2023-2024学年浙江省绍兴市高一下学期6月期末数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年浙江省绍兴市高一下学期6月期末数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数1−2i的共轭复数是(

)A.1−2i B.1+2i C.−1+2i D.−1−2i2.用斜二测画法画水平放置的边长为2的正方形的直观图，所得图形的面积是A.4 B.22 C.23.十名工人某天生产同一批零件，生产的件数分别是：15，17，14，10，16，17，17，16，14，12，则这组数据的极差、众数、第一四分位数分别是A.3，17，12 B.5，16，14 C.7，17，14 D.7，17，134.已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，则下列命题正确的是A.若m//α，n⊂α，则m//n B.若m//α，m//β，则α//β

C.若m⊂α，α⊥β，则m⊥β D.若m⊥α，n⊥α，则m//n5.已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=CD=1，AD=3，若BD=xBC+yA.34 B.1 C.54 6.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB−bcosA=c+A.−18 B.18 C.−7.如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，C，其中n(Ω)=24，n(A)=12，n(B)=8，n(C)=5，n(A∪B)=16，则(

)

A.事件A与事件B互斥 B.事件A与事件B相互独立

C.事件A与事件C互为对立 D.事件A与事件C相互独立8.如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=3.面积为3的平行四边形ACEF绕AC旋转，且E∉平面ABCD，则(

)A.平面EFB⊥平面EFD B.平面ABF⊥平面ABC

C.平面ABF⊥平面BCF D.平面ABF⊥平面ADF二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是A.复数2+i的模为5

B.复数z=1−i的虚部为−1

C.若z1=2i，z2=i，则z1>z2

10.已知一组样本数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的标准差s≠0，其平均数xA.2x1，2x2，2x3，2x4，2x5，2x6

B.x1−x，x2−x，x3−x，x4−x，x5−11.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为棱AA1，A.EG⊥GF

B.平面EFG经过棱AB中点H

C.平面EFG截该正方体，截面面积的最大值为334

D.点D到平面三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子的点数都为奇数”的概率是_________．13.已知向量a与b的夹角为60°，|a|=|b|=1，则向量a在向量14.正四棱锥的外接球半径为R，内切球半径为r，则Rr的最小值为_________．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(0,2)，B(−(1)求|AB|及向量OA与(2)若AB//(2OA+tOB16.(本小题12分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧面PAB是正三角形，AD⊥平面PAB，M，N分别为AB，PC的中点．(1)证明：MN//平面PAD；(2)求四棱锥P−ABCD的体积．17.(本小题12分)某机构对甲、乙两个工厂生产的一批零件随机抽取部分进行尺寸检测，统计所得数据分别画出了如下频率分布直方图：根据乙工厂零件尺寸的频率分布直方图估计事件“乙工厂生产的零件尺寸不低于60 cm”的频率为0.70．(1)估计甲工厂生产的这批零件尺寸的平均值；(2)求乙工厂频率分布直方图中a，b的值，并求乙工厂被测零件尺寸的中位数(结果保留两位小数)；(3)现采用分层抽样的方法，从甲工厂生产的零件中随机抽取尺寸在[40,50)和[70,80)内的零件3个，从乙工厂生产的零件中随机抽取尺寸在[40,50)和[80,90)内的零件5个，再从抽得的8个零件中任取2个，求这两个零件的尺寸都在[40,50)内的概率．18.(本小题12分)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AB⊥DE，AB//EF，AB=BD=6，EF=4，∠EAD=∠EAB，cos∠EAB=(1)证明：BD⊥平面ACE；(2)求点E到平面ABCD的距离；(3)求侧面ADE与侧面BCF所成二面角的正切值．19.(本小题12分)克罗狄斯·托勒密(ptolemy)所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意平面凸四边形(所有内角都小于180°的四边形)中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号．已知圆O是凸四边形ABCD的外接圆，其中CD=(1)若圆O的半径为r，且∠CBD=2∠ABD，(ⅰ)求∠ABD的大小；(ⅱ)求AC⋅BD的取值范围(用r表示(2)若AD=1，BC=2，∠ADC∈2π3,5π6参考答案1.B

