高三高考数学一轮课时练习：角度测量问题

高三高考数学一轮课时练习：角度测量问题一、单选题1．下列结论正确的是（

）A．东南方向与南偏东方向相同．B．若为锐角三角形且，则角的取值范围是.C．从处望处的仰角为，从处望处的俯角为，则的关系为.D．俯角是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为.2．位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20nmile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距10nmile的C处的乙船．乙船也立即朝着渔船前往营救，则＝（

）A． B． C． D．3．已知甲船在海岛的正南A处，海里，甲船以每小时4海里的速度向正北航行，同时乙船自海岛出发以每小时6海里的速度向北偏东60°的方向驶去，当航行一小时后，甲船在乙船的（

）A．北偏东30°方向 B．北偏东15°方向C．南偏西30°方向 D．南偏西15°方向4．北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为，半径为的球，若地球表面上的观测者与某颗地球静止同步轨道卫星处于相同经度，且能直接观测到，设点的维度（与赤道平面所成角的度数）的最大值为，则（

）A． B． C． D．5．一艘客船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得船与灯塔S相距海里，则灯塔S在B处的（

）A．北偏东 B．北偏东或南偏东C．南偏东 D．以上方位都不对6．如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西方向上，灯塔B在观察站南偏东方向上，则灯塔A在灯塔B的（

）北偏东方向上 B．北偏西方向上 C．南偏东方向上 D．南偏西方向上7．甲船在A处，乙船在甲船北偏东60°方向的B处，甲船沿北偏东方向匀速行驶，乙船沿正北方向匀速行驶，且甲船的航速是乙船航速的倍，为使甲船与乙船能在某时刻相遇，则（

）A． B． C． D．8．某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A处测得，沿土坡向坡顶前进后到达D处，测得．已知旗杆，土坡对于地平面的坡角为，则（

）A． B． C． D．9．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的（

）A．北偏东10° B．北偏西10°C．南偏东10° D．南偏西10°10．太阳高度角是太阳光线与地面所成的角（即太阳在当地的仰角）．设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射点纬度，为当地纬度值，那么这三个量满足．通州区某校学生科技社团尝试估测通州区当地纬度值（取正值），选择春分当日（）测算正午太阳高度角．他们将长度为1米的木杆垂直立于地面，测量木杆的影长．分为甲、乙、丙、丁四个小组在同一场地进行，测量结果如下：组别甲组乙组丙组丁组木杆影长度（米）0.820.800.830.85则四组中对通州区当地纬度估测值最大的一组是（

）A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组二、多选题11．一艘客船上午9：30在A处，此时测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得客船与灯塔S相距，则灯塔S可能在B处的（

）A．北偏东方向 B．南偏东方向 C．东北方向 D．东南方向12．某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为.货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则下列说法正确的是（

）A．处与处之间的距离是 B．灯塔与处之间的距离是C．灯塔在处的西偏南 D．在灯塔的北偏西13．某货轮在处看灯塔在货轮北偏东75°，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西30°，距离．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东60°，则下列说法正确的是（

）A．处与处之间的距离是； B．灯塔与处之间的距离是；C．灯塔在处的西偏南60°； D．在灯塔的北偏西30°．14．装货轮在A处看灯搭B在货轮北偏东，距离为海里；在A处看灯塔C在货轮的北偏西，距离为海里.货轮自A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东，则下列说法正确的是（

）A．A处与D处之间的距离是24海里 B．灯塔C与D处之间的距离是海里C．灯塔C在D处的西偏南 D．D在灯塔B的北偏西三、填空题15．如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小，则的最大值是.（仰角为直线与平面所成的角）

16．如图，两座相距的建筑物、的高度分别为、，为水平面，求从建筑物的顶端A看建筑物的张角的大小．17．在地面上某处测得塔顶的仰角为θ，由此处向塔走30m，测得塔顶的仰角为，再向塔走m，测得塔顶的仰角为，则角θ的度数为．18．当太阳光线与水平面的倾斜角为时，一根长为的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角．四、解答题19．如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大小．若，，，求的最大值．（仰角为直线AP与平面ABC所成角）20．如图，两名搬家工人要将一个大衣柜搬出房间，已知衣柜长1.5m，宽0.8m，高2.5m，房门的宽为1.2m，高为2.2m．试问此衣柜的倾斜度要在多少度以下，才能顺利通过房门？（，，）21．如图，长为7m的梯子BC靠在斜壁上，梯脚C与壁基A相距1.5m，梯顶B在沿着壁向上6m的地方，求壁面和地面所成的角（精确到0.1°）.22．如图，已知两座灯塔和与海洋观察站的距离相等，灯塔在观察站北偏东的方向上，灯塔在观察站南偏东的方向上，则灯塔在灯塔北偏西多少度的方向上？答案：1．A【分析】根据方向、锐角三角形、仰角、俯角等知识确定正确答案.【详解】A选项，东南方向与南偏东方向相同，A选项正确.B选项，若为锐角三角形且，则，解得，所以B选项错误.C选项，从处望处的仰角为，从处望处的俯角为，则，所以C选项错误.D选项，俯角是在竖直面内，水平线与向下递降线段直线的角度，范围是，所以D选项错误.故选：A2．A【分析】由余弦定理求得，进而由正弦定理求得答案．【详解】由题意，由余弦定理得，，∴，由正弦定理得，，即，解得．故选：A．3．C【分析】结合题意画出相应图形，即可得答案.【详解】由题，1小时后，甲船来到C处，则，则.又由题可知，此时，乙船来到D处，，结合BD是北偏东60°方向，则.又，则，即此时乙在甲的北偏东30°方向，甲在乙的南偏西30°方向.故选：C

