔次数X就是取值为0、1的离散型随机变量，其分布列为：在非寿险精算中，一次事故的损失额或者保险期限内的全部损失额X的取值范围是一个区间（0，+∞

），象这种取值布满某个区间，并且有密度函数的随机变量，我们称为连续型随机变量。与离散型随机变量的分布列相对应，连续型随机变量可用密度函数来描述其概率分布。例2.1.2（均匀分布）如果某类保单的免赔额为a,保险金额为b(0<a<b),赔款额取[a,b]中的每个值是等可能的，那么赔款额X就是一个在[a,b]均匀分布的随机变量，其密度函数为：

其分布函数为：

2.1.3随机变量的数字特征随机变量的分布函数、分布列和密度函数全面刻划了随机变量的分布规律，然而，有时更需要反映随机变量分布的主要特征，如随机变量的平均取值、离散程度等等，这就是随机变量的数学期望、方差等数字特征。记为随机变量X的k阶原点矩；记为随机变量X的k阶中心矩。随机变量X分布的偏度系数可以度量分布的对称性，当分布对称时，偏度等于0。所以在偏度不等于0时，分布是不对称的。当概率密度函数在右边有长的“尾巴”时，其偏度大于0时，这时称分布是正偏斜的；当概率密度函数在左边有长的“尾巴”时，其偏度小于0时，这时称分布是负偏斜的。对一般非寿险业务的大多数险种来说，因为有大额赔款的发生，所以赔款额的分布常有明显的正偏斜。2.1.4随机变量的特征函数与矩母函数称和为r.v.X的特征函数和矩母函数。随机变量的分布函数和特征函数是相互唯一确定的。矩母函数不一定总是存在，但由于其避免了复数，使用起来比较方便，因此在风险理论和非寿险精算中更多得使用矩母函数。

矩母函数具有的性质：设X的矩母函数在原点的某邻域

有定义（因为在原点总有定义）,则

（1）X的分布函数由其矩母函数唯一确定；（2）X的k阶原点矩，k=1、2、…,由此得到矩母函数的Taylor展开式为：

（3）若为相互独立的随机变量，分别为它们的矩母函数，则它们的和

的矩母函数(4)若Y=aX+b,其中a、b为常数，则随机变量Y的矩母函数为：例：以λ为参数指数分布函数为矩母函数？2.1.5条件分布、条件期望和条件方差定义设（X，Y）是二维离散型随机变量，,i=1、2、…,j=1、2、…

为它们的联合分布列，则称,i=1、2、…

为

时X的条件分布列。

类似地，可定义时Y的条件分布列。

定义

设（X，Y）是二维连续型随机变量，f(x,y),,为它们的联合密度函数，则称,xR,为Y=y时X的条件分布密度函数。

类似地，可定义X=x时Y的条件分布密度函数。

条件期望的计算公式：

离散型：(2.1.13)连续型：(2.1.14)条件方差：如果在条件期望和条件方差中Y不取定,那么和

都是随机变量Y的函数，因而也是随机变量。关于这两个随机变量有如下重要性质：

这两个性质是非寿险精算和风险理论中常用的。

2.1.6相互独立随机变量和的分布与卷积如果X、Y是相互独立的两个连续型随机变量，它们的概率密度函数分别为

、

那么，X+Y的分布函数为：X+Y的概率密度函数为：由对称性，还可以有:我们可以用简单的记号：表示上述两式。这里，运算符号*称为卷积。卷积运算可以推广到n个相互独立随机变量的情况和离散型随机变量的情况。卷积同样可运用于分布函数。事实上，卷积运算还可以推广到随机变量不相互独立的情况。§2.2损失的理论分布非寿险公司建立适当的数学模型并用理论的统计分布来进行计算的主要原因：第一，在多数情况下能得到的经验数据都是不充分的，难以用构造经验分布的方法进行计算。第二，用理论分布对损失进行数量分析具有明显的优越性。非寿险精算中的赔款额X是个非负连续型随机变量，它的分布一般是正偏斜，它的密度函数在右边有长的“尾巴”。常用对数正态分布、帕累托(Pareto)分布和伽玛(Gamma)分布等来表示赔款额的理论分布。赔款次数N是个取值为非负整数的离散型随机变量。常用泊松（Poisson）分布、二项分布、负二项分布来表示赔款次数的离散型分布。同时，由中心极限定理知，我们即使不知道某个特定的随机变量的分布，但当这些随机变量的数目相当大时，其和的分布近似地服从正态分布。2.2.1正态分布和中心极限定理正态分布的密度函数为:其中

