2023-2024学年湖南省邵阳市邵东一中高一（下）第三次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年湖南省邵阳市邵东一中高一（下）第三次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知a，b∈R，复数z=a+bi满足z(1+i)=(2−2i)，则a+b=(

)A.−1 B.−2 C.−3 D.−42.设D为△ABC所在平面内一点，若BC=3CD，则下列关系中正确的是(

)A.AD=−13AB+43AC 3.设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，下列四个命题中，正确命题的序号是(

)

①若m/​/α，n/​/α，则m/​/n；

②若α/​/β，β/​/γ，m⊥α，则m⊥γ；

③若m⊥α，n/​/α，则m⊥n；

④若α⊥γ，β⊥γ，则α/​/β．A.①② B.②③ C.③④ D.①④4.如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为(

)A.9：4 B.4：3 C.3：1 D.3：25.如图，正方形A′B′C′D′是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形ABCD的直观图，若A′D′=1，则四边形ABCD周长为(

)A.2

B.4

C.226.已知a，b，c分别是△ABC三内角A，B，C的对边，且满足asinC+acosC=b+c，则△ABC的形状是(

)A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形7.在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1、圆心在线段CD(含端点)上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，则AP⋅AB的取值范围是(

)A.[2,8]． B.[4,8] C.[2,10] D.[4,10]8.《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AA1=2，当阳马B−ACA.43π

B.823π二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知i是虚数单位，以下四个说法中正确的是(

)A.i2021+i2022+i2023+i2024=0

B.复数z=−3+i的虚部为i

C.若复数z1，z210.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且3bcosC+3ccosB=a2，则下列说法正确的是(

)A.若B+C=2A，则△ABC的外接圆的面积为3π

B.若A=π4，且△ABC有两解，则b的取值范围为[3,32]

C.若C=2A，且△ABC为锐角三角形，则c的取值范围为(32,33)

D.若11.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别是AB，AD的中点，A.存在点P，使得直线PM与直线AD1为异面直线

B.存在点P，使得MN⊥PN

C.若P为线段C1D1的中点，则三棱锥P−MNC1与三棱锥C1−MNB体积相等

D.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若向量a=(3,−4)在向量b=(−2,1)上的投影向量为λb，则λ13.如图，在正四棱台ABCD−A1B1C1D1

14.已知A，B，C三座小岛的位置如图所示，其中B岛在A岛的南偏西60°方向，C岛在B岛的正东方向，A，C两岛相隔4千海里，一货轮由A岛出发沿着AC的方向直线航行了34的路程后，到达M岛进行补给后再前往C岛，若M岛到B岛的距离与M岛到A岛的距离相同，则B，C两岛的距离为______千海里．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，截去三棱锥A1−ABD，求

(1)截去的三棱锥A1−ABD的表面积；

(2)剩余的几何体A116.(本小题15分)

在等边△ABC中，点M是BC上靠近点B的一个三等分点，点Q为AC的中点，BQ交AM于点N．

(1)若BN=λBQ，求λ的值；

(2)若NA⋅NM=−917.(本小题15分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3(sinA−sinB)sinC=3c−2ba+b．

(1)求cosA；

(2)若△ABC的面积为1632．

①已知E为BC的中点，求△ABC底边BC上中线AE长的最小值；

②18.(本小题17分)

如图，在四面体C−ABD中，CB=CD，AB=AD，∠BAD=90°，E，F分别是BC，AC的中点．

(1)求证：AC⊥BD；

(2)在AC上能否找到一点M，使BF/​/平面MED？若存在，请求出CMCA的值，若不存在，请说明理由；

(3)若平面CBD⊥平面ABD，且CB=BD，求直线BF与平面ABD所成角的正切值．19.(本小题17分)

若存在常数a、b，使得函数f(x)对于∀x∈R同时满足：f(a+x)=−f(a−x)，f(b+x)=f(b−x)，则称函数f(x)为“(a,b)”类函数．

(1)判断函数f(x)=cos2x是否为“(a,b)”类函数？如果是，写出一组(a,b)的值；如果不是，请说明理由；

(2)函数g(x)是“(0,1)”类函数，且当0≤x≤1时，g(x)=log2(x+1)．

(ⅰ)证明：g(x)是周期函数，并求出g(x)在[−3,−1]上的解析式；

(ⅱ)若∀x∈R，g(t−2x答案解析1.B

2.A

3.B

4.D

5.D

6.B

7.A

8.B

9.AD

10.ACD

11.BCD

12.−2

13.16π

14.815.解：(1)根据题意可得：截去的三棱锥A1−ABD的表面积为：

3×12×2×2+12×22×22×32=6+23；

(2)根据题意可得剩余的几何体A1B1C1D1−DBC的体积为2316.解：(1)在等边△ABC中，点M是BC上靠近点B的一个三等分点，点Q为AC的中点，BQ交AM于点N，

∵点Q为AC的中点，∴BQ=12BC+12BA，

∵BN=λBQ，

∴BN=λ(12BC+12BA)=λ2BC+λ2BA=3λ2BM+λ2BA，

∵N，M，A三点共线，∴3λ2+λ2=1，∴λ=12，

则λ的值为12；

(2)由(1)知，AN=17.解：(1)由正弦定理，得3(a−b)c=3c−2ba+b，即c2+b2−a2=23bc，

故cosA=c2+b2−a22bc=23bc2bc=13，

所以sinA=1−cos2A=1−19=223；

(2)①由题意得，12bcsinA=1632，解得bc=16，

由于AE=12(18.(1)证明：取BD的中点O，连接AO，CO，

在△BCD中，因为CB=CD，所以CO⊥BD，同理AO⊥BD，

而AO∩CO=O，所以BD⊥平面AOC，

又AC⊂平面AOC，

所以AC⊥BD；

(2)解：在AC上能找到一点M，使BF/​/平面MED，此时CMCA=14，

证明如下：

连接EM，DM，DE，

因为E是BC的中点，

所以所以BF/​/EM，

因为EM⊂平面MED，BF⊄平面MED，

所以BF/​/平面MED，

所以FC的中点M即为所求；

(3)解：因为∠BAD=90°，所以AO=BO，

所以△COA≌△COB，

从而∠COA=∠COB，

由(1)可知：CO⊥BD，所以∠COB=90°，

所以∠COA=90°，即CO⊥OA，

因为BD∩OA=O，BD，OA⊂平面ABD，

所以CO⊥平面ABD，

取AO中点N，连接FN，BN，易知CO//FN，故FN⊥平面ABD，

故∠FBN是直线BF与平面ABD所成角，

设AC=2a，可得FN=32a，BN=5a2，

所以tan19.(1)解：f(x)=cos2x是“(a,b)”类函数，

因为f(x)=f(−x)，f(π4+x)=−f(π4−x)，

所以(a,b)可以是(π4,0)(答案不唯一)．

(2)(ⅰ)证明：因为函数g(x)是“(0,1)”类函数，

所以g(−x)=−g(x)，g(1+x)=g(1−x)，

所以g(2+x)=g(−x)=−g(x)，

所以g(x+4)=−g(x+2)=g(x)，所以g(x)是周期函数．

因为当0≤x≤1时，g(x)=log2(x+1)．

所以g(x)在[−1,1]上单调递增，在(1,3)上单调递减．

当x∈[−2,−1]时，x+2∈[0,1]，所以g(x)=−g(x+2)=−log2(x+3)．

当x∈[−3,−2)时，x+2∈