2023-2024学年江苏省常州市教育学会高二下学期6月学业水平监测数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江苏省常州市教育学会高二下学期6月学业水平监测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M=xx2−2x−3<0，N=xA.ln5,3 B.−1,ln5 C.−2,12.已知曲线y=x2−axa∈R在x=2处的切线斜率为A.−18 B.18 C.−8 D.83.对于实数a,b,c，“a>b”是“ac2>bcA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.从3名男生与2名女生中选出2人担任班委，则“恰有1名男生与1名女生当选”的概率是(

)A.310 B.25 C.355.某市为了解高一新生的身高情况，抽取了10000位高一新生的身高作为样本.若高一新生的身高X近似服从正态分布N165,σ2，且PX≥180=0.1，则在10000位高一新生中身高在区间A.2000 B.4000 C.6000 D.80006.已知x>0，y>0，且2x+y=1，则x2+2yxy的最小值为A.172 B.22+1 C.7.已知函数fx=tanωx+φω>0,φ<A.−33 B.−3 8.已知函数fx及其导数f′x的定义域均为R，对任意实数x，fx=f−x−2x，且当x≥0时，f′A.−∞,2 B.23,2

C.23二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知符号函数sgnx=1,x>00,x=0A.sgnx是周期函数

B.对任意的x∈R，x=−xsgn−x

C.函数y=2xsgnx的值域为−1,0∪10.现有编号分别为1，2，3的三个袋子，装有质地均匀且大小相同的小球.1号袋中有10个小球，其中红球3个；2号袋中有10个小球，其中红球4个；3号袋中有20个小球，其中红球5个.现将所有小球标记后放入一个袋中混合均匀，从中随机抽取一个小球，记事件M：该球为红球，事件Ai：该球出自编号为ii=1,2,3的袋子，则(

)A.PMA1=310 B.P11.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为AA.当PQ=5时，点Q的轨迹长度为π

B.若PQ//平面A1BD，则PQ长度的最小值为2

C.当PQ=5时，二面角Q−AB−P的余弦值的最小值是255

D.记直线三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数fx=ex+1，gx=x3，若存在实数a，b，使得13.如图，在半径为8的半圆形纸片中，O为圆心，AB为直径，C是弧AB的中点，D是弧AC的中点，将该纸片卷成一个侧面积最大的无底圆锥后，异面直线OA与CD所成角的余弦值是

．

14.定义mina,b,c表示a,b,c中最小的

数，已知实数a,b,c满足a+b+c=0，abc=−2四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知a∈R，命题p：∀x∈R，x2+2x+a>0为真命题.实数a的取值集合记为(1)求集合A；(2)设fx=lnx−m−1m−1−x的定义域为集合B，若16.(本小题12分)如图，直线PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是梯形，AB//CD，CD⊥PA，F为线段PA上异于端点的一点，PD=AB=AD=12CD=1(1)若F是PA的中点，求证：AC//平面DEF；(2)求二面角F−PB−C的大小．17.(本小题12分)在①fx在区间2π3,7π6上单调递增，②f−π(1)当x∈π4,π2(2)将函数fx的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为12倍(纵坐标不变)，得到函数gx18.(本小题12分)某研发团队研发了一款聊天机器人，在对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，机器人作答正确的概率为0.8；如果出现语法错误，机器人作答正确的概率为0.3.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，机器人的作答是否正确相互独立.该研发团队成员小王想挑战一下聊天机器人，与机器人各自从给定的10个问题中随机抽取5个作答.已知在这10个给定的问题中，小王恰好能正确作答其中9个问题．(1)对抽出的5个问题，求小王能全部答对的概率；(2)求聊天机器人答对题数X的数学期望；(3)答对题数较多者判定为获胜，求小王获胜的概率．19.(本小题12分)已知函数fx=e(1)若fx在区间−1,+∞上单调递增，求实数a(2)当a=3时，判断关于x的方程fx=1实数根的个数，并证明．参考答案1.B

2.C

3.B

4.C

5.D

6.D

7.B

8.B

9.BD

10.ACD

11.AD

12.2(答案不唯一)

13.214.−2

15.解：(1)因为命题p：∀x∈R，x2所以Δ=22−4a<0，解得a>1(2)对于函数fx=ln即x−m+1x−m−1解得m−1<x<m+1，所以B=x|m−1<x<m+1，又B⊆A所以m−1≥1，解得m≥2，即实数m的取值范围为2,+∞．

16.解：(1)连接PC，设其与DE交于M，由四边形PDCE是平行四边形，则M为PC中点，连接FM，又F是PA的中点，则FM//AC，由AC⊄平面DEF，FM⊂平面DEF，故AC//平面DEF；(2)由PD⊥平面ABCD，AD,CD⊂平面ABCD，则PD⊥CD，PD⊥AD，有CD⊥PA，PA∩PD=P，PA,PD⊂平面PAD，故CD⊥平面PAD，又AD⊂平面PAD，故CD⊥AD，故PD、DA、DC两两垂直，故可以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，有D0,0,0、P0,0,1、A1,0,0、B则PA=1,0,−1、PB=令平面FPB与平面PBC的法向量分别为m=(x1则有m令x1=x2=1，则有y1=0即m=1,0,1，则cos 由图可知，二面角F−PB−C为钝角，故二面角F−PB−C的余弦值为−则二面角F−PB−C的大小为5π6

17.解：(1)选条件①fx在区间2π又fx=sin所以满足条件2kπ−π2≤又−π2<φ<π2选条件②f−π12又−π2<φ<π2，所以选条件③f0=fπ3，知所以π3+φ=又−π2<φ<所以fx当x∈π4,π2由fx−m≤1当x∈π4,π2时，fx−1则所以实数m的取值范围(2)由(1)知fx将函数fx的图象向右平移π6个单位后，得再将得到的图象上各点的横坐标变为12倍，得y=由2kπ−π2≤4x−gx的单调增区间是

18.解：(1)小王能全部答对的概率为C9(2)设每次输入的问题出现语法错误为事件A，则PA聊天机器人作答正确为事件C，则P=0.1×0.3+0.9×0.8=0.75，故聊天机器人答对题数X∼B5,0.75数学期望EX=5×0.75=3.75；(3)由题意可得小王最少答对4道题，小王能答对5道题的概率为C95C105由(2)知，聊天机器人答对题数X∼B5,0.75故机器人能答对5道题的概率为C5机器人能答对4道题的概率为C5故机器人获胜的情况为机器人能答对5题且小王答对4题，故机器人获胜的概率为12小王和机器人平局的情况为小王和机器人都答对5道题和都答对4道题，其中都答对5道题的概率为12都答对4道题的概率为12所以小王获胜的概率为1−243

19.解：(1)f′x=ex+即a≤ex+令gx=e令ℎx=g′x则当x∈−1,+∞时，ℎ′故g′x在−1,+∞又g′0故当x∈−1,0时，g′0<0，当x∈