2.C

3.C

4.D

5.B

6.A

7.B

8.A

9.AB

10.ACD

11.ABD

12.1413.314.215.解：(1)因为AB=(−3,−1)，所以|AB|=2．

设向量OA与OB的夹角为θ，则cosθ=OA·OB|OA||OB|=12，

因为θ∈[0,π]，所以θ=π16.(1)证明：如图，取PD的中点Q，连接AQ，QN，

因为在△PDC中，Q，N分别为PD，PC的中点，

所以QN//CD，且QN=12CD，

因为在正方形ABCD中，M为AB的中点，所以AM/​/CD，且AM=12CD，

所以AM//QN，且AM=QN，

所以四边形AMNQ是平行四边形，

所以MN//AQ，

又AQ⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，

所以MN/​/平面PAD．

(2)解：连接PM，因为AD⊥平面PAB，PM⊂平面PAB，

所以AD⊥PM，

因为侧面PAB是正三角形，M为AB的中点，所以PM⊥AB，

因为AB⋂AD=A，AB，AD⊂平面ABCD，

所以PM⊥平面ABCD，

所以四棱锥17.解：(1)因为35×0.15+45×0.2+55×0.3+65×0.2+75×0.1+85×0.05=55.5，

所以，估计甲工厂生产的这批零件尺寸的平均值为55.5cm.

(2)由10a+0.2+0.15=0.7，得a=0.035，

由0.05+10b+0.15=0.3，得b=0.01.

设乙工厂被测零件尺寸的中位数为x，

则0.005×10+0.01×10+0.015×10+0.035×(x−60)=0.5，

解得x=6557≈65.71，

所以，乙工厂被测零件尺寸的中位数为65.71cm．

(3)因为采用分层抽样，

所以，从甲工厂生产的零件中抽取尺寸在[40,50)内的零件2个，尺寸在[70,80)内的零件1个，

从乙工厂生产的零件中抽取尺寸在[40,50)内的零件2个，尺寸在[80,90)内的零件3个，

从8个零件中任取2个零件的取法有28种，

两个零件的尺寸都在[40,50)内的取法有6种，

所以两个零件的尺寸都在[40,50)内的概率为18.(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，

因为∠EAB=∠EAD，AB=AD，AE=AE，

所以△EAB≌△EAD，所以EB=ED．

设AC∩BD=G，连接EG，如图，

则G为BD的中点，BD⊥EG，

又EG∩AC=G，EG、AC⊂平面ACE，

所以BD⊥平面ACE．

(2)解：如图，过点E作EH⊥AC，垂足为H，

因为BD⊥平面ACE，EH⊂平面ACE，

所以BD⊥EH，

又BD∩AC=G，BD、AC⊂平面ABCD，

所以EH⊥平面ABCD，

所以点E到平面ABCD的距离即为线段EH的长度．

因为DE⊥AB，EH⊥AB，DE，EH⊂平面EDH，

所以AB⊥平面EDH，

又DH⊂平面EDH，所以AB⊥DH，

易知△ABD为正三角形，

所以点H为△ABD的中心．

延长DH交AB于点I，则I为AB的中点，

因为所以AB⊥平面EDH，EI⊂平面EDH，所以EI⊥AI，

在Rt△AEI中，AI=3，cos∠EAB=34，

所以AE=4，

因为AH=33×6=23，

所以EH=AE2−AH2=16−12=2．

所以点E到平面ABCD的距离为2．

(3)解：过点H作BC的平行线分别交AB，CD于点J，K，则BJ=CK=4，

因为EF=4，AB//EF，

所以EF//BJ，EF=BJ，EF//CK，EF=CK，

所以四边形EFCK和四边形EFBJ均为平行四边形，

所以EK//CF，EJ//BF，

所以平面JKE//平面BCF．

过点E作直线m//JK，则平面ADE∩平面JKE=m，

过点H作HL⊥AD，垂足为L，连接LE．

因为HL⊥JK，EH⊥JK，HL，EH⊂平面EHL，HL∩EH=H，

所以JK⊥平面EHL，

所以m⊥平面EHL，又LE，EH⊂平面EHL，

所以m⊥LE，m⊥EH，

所以∠LEH为二面角A−m−J的平面角，因为平面JKE//平面BCF，所以∠LEH为侧面ADE与侧面BCF所成二面角的平面角．

因为19.解：(1)(i)因为CDsin∠CBD=2r，ADsin∠ABD=2r，

所以CDAD=sin∠CBDsin∠ABD=sin2∠ABDsin∠ABD=2cos∠ABD，

又因为CD=3AD，所以cos∠ABD=32，

又∠ABD∈(0,π)，所以∠ABD=π6．

(ii)因为∠ABD=π6，所以∠DA