华东师大版初中数学九年级上册22-2一元二次方程的解法第2课时因式分解法课件

九年级

上册华东师大版初中数学第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法第2课时因式分解法知识点2用因式分解法解一元二次方程基础过关全练1.(2024河南鹤壁淇滨中学月考)一元二次方程x2=3x的解是

(

)A.x=0

B.x=3C.x=-3

D.x1=0,x2=3D解析移项,得x2-3x=0,分解因式,得x(x-3)=0,解得x1=0,x2=3.2.(2024山西临汾第一中心学校月考)方程x2-4x+4=0的根是

(

)A.x=2

B.x1=x2=2C.x=4

D.x1=x2=4B解析分解因式,得(x-2)2=0,解得x1=x2=2.3.(2024海南临高期中)已知代数式3-x与-x2+3x的值互为相反

数,则x的值是(

)A.-1或3

B.1或-3C.1或3

D.-1和-3A解析∵代数式3-x与-x2+3x的值互为相反数,∴(3-x)+(-x2+

3x)=0,即(3-x)+x(3-x)=0,分解因式得(3-x)(1+x)=0,解得x1=3,x2=

-1,故x的值是-1或3.4.(2022广西梧州中考)一元二次方程(x-2)(x+7)=0的根是

.x1=2,x2=-7解析∵(x-2)(x+7)=0,∴x-2=0或x+7=0,∴x1=2,x2=-7.5.(新考向·新定义试题)(2024安徽宿州泗县期中)对于实数a、b,定义运算“※”如下:a※b=a2-ab,例如:5※3=52-5×3=10.若(x+1)※(3x-2)=3,则x的值为

.0或0.5解析∵a※b=a2-ab,∴(x+1)※(3x-2)=(x+1)2-(x+1)(3x-2)=3,

即2x2-x=0,∴x(2x-1)=0,解得x=0或0.5.6.(易错题)(2024河南南阳宛城期中)一个三角形的两边长分

别为3和8,第三边的长是一元二次方程x(x-9)-13(x-9)=0的根,

则这个三角形的周长是

.20解析原方程分解因式得(x-9)(x-13)=0,解得x1=9,x2=13,分情

况求解如下:(1)当第三边的长为9时,8-3<9<8+3,能构成三角形,故这个三

角形的周长为3+8+9=20;(2)当第三边的长为13时,3+8=11<13,不能构成三角形,舍去.综上,这个三角形的周长为20.易错点:本题易因忽略考虑三角形的三边关系而发生多解的

错误.7.解下列方程:(1)2x(x-3)=9-3x;

(2)2x2-12x=-18;(3)(一题多解)(2024吉林长春五十二中教育集团期中)4(x+3)2

-(x-2)2=0.解析

(1)方程整理得2x(x-3)=3(3-x),移项,得2x(x-3)+3(x-3)=

0,提公因式,得(x-3)(2x+3)=0,解得x1=3,x2=-

.(2)移项,得2x2-12x+18=0,整理得x2-6x+9=0,分解因式,得(x-3)2=0,解得x1=x2=3.(3)解法1(因式分解法):4(x+3)2-(x-2)2=0可整理得[2(x+3)]2-(x-

2)2=0,分解因式,得[2(x+3)+(x-2)][2(x+3)-(x-2)]=0,整理,得(3x+4)(x+

8)=0,解得x1=-

,x2=-8.解法2(直接开平方法):移项,得4(x+3)2=(x-2)2,开平方,得2(x+3)

=-(x-2)或2(x+3)=x-2,解得x1=-

,x2=-8.8.(新独家原创)有一个圆形的儿童游乐场吸引了众多孩子,

为满足需求老板决定扩建,扩建后儿童游乐场的半径增加了

10m,面积增加为原来的4倍,求儿童游乐场原来的半径.解析设儿童游乐场原来的半径为xm,则扩建后儿童游乐

场的半径为(x+10)m,依题意可得π(x+10)2=4πx2,整理得(x+10+

2x)(x+10-2x)=0,解得x1=-

(不合题意,舍去),x2=10,故儿童游乐场原来的半径为10m.9.(新考法)(2024河南南阳镇平二模,6,★☆☆)若实数k、b是

一元二次方程(x+3)(x-1)=0的两个根,且k<b,则一次函数y=kx+

b的图象不经过

(

)A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限能力提升全练C解析本题将一元二次方程的求解和一次函数的性质结合

考查,命题设计新颖.∵实数k、b是一元二次方程(x+3)(x-1)=0

的两个根,且k<b,∴k=-3,b=1,∴函数y=kx+b,即y=-3x+1的图象

经过第一、二、四象限,不经过第三象限.10.(新考法)(2024甘肃天水二中一模,6,★★☆)如图,已知A,B,

C是数轴上异于原点O的三个点,且点O为AB的中点,点B为

AC的中点.若点B表示的数是x,点C表示的数是x2-3x,则x=

.

