【岩土结构基础结构力学】第5讲超静定结构（上）

2019年张工培训注册勘察

设计岩土结构基础班第5讲：超静定结构（上）主讲：黄老师网络授课

课后视频

及时答疑专有题库14.1.4

超静定结构受力分析及特性超静定次数；力法基本体系；力法方程及其意义；等截面直杆刚度方程；

位移法基本未知量；基本体系基本方程及其意义；等截面直杆的转动刚度；力矩分配系数与传递系数；单结点的力矩分配；对称性利用；超静定结构位

移；超静定结构特性一级注册结构工程师基础考试大纲十五、结构力学（15题）15.4

超静定结构受力分析及特性超静定次数；力法基本体系；力法方程及其意义；等截面直杆刚度方程；位移法基本未知量；基本体系基本方程及其意义；等截面直杆的转动刚

度；力矩分配系数与传递系数；单结点的力矩分配；对称性利用；超静定结

构位移；超静定结构特性注册土木工程师（岩土）基础考试大纲十四、结构力学与结构设计（12题）23一、超静定结构及其超静定次数六、等截面直杆的转角位移方程二、力法的基本原理及典型方程七、位移法基本原理及典型方程三、力法对称性的应用八、位移法计算支座移动和温度

改变时的超静定结构四、力法计算支座移动和温度改变时的超静定结构九、力矩分配法五、超静定结构的位移计算十、超静定结构的一般特性3超静定结构是相对于静定结构而言的。静定结构是几何不变而又没有多余约束的体系，其反力和

内力只需静力平衡方程即可求得。超静定结构有多余约束的几何不变体系。仅由静力平衡方程不能求出所有内力和反力，尚需增加位移协调方程。一、超静定结构及其超静定次数4超静定梁

刚架超静定结构的类型桁架5组合结构拱※6超静定次数确定超静定次数结构多余约束或多余未知力的数目，即为超静定次数。确定超静定次数的方法通过解除多余约束来确定。（去掉n个多余约束，即为n次超静定）。7解除多余约束的方式a、撤去一个活动铰支座、去掉或切断一根链杆——去掉1

个约束（联系）；

8X1

9个固定铰支座——

去掉2个约束；b、去掉一个单铰或一——

X1X2X2c、切断刚性联系（梁式杆）或去掉一个固定端——

去掉3个

约束；

10X2X1X13

11d、将刚性连接改为单铰——

去掉1个约束。每个无铰封闭框超三次静定X3X1超静定次数3×封闭框数－单铰数目

=3×5－5=10

X3X1

t

X2超静定次数3×封闭框数=3×5=1512X2【2010年一级结构基础真题】图示桁架的超静定次数是:A、1

次

B、2

次

C、3

次

D、4

次13【2011年一级结构基础真题】图示结构的超静定次数是(

)。A、33

B、34

C、35

D、3614解除多余约束，转化为静定结构。将多余约束以多余未知

力代替。这种把多余约束力作为基本量的计算方法称为力法。

（1）对于同一超静定结构，可以采取不同方式去掉多余约束，

而得到不同形式的静定结构，但去掉多余约束的总个数应相同。

（2）去掉多余约束后的体系，必须是几何不变的体系，因此某

些约束是不能去掉的。几何可变体系不能作为基本体系二、力法的基本原理及典型方程15

16

该方程称为力法的基本方程(力法的典型方程),其中的δ11

和Δ1P分别称为系数和自由项

。FPA

C

B2

2一次超静定★l

lδ11X1+δ12X2+Δ1P=0

δ21X1+δ22X2+Δ2P=0δ11和δ22称为主系数，δ

12和δ21称为副系数，Δ

1P、Δ

2P称为自由项。B

11

X1

21B11

CX

C1二次超静定★A

ABX2CP

BCFPCFP2PBPCACAB2

1217

22X2FPC2ABBqq1Pqδij称为主系数，δij称为副系数，ΔiP称为自由项

。方程右边不一定等于零，也可以是支座位移。自由项可以是外加荷载，也可以是温度变化，支座位移或加

工误差产生。n次超静定※18δ11X1

+

δ12

X2

+Δ

1P

=0δ21X1

+

δ22

X2

+Δ2P

=0CφA=0ΔφB=01.选取基本体系如右图所示。EI

l例

求图示刚架M图。ΔφB

=

0

φA

=

02.

