华东师大版初中数学九年级上册专项素养综合练(四)相似三角形判定的六种常见模型课件

九年级

上册华东师大版初中数学专项素养综合全练（四）相似三角形判定的六种常见模型模型一平行线型模型展示条件:DE∥BC.结论:△ADE∽△ABC.

1.(2023四川乐山中考)如图,在平行四边形ABCD中,E是线段

AB上一点,连结AC、DE交于点F.若

=

,则

=

.

解析∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∵

=

,∴设AE=2a,则BE=3a,∴AB=CD=5a,∵AB∥CD,∴△AEF∽△CDF,∴

=

=

,∴

=

.2.(2023广东揭阳中考)边长分别为10,6,4的三个正方形拼接

在一起,它们的底边在同一直线上(如图),则图中阴影部分的

面积为

.15解析∵三个四边形都是正方形,∴BF∥DE,∴△ABF∽△

ADE,∴

=

,∵AB=4,AD=4+6+10=20,DE=10,∴

=

,∴BF=2,∴GF=6-2=4,∵CK∥DE,∴△ACK∽△ADE,∴

=

,∵AC=4+6=10,AD=20,DE=10,∴

=

,∴CK=5,∴HK=6-5=1,∴阴影部分的面积=

(HK+GF)·GH=

×(1+4)×6=15.模型二斜交型模型展示条件:∠1=∠2.结论:△ADE∽△ABC.

3.(新考向·开放型试题)(2024湖南邵阳邵东月考)如图,已知AC、BD相交于点O,若补充一个条件后,便可得到△AOB∽△DOC,则要补充的条件可以是

.

答案不唯一,如∠A=∠D解析补充条件∠A=∠D时,∵∠AOB=∠COD,∠A=∠D,∴△AOB∽△DOC.4.(2024河南驻马店汝南模拟)已知:在△ABC中,BD,CE分别

是AC,AB边上的高,连结ED,求证:△ABC∽△ADE.

证明设BD与CE交于点O,∵BD,CE分别是AC,AB边上的高,

∴∠BEC=∠BDC=90°,∵∠BOE=∠COD,∴∠ABD=∠ACE,

∵∠A=∠A,∴△ABD∽△ACE,∴

=

,∴

=

,∵∠A=∠A,∴△ABC∽△ADE.模型三双垂直型模型展示条件:∠ACB=90°,CD⊥AB.结论:△ADC∽△ACB∽△CDB.

5.(2023湖南湘潭中考)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边

BC上的高.(1)证明:△ABD∽△CBA;(2)若AB=6,BC=10,求BD的长.

解析

(1)证明:∵AD是斜边BC上的高,∴∠BDA=90°,∵∠

BAC=90°,∴∠BDA=∠BAC,∵∠B=∠B,∴△ABD∽△CBA.(2)由(1)知△ABD∽△CBA,∴

=

,∴

=

,∴BD=3.6.模型四一线三等角模型模型展示(1)同侧型:如图1,已知∠A=∠CPD=∠B,当点P在线段AB上

时,易证△ACP∽△BPD.(2)异侧型:如图2,已知∠MAC=∠CPD=∠ABD,点P在线段AB

的延长线上时,易证△ACP∽△BPD.

图1

图26.(2023湖南邵阳中考)如图,CA⊥AD,ED⊥AD,点B是线段AD

上的一点,且CB⊥BE.已知AB=8,AC=6,DE=4.(1)证明:△ABC∽△DEB;(2)求线段BD的长.

解析

(1)证明:∵CA⊥AD,ED⊥AD,CB⊥BE,∴∠A=∠CBE

=∠D=90°,∴∠C+∠CBA=90°,∠CBA+∠DBE=90°,∴∠C=

∠DBE,∴△ABC∽△DEB.(2)∵△ABC∽△DEB,∴

=

,∴

=

,∴BD=3.模型五母子型模型展示条件:∠A=∠A,∠ACD=∠B.结论:△ACD∽△ABC.

7.(2024河南南阳南召期中)如图,△ABC中,AD是中线,BC=8,

∠B=∠DAC,求线段AC的长.

解析∵AD是中线,BC=8,∴BD=CD=4,在△CBA和△CAD

中,∵∠B=∠DAC,∠C=∠C,∴△CBA∽△CAD,∴

=

,∴AC2=CD·BC=4×8=32,∴AC=4

.模型六旋转型模型展示条件:DE∥BC,将△ADE旋转后,连结CE、BD.结论:(1)△ADE∽△ABC;(2)△ABD∽△ACE.

8.(2023湖南常德中考改编)如图1,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,

AB=8,BC=6,D是AB上一点,且AD=2,过点D作DE∥BC交AC

于E,将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置,求图2中

的值.

图1

图2解析∵∠ABC=90°,AB=8,