矩阵分析 课件 1.4 线性变换

定义1.11

设与是任意两个非空集合，如果按某一规则，使对于每个，都有一个确定的元素与之对应，则称为集合到的一个映射，记为。与的对应记为，称为在映射下的像，而称为在映射下的一个原像。如果对任意，当时，有，则称是单射（或一对一的）；如果对任意

都有使得，则称是满射（或映上的）；如果既是单射又是满射，则称是双射（或一一对应的）。由集合

S到

S自身的映射称为S上的一个变换。1.4线性变换1、线性映射的概念函数是映射的一个特殊情形.例21

是全体整数的集合，是全体偶数的集合，定义

则是

到的一个映射，它是一一对应的。例22

对任意，定义，因为不同的矩阵行列式可以相等，所以不是到的单射；对于任意实数，一定存在一个对角阵使所以是到的一个满射。例23

记是数域

上的次数不超过n的多项式全体，设映射，对任意是线性映射，即多项式求导运算是线性映射。定义1.12

设是与的一个映射，如果对任意和

，都有则称是到的一个线性映射。定义1.13

线性空间到自身的线性映射称为的线性变换。即：是数域

上的线性空间，是

到自身的一个映射，如果对任意和，都有

则称是

的一个线性变换。2、线性变换的概念与性质例24

线性空间的恒等变换（或单位变换）和零变换：

都是线性变换。例25

设是数域

上的线性空间,变换即不难验证，是的一个线性变换，称此变换为倍数变换（或放大变换）。例26

由关系式

确定的变换是坐标系绕原点沿逆时针方向旋转角的旋转变换，不难验证，旋转变换是线性变换。例27

在线性空间中，求证微分的变换

是一个线性变换。例28

在线性空间中，求证积分的变换

是一个线性变换。例29

取定矩阵定义的变换

由于对任意

有可见，当时,不是线性变换；当时,是线性变换。性质(1);若

则

(3)线性相关的元素组经过线性变换后，仍保持线性相关；

若线性相关，则存在不全为零的数

使于是故也线性相关。线性变换能将线性无关的元素组变成线性相关的元素组。零变换(4)如果线性变换是一个单射（或一对一的），线性无关的元素组经过线性变换后，仍保持线性无关。若线性无关，设则有，由于是单射，从而由线性无关知，故也线性无关。(3)线性相关的元素组经过线性变换后，仍保持线性相关；

性质(1);若

则

定义1.14

设是数域上的

n维线性空间，是的一个基，是的线性变换，基的像可以唯一地由基线性表示为

称矩阵

为在基下的矩阵。3、线性变换的矩阵例定理1.7

设线性空间的线性变换

T在基下的矩阵为A，如果中元素在基下的坐标为

在基下的坐标为则证根据定理的假设，有所以定理1.7

设线性空间的线性变换

T在基下的矩阵为A，如果中元素在基下的坐标为

在基下的坐标为则证由元素坐标的唯一性，得证毕。例30

在中线性变换T将基变为求：(1)

T在基下的矩阵；(2)向量及在基下的坐标。解设T在基下的矩阵为A，即又故从而(1)

解设，即解得所以在基下的坐标为设在基下的坐标为，则

(2)

例30

在中线性变换T将基变为求：(1)

T在基下的矩阵；(2)向量及在基下的坐标。例31

设的线性变换为取的基则

T在此基下的矩阵为

如果取的基则有

T

在基下的矩阵为线性变换所对应的矩阵与所取的基有关定理1.8

设和为线性空间的两个基，且由基到基的过渡矩阵为P，中的线性变换

T在这两个基下的矩阵分别为A和B，则即同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的，且相似变换矩阵就是两个基之间的过渡矩阵。证根据定理的假设，有于是证毕。由于线性变换T在这个基下的矩阵是唯一的，故。例32

在中,线性变换为微分运算D,求D在基

下的矩阵。解取的简单基则设D在简单基下的矩阵为A,由得

设由简单基到基的过渡矩阵为P，由得，例32

在中,线性变换为微分运算D,求D在基

下的矩阵。解取的简单基则设D在简单基下的矩阵为A,由得

设由简单基到基的过渡矩阵为P，由得，所以D在此基下的矩阵为例33

设的线性变换

T把基变为基

分别求T在两个基下的矩阵。解取的简单基则有

其中

于是其中即T在基下的矩阵为P，又有

故T在基下的矩阵也是P。例33

设的线性变换

T把基变为基

分别求T在两个基下的矩阵。解由假设有，从而例34

给定的一个基及线性变换其中

求

T在基下的矩阵。解设即

解得，即为在基下的坐标。法(1)

解同理在基下的坐标分别为

于是T在基下的矩阵法(1)

例34

给定的一个基及线性变换其中

求

T在基下的矩阵。解