列力法方程：B

原结构基本体系EI

lAX2X1A19CBqq

3.求系数和自由项

q

CB

CEI

l

M1

图

EI

l

M2图X2

=

1A

-EI

lCql2

8X1

=

1

1

EIlMP

图120AABB

X1

=

1

人1

E1I1

l

:1

B

CE2I2

l

E2I2

l

M2图-

1A

M1

图X2

=

1A

-E1I1

l

C

21B

22解方程得：

1

2X1

=

-

ql

(

)144.将求得的系数代入力法方程求解得：1

2X2

=

ql

(

)

28

23CB1

2ql81A28

由M

=

M1X1

+

M2

X2

+

MP

求得刚架弯矩图：5.1

214

qlql2

M图1

-

21

-

-

211aFN

1

图

24aFNP

图

根据上述基本体系I求得各杆FNP及FN

1标于图中。A

B

A

X1

=

1

B

a

a-

2FP00FP例求上图示桁架各杆轴力，各杆EA相同。C

DC

D解:

FPFP0

25

=EA

δ11X1

+

Δ1P

=

0

a

FN

1

图

26FN图

-

FP

FP

FP-

2求得未知量后，桁架各杆轴力按下式计算：

FN

=

FN1X1

+

FNP

C

D

a

0-

2FPFP

A

Ba-

FP-

FPX1

=

1AB00C

D1FP21

-

2FNP

图

1FPFP

11a1）选取对称的基本结构，以对称或反对称的多余未知力作

为基本未知量。2）对称结构在对称荷载作用下，反对称的多余未知力为零

,只需计算对称的多余未知力。3）对称结构在反对称荷载作用下，对称的多余未知力为零,只需计算反对称的多余未知力。4）非对称荷载可分解为对称荷载和反对称荷载，分别计算后叠加。三、力法对称性的应用27①取原结构的一半；②在对称轴经过的截面添加一个垂直于对称轴支承的定向支座（

1

）奇数跨对称结构承受对称荷载的半结构取法对称结构承受对称荷载l

llFCFPCMR=

X2FR=

X3X2X3X2X3H

=0

=0H

=0

=0H

=0

=028FPFPFPCVVVPMRCFRy①取原结构的一半；②在对称轴经过的截面处添加一个固定支座。（2

）偶数跨对称结构承受对称荷载的半结构取法H

=04V

=0

=029FRxFPFPFPC根据受力与变形等效的原则，半结构取法为：①取原结构的一半；②在对称轴经过的截面处，沿对称轴方向添加一根支杆。对称结构承受反对称荷载3

）半结构法HC（

1

）奇数跨对称结构承受反对称荷载的半结构取法FPV

=0FR=

X1FP

HCV

=0HCV

=0X1

X1ll

l30FPFPFPFPFPEI2FPCFPEI2①取原结构的一半；②将中柱刚度折半。注意：补全原结构

内力图时，原中柱的弯

矩和剪力应为半结构中柱相应内力的2倍。对称结构承受任意

荷载，可分解为对称和

反对称荷载，简化计算

后叠加得结果。（2）偶数跨对称结构承受反对称荷载的半结构取法EI231FPEICC四、力法计算支座移动和温度改变时的超静定结构超静定结构有多余约束的存在，会在支座移动、温度变化、材料涨缩和制造误差等非荷载因素作用时产生内力，称自内力。

是超静定结构与静定结构的主要区别之一。用力法计算支座移动和温度变化时的超静定结构，基本原

理和分析步骤与荷载作用时相同。具体计算时有以下三个特点：❶基本方程中自由项不同；❷对支座移动问题，基本方程右端项不一定为零；❸计算最后内力的叠加公式不完全相同。且多余未知力和内力均与杆件刚度EI的绝对值有关。32

33【例】图(a)所示为一单跨超静定梁，设固定支座A发生转角φ

,求梁的支座反力并绘制弯矩图。【解】

设取基本结构如图所示，根据原结构中B处的竖向位移等

于零的条件，建立力法方程δ11Χ1

+Δ1Δ

=

0用力法计算支座有位移时的超静定结构

34

解得

根据M

=

M

1

X

1

绘制弯矩图。梁的支座反力分别为

35用力法计算温度改变时的超静定结构δ11Χ1

+

δ12

Χ2

+

δ13

Χ3

+Δ1t

=0

δ21Χ1

+

δ22

Χ2

+

δ23

Χ3

+Δ2t

=0

δ31Χ1

+

δ32

Χ2

+

δ33

Χ3

+Δ3t

=0

建立力法方程自由项36

37温度不变，各杆线膨胀系数为αl，EI和截面高度h均为常数。【解】取基本结构如图(b)所示。建立力法方程δ11Χ

1+Δ1t

=0【例】

计算图示刚架内力。刚架各杆内侧温度升高10℃,外侧

38

绘出图

FN1

M、，1分别如图所示。求得系数和自由项

超静定结构的位移计算仍可采用单位荷载法。下面以求解图

(a)所示荷载作用下的连续梁B支座转角B为例，说明超静定结构位移的算法。30kN/m