矩阵分析 课件 2.1 欧氏空间_第1页
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第2章内积空间线性空间中，元素间的运算只有加法和数乘，统称线性运算。上的内积空间（即酉空间）以及酉变换等也给出简单介绍。但是，三维几何空间作为一个线性空间，长度、向量夹角等度量概念在线性空间的理论中都未得到反映，而这些度量性质在很多实际问题中是很关键的。因此有必要在一般的线性空间中引进内积运算，从而导出内积空间的概念。中诸如向量本章重点讨论实数域上的内积空间（即欧氏空间），以及几种重要的线性变换，包括正交变换、对称变换等。同时，对复数域2.1欧氏空间1、欧氏空间的概念与性质定义2.1

设V是实数域R

上的线性空间，如果对于V中任意则称，当且仅当两个元素都有一个实数与之对应，记为，且满足下列条件：（1）（2）（3）（4）时等号成立，的内积。定义了内积的实线性空间V为与称为欧几里得空间（简称欧氏空间），也称为实内积空间。例2.1

实向量空间定义容易验证，它满足内积的四个条件，称为在同一个线性空间中引入不同的内积，则认为构成了不同的欧氏空间。例如，在实

n维向量构成的集合V中，定义或则它们都是V的内积。（A是n阶正定矩阵）中的向量在引入上述内积后，向量空间的标准内积。就是一个欧氏空间。

例2.2实矩阵空间

例2.3实连续函数线性空间定义

按此内积构成欧氏空间，定义按此内积构成欧氏空间，称为中的矩阵为矩阵对角线所有元素之和，称为的迹的标准内积。称为中的函数的标准内积。欧氏空间的内积基本性质：（1）（2）（3）（4）（5）当且仅当柯西-施瓦兹（Cauchy-Schwarz）不等式中，中，线性相关时等号成立。定义2.2设V是

n维欧氏空间，2、度量矩阵称

n阶方阵是V的一个基，（其中）为基的度量矩阵或Gram矩阵。任取

n维欧氏空间V中两个元素，设在V的下的坐标分别为和，则由内积的性质得基（2.4）度量矩阵性质：性质1度量矩阵是正定的。证

设是

n维欧氏空间V的一个基，由于所以度量矩阵是实对称矩阵。，它在基下的坐标为由式（2.4）得，故度量矩阵是正定的。又对任意非零元素性质2设和是欧氏空间V的的度量矩阵为

A，基的度量矩阵为

B，又设则两个基，且基证

设得故于是，由例2.4设欧氏空间中的内积为（1）求基的度量矩阵；（2）求与的内积。解

（1）设基的度量矩阵为所以基的度量矩阵（2）在基下的坐标分别为由式（2.4）知，本节小结0102欧氏空间的概念与

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