4．B【分析】通过构造直角三角形的方法求得.【详解】设表示卫星，过作截面，截地球得大圆，过作圆的切线，，线段交圆于，如图，则，，，，则.故选：B5．B【分析】画出示意图，易知，，，则由正弦定理即可求出或，即或，由此即可选出答案.【详解】如图所示，由题意可知（海里），海里，，在中，由，得，所以或，故或，即灯塔S在B处的北偏东或南偏东．故选：B.6．D【分析】根据题意求出各角的度数，确定，故灯塔A在灯塔B的南偏西方向上.【详解】由条件及题图可知，为等腰三角形，所以，又，所以，所以，因此灯塔A在灯塔B的南偏西方向上．故选：D．7．B【分析】首先设在点处相遇，设，则，再利用正弦定理求解即可.【详解】如图所示：设在点处相遇，设，则，

由题知：，由正弦定理得：，解得.因为，所以，即.故选：B8．D【分析】先在中由正弦定理可得AP，然后表示出PB、AB，利用三角函数同角关系表示出，化简可得.【详解】在中，由正弦定理可得在中，易知，则整理可得故选：D9．B【分析】画图，根据三角形的几何性质求解即可【详解】灯塔A，B的相对位置如图所示，由已知得∠ACB＝80°，∠CAB＝∠CBA＝50°，则α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°.故选：B.10．D【分析】根据题意得到，设木杆的影长为，得到，根据表格中的数据得到当时，取得最小值，此时求得最大值，即可求解.【详解】如图所示，地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射点纬度，为当地纬度值，那么这三个量满足，当且为正值，可得，即，设木杆的影长为，可得，因为甲、乙、丙、丁四个小组在同一场地进行，得到影长分别为，所以当时，取得最小值，此时求得最大值，所以四组中对通州区当地纬度估测值最大的一组是丁组.故选：D.11．AB【分析】画出示意图如图所示，在三角形中，由正弦定理即可求出的值，讨论船在B处和处时，即可求出答案.【详解】画出示意图如图所示，由题意得，，，所以，解得，所以或．当船在B处时，，所以；当船在处时，，所以．综上，灯塔S在B处的北偏东或南偏东方向．故选：AB.12．ABC【分析】作图，运用正弦定理和余弦定理解相应的三角形即可.【详解】在中，由已知得，，则，．由正弦定理得，所以处与处之间的距离为，故A正确；在中，由余弦定理得，，又，解得．所以灯塔与处之间的距离为，故B正确，，，灯塔在处的西偏南，故C正确；灯塔在的南偏东，在灯塔的北偏西，故D错误；故选：ABC．13．AC【分析】根据题意作出图形，然后在中，结合正弦定理得求出，在中，由余弦定理得，然后求出相关角度，进而逐项分析即可.【详解】

由题意可知，所以，,在中，由正弦定理得，所以，故A正确；在中，由余弦定理得，即，故B错误；因为，所以，所以灯塔在处的西偏南，故C正确；由，在灯塔的北偏西处，故D错误.故选：AC14．ABC【分析】根据题意作出图形，然后在中，结合正弦定理得求出，在中，由余弦定理得，然后求出相关角度，进而逐项分析即可.【详解】根据题意作出图形：

由货轮在A处看灯搭B在货轮北偏东，距离为海里，得，，又在A处看灯塔C在货轮的北偏西，距离为海里，得，，又货轮自A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东，得，所以在中，.对于A：在中，由正弦定理得，所以（海里)，故A正确；对于B：在中，由余弦定理得，即（海里)，故B正确；对于C：因为，所以，所以灯塔在处的南偏西方向，即灯塔C在D处的西偏南，故C正确；对于D：由，在灯塔的南偏东处，在灯塔的北偏西处，故D错误.故选：ABC.15．【分析】根据仰角的定义，作图，利用图中的几何关系列出函数式，借助二次函数求解作答.【详解】过点在平面内作直线的垂线，垂足为点，如图，

则由仰角的定义得，由题意，设，则，当点与不重合时，在中，，当点与重合时，上式也成立，在中，

，当时，取最大值，综上，的最大值为.故答案为：.16．【分析】先过点A作于点，由勾股定理求出和，再由余弦定理求出，由，即可求出答案．【详解】如图，过点A作于点，由题可知，，，，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，在中，由余弦定理得：，因为，所以．17．/【分析】由题意画出示意图，易知,，在中，由正弦定理即可列出等式，即可解出角θ的度数.【详解】如图，∵，，∴，∴．∵，，∴，∴．在中，由，得，∴，∴．∵，∴，∴．故答案为：.18．【分析】作出示意图，设竹竿与地面所成的角为，影子长为，依据正弦定理可得，再根据正弦函数性质求解即可.【详解】作出示意图如下如，设竹竿与地面所成的角为，影子长为，依据正弦定理可得，所以，因为，所以要使最大，只需，即，所以时，影子最长．答案为：.19．.【分析】根据仰角的定义，作图，利用图中的几何关系列出函数式，借助二次函数求解作答.【详解】过点P做直线BC的垂线，垂直为D，如图，则由仰角的定义得，由题意，设则，点D与B不