,为正态分布的两个参数.易得：，

X服从以为参数的正态分布一般简记为X~N()的正态分布称为标准正态分布,记为N（0，1）.标准正态分布的密度函数为:分布函数为：任意一个正态分布随机变量X,都可以通过线性变换化为标准正态分布随机变量,即:若

X~N(),则

Z=~N(0,1).标准正态分布具有性质：

而且一般概率统计著作和教材都附有标准正态分布函数值

的表供查用.对任一服从的随机变量X都有：，，

，如果损失随机变量服从,那么，如果将纯费率定在，则未来纯费率不能支付索赔的概率约0.16，即约6年一遇。在强制保险中，由于保险标的众多，并且强制续保，所以纯费率通常定在。同理，,如果将纯费率定在，则未来纯费率不能支付索赔的概率约0.023，即约44年一遇。中心极限定理:设是一列具有相同分布，互相独立的随机变量，

则例2.2.1若某类赔款的平均水平为3,200元，标准差为8,000元，计算85笔相互独立赔款之和大于350,000元的概率。解：=3,200，=8,000，n=85,由中心极限定理，

P（>350,000）=P()P(Z>1.06)=1－(1.06)=0.1446.

2.2.2赔款额的理论分布

1.

对数正态分布定义2.2.1若随机变量X的对数函数

,则称X服从以

为参数的对数正态分布，记作其密度函数为：数学期望和方差为：，例2.2.2已知某一特定风险的赔款额服从参数为,的对数正态分布。问：从400元到40,000元的赔案在全部赔案中占多大的比例？解：因为,所以，.

2.

帕累托（Pareto）分布帕累托（Pareto）分布是又一个常用的赔款额分布。它的密度函数曲线也呈右偏态，但尾部趋于0的速度比对数正态分布慢。帕累托分布的密度函数为：

当时，帕累托分布的数学期望存在：当时，帕累托分布的方差存在：

例2.2.3设某险种的赔款额X（千元）服从以，β=2

为参数的帕累托分布。如果有个该险种的超赔再保险合同，自留额为4千元，那么，涉及再保险接受人的那些赔案的平均赔款为多少？解：

P(X>4)=1－F(4)=0.125

=2(千元)3.伽玛（Gamma）分布伽玛分布也是非寿险精算中常用的连续型分布，常用来刻划赔款额的分布和分析风险的异质性。伽玛分布的密度函数为：数学期望和方差分别为：,矩母函数为：

2.2.3赔款次数的理论分布1.泊松（Poisson）分布泊松分布是一个取非负整数的离散型随机变量的分布，在统计理论中具有十分重要的作用。它常被用来刻划小概率事件发生的次数，因此在非寿险精算中用它来作为赔款次数的分布是适当的。泊松分布的分布列是：其中参数q>0.泊松分布的数学期望和方差都是q.