6解析∵O是原点,且是AB的中点,∴OA=OB,∵B点表示的数

是x,∴A点表示的数是-x.∵B是AC的中点,∴AB=BC,∴(x2-3x)

-x=x-(-x),∴x2-6x=0,∴x(x-6)=0,解得x1=0,x2=6.∵B异于原点,∴x≠0,∴x=6.11.(2024湖南衡阳成章实验中学二模,18,★★☆)解方程(x+1)2-5(x+1)+6=0时,我们可以将x+1看成一个整体,设x+1=y,则原

方程可化为y2-5y+6=0,解得y1=2,y2=3.当y=2时,x+1=2,解得x=

1;当y=3时,x+1=3,解得x=2,所以原方程的解为x1=1,x2=2.利用

这种方法求得方程(2x-1)2-4(2x-1)+3=0的解为

.x1=1,x2=2解析设2x-1=m,则原方程可化为m2-4m+3=0,∴(m-1)(m-3)=

0,∴m-1=0或m-3=0,解得m1=1,m2=3.当m=1时,2x-1=1,解得x=1;

当m=3时,2x-1=3,解得x=2,故原方程的解为x1=1,x2=2.12.(教材变式·P45T6)(2024河南新乡卫辉一模,19,★★☆)一

个直角三角形三条边的长为连续正整数,求此直角三角形的

周长.解析设该直角三角形三条边的长分别为x-1,x,x+1(x>1),依

题意可得x2+(x-1)2=(x+1)2,整理得x2-4x=0,分解因式得x(x-4)=

0,解得x1=0(舍去),x2=4,∴x-1=3,x+1=5,故此直角三角形的周

长为3+4+5=12.13.(新考向·过程性学习试题)(2024吉林长春宽城二模,23,★

★☆)小丽与小霞两位同学解方程3(x-3)=(x-3)2的过程如下:小丽:两边同除以(x-3),得3=x-3,解得x=6.小霞:移项,得3(x-3)-(x-3)2=0,提取公因式,得(x-3)·(3-x-3)=0,所以x-3=0或3-x-3=0,解得x1=3,x2=0.(1)你认为她们的解法是否正确?若正确请在框内打“√”;

若错误请在框内打“×”,并写出你的解答过程.(2)请结合上述题目总结:形如ax2=bx(a≠0)的一元二次方程

的一般解法.解析

(1)她们的解法都不正确,正确的解答过程如下:移项,

得3(x-3)-(x-3)2=0,提取公因式,得(x-3)(3-x+3)=0,所以x-3=0或6-x=0,解得x1=3,x2=6.(2)形如ax2=bx(a≠0)的一元二次方程的一般解法:移项,得ax2-

bx=0,提取公因式,得x(ax-b)=0,所以x=0或ax-b=0,解得x1=0,x2=

.14.(新考向·规律探究试题)(2024吉林长春第二实验中学一

模,24,★★☆)某天延时课上,闻老师带领同学们利用棋子构

图研究数字规律.将一些棋子按如图所示的规律摆放:

第1个图中有7个棋子,第2个图中有11个棋子,第3个图中有17

个棋子,……,按此规律依次递增.(1)第5个图中有

个棋子;第n个图中有

个棋

子.(2)第n个图中的棋子个数能是115吗?如果能,求出n的值;如

果不能,请说明理由.解析

(1)由规律可得,第4个图中有25个棋子,第5个图中有3

5个棋子,第n个图中有n(n+1)+5=(n2+n+5)个棋子.(2)能,令n2+n+5=115,整理得,(n+11)(n-10)=0,解得n1=-11(舍

去),n2=10,∴第10个图中的棋子个数为115.15.(运算能力)(2024河南周口商水月考)我们知道可以用公式

x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)来分解因式解一元二次方程.例如:x2+6x+5=0,方程分解为

=0,x2-2x-15=0,方程分解为

=0.爱钻研的小明同学发现二次项系数不是1的方程也可以借助

此方法解一元二次方程.素养探究全练(2)请利用此方法解方程2x2+3x-5=0;(3)请利用此方法解关于x的一元二次方程3x2-(6+a)x+2a=0.例如:3x2-7x+2=0.解:方程分解为(x-2)(3x-1)=0,从而