华东师大版初中数学九年级上册专项素养综合练(五)构造中位线解题的四种方法课件

九年级

上册华东师大版初中数学专项素养综合全练（五）构造中位线解题的四种方法方法一连结两点构造中位线专题解读在三角形中,若已知两边或多边的中点,可考虑连结两点得到

三角形的中位线,从而利用三角形中位线定理解决问题.1.(2024河南南阳第一初级中学月考)如图,在△ABC中,D、E、F分别是AB、AC、BC的中点,求证:AF与DE互相平分.

证明如图,连结DF、EF.∵点D、F、E分别是AB、BC、

AC的中点,∴DF∥AC,EF∥AB,∴四边形ADFE是平行四边

形,∴AF与DE互相平分.2.(2024福建漳州三中期中)已知:△ABC中,D是BC上的一点,

E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点,求证:EG、

HF互相平分.

证明连结EH、GH、GF,∵E、F、G、H分别是BD、BC、

AC、AD的中点,∴AB∥EH∥GF,GH∥BC,∴四边形EHGF

为平行四边形,∴EG、HF互相平分.

方法二角平分线+垂直构造中位线专题解读当角平分线和垂直两个条件同时出现时,可延长垂直于角平

分线的线段构造等腰三角形,从而将图形中的某一点转化为

三角形一边的中点,得到三角形的中位线,进而解决问题.3.(2024山西临汾尧都期中)如图,△ABC中,∠ABD=∠CBD,

AE=CE,AD⊥BD.若DE=5,AB=8,则BC的长为

(

)

A.19

B.18

C.17

D.10B解析如图,延长AD交BC于点F,∵AD⊥BD,BD平分∠ABF,

∴AD=DF,BF=AB=8,∵AE=CE,AD=DF,∴FC=2DE=10,∴BC

=BF+FC=18.

4.(2024河南新乡封丘金瀚学校月考)如图,在△ABC中,AE平

分∠BAC,BE⊥AE于点E,点F是BC的中点,若AB=10,AC=6,求

EF的长.

解析如图,延长AC、BE交于点M,∵AE平分∠BAC,AE⊥

BE,∴AB=AM=10,BE=EM,∵AC=6,∴CM=AM-AC=10-6=4,∵

点F是BC的中点,BE=EM,∴EF为△BCM的中位线,∴EF=

CM=2.

方法三已知中点取中点构造中位线专题解读在已知某条线段中点的情况下,可考虑取另一线段的中点,构

造出三角形中位线,进而解决问题.5.(2024吉林长春东北师大附中月考)如图,AD是△ABC的中线,E是AD的中点,F是BE延长线与AC的交点,若AC=6,则AF=

(

)

A.3

B.2

C.

D.

B解析如图,取BF的中点H,连结DH,∵BD=DC,BH=HF,∴DH

=

FC,DH∥AC,∴∠HDE=∠FAE,在△AEF和△DEH中,

∴△AEF≌△DEH,∴AF=DH=

FC,∵AC=6,∴AF=

AC=2.

6.(2024福建泉州实验中学期中)如图,在Rt△ABM中,∠M=90°,C,D为直角边上的点,且AD=BC=2,E,F分别为AB,CD的中

点,求EF的长.

解析如图,连结AC,取AC的中点O,连结OE、OF,∵E,F分别

为AB,CD的中点,∴OE是△ABC的中位线,OF是△ACD的中

位线,∴OE=

BC=1,OF=

AD=1,OE∥BC,OF∥AD,∴∠COF=∠CAD,∠AEO=∠B,∵∠COE=∠CAB+∠AEO,∴∠COE=

∠CAB+∠B,∴∠EOF=∠COF+∠COE=∠CAD+∠CAB+

∠B,∵∠M=90°,∴∠EOF=∠CAD+∠CAB+∠B=90°,∴在Rt

△EOF中,EF=

=

.方法四倍长法构造中位线专题解读将某一条线段延长至某一点,使延长部分等于已知线段长,从

而既构造出线段中点,又构造出全等三角形(S.A.S.)模型,进

而利用三角形中位线定理和全等三角形的知识解决问题.7.(2022广东广州二中模拟)如图,△ABC中,∠ABC=90°,BA=

BC,△BEF为等腰直角三角形,∠BEF=90°,M为AF的中点,求

证:ME=

CF.

证明如图,延长FE至D,使DE=EF,连结AD、BD,∵△BEF为

等腰直角三角形,∠BEF=90°,∴∠BFE=45°,BE⊥DF,∴BE垂

直平分DF,∴∠BDE=45°,∴△BDF是等腰直角三角形,∴BD

=BF,∠DBF=90°,∵∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°,∠ABD+∠

ABF=∠DBF=90°,∴∠CBF=∠ABD.在△ABD和△CBF中,∵

∴△ABD≌△CBF,∴AD=CF,∵M为AF的中点,DE=EF,∴ME是△ADF的中位线,∴ME=

AD,∴ME=

CF.

8.(2024四川成都武侯实验中学月考)△ABC中,D是BC的中点.分别以AB,AC为一边,向三角形内部作Rt△ABE,Rt△ACF,

使∠ABE=∠ACF,连结DE,DF,求证:DE=DF.

证明如图,延长BE到M,使ME=BE,延长CF到N,使NF=CF,连

结AM、MC、AN、NB,∵∠AFC=90°,∠AEB=90°,∴AE、AF

分别是BM、CN的垂直平分线,∴AM=AB,AN=AC,∵∠ABE=

∠ACF,∴∠ABE=∠AME=∠ACF=∠ANF,∴∠CAF=∠NAF

=∠MAE=∠BAE,∴∠CAM=∠BAN