泊松分布的一个重要性质是：n个相互独立的参数为

q的泊松随机变量的和服从的是参数为nq的泊松分布。这种性质我们常称之为可加性。譬如：正态分布也具有可加性。

2

二项分布二项分布描述的是n重贝努里试验中事件A(成功)发生x次的概率，因而可以用来作为同质风险等额保单赔款次数的概率分布模型。二项分布随机变量X的分布列为：数学期望和方差分别为：EX=np和

VarX=np(1－p)矩母函数为:二项分布的两种近似计算方法。其一是把二项分布随机变量看作互相独立、同服从二点分布随机变量的和，利用中心极限定理得到：当n充分大时，近似地服从标准正态分布。一般，在np和np(1－p)都大于10时近似程度就不错了。其二是利用二项分布的极限分布——泊松分布来作近似计算：当n充分大，p又相当小时，可令q=np>0,则有

3.负二项分布负二项分布描述的是：贝努里试验中，第k次发生事件A（成功）前，事件(失败)发生的次数。负二项分布常用于灾害事故和发病情形的统计问题，在非寿险精算中，常被用来描述风险不同质情况下赔款发生次数的分布。负二项分布也称巴斯卡（Pascal）分布。负二项分布的分布列为：数学期望和方差分别为：，特别，k=1时的负二项分布就是几何分布。

例2.2.4设某个险种的某个保单持有人在保险期限内的索赔次数服从参数为q的泊松分布。由于保单持有人的风险状况不同。所以q是一个随机变量，假设其服从参数为的伽玛分布，即则索赔次数服从负二项分布§2.3赔款总量的分布

2.3.1赔款总量的数字特征和矩母函数

如果在这一定时期内，某险种一共发生N次赔款，为其中第i次赔款额，那么相应的赔款总量为：假设诸独立同分布，且与N独立。由条件期望和条件方差的性质以及独立性假设可以得到：；

例2.3.1设赔款次数N服从负二项分布，参数,VarN=24,第i笔赔款的赔款额

的分布列为，i=1、2、…，互相独立且同分布，试求赔款总量S的数学期望和方差。解：由得，k=4。

故又可以算得EX=3.4，

VarX=0.44,所以ES=(EN)(EX)=8×3.4=27.2

VarS=280.96.如果已知N和的矩母函数分别为和,那么，S的矩母函数为：例2.3.2设N服从几何分布，各次赔款额

服从参数为=1的指数分布，试求S的矩母函数解：指数分布的矩母函数为,再由N服从几何分布，可得这是常数0的矩母函数1和以p为参数的指数分布的矩母函数的加权平均，权分别为p和1－p.与此相应，S的分布函数也是这两个分布函数的加权平均：

这种分布为混合型分布。在一般分布的假设下，我们可用卷积表示赔款总量S的分布。相应地，S的密度函数为：

2.3.2复合泊松分布在上述赔款总量模型中，如果N服从泊松分布，我们就称赔款总量S服从复合泊松分布。定义2.3.1随机变量服从以为参数的复合泊松分布是指它满足：

（1）随机变量相互独立；（2）具有相同的分布；

（3）N服从泊松分布，参数为

若记具有相同分布的

为X，它们的共同分布函数为F（x）,则复合泊松分布随机变量S的数学期望和方差为：

，其矩母函数为：

分布函数和密度函数分别为：

2.3.3赔款总量的近似模型在非寿险精算实务中，常用近似模型计算赔款总量的分布。一般常用两种近似模型：在赔款总量分布呈对称状时，用正态近似；在赔款总量分布右偏时，则用平移伽玛近似。

1.

正态近似我们不加证明的介绍下列两个结论：

在S为复合泊松分布的场合，沿用上面的记号，则当

时，的分布趋于标准正态分布。

在S为复合负二项分布的场合，N服从以k、p为参数的负二项分布，则当时，的分布趋于标准正态分布。

2.平移伽玛近似事实上，赔款总量S的分布常为右偏态，因此在大多数场合用平移伽玛近似比正态近似更为恰当。我们用表示以为参数的伽玛分布函数，对任意一点，定义一个新的分布函数

,并称之为平移伽玛分布，相当于把伽玛分布平移了个单位。平移伽玛分布的三个参数可以通过令它的一阶矩、二阶和三阶中心矩分别与S的一阶矩、二阶和三阶中心矩相等的方程组得到，即得

特别，当S为复合泊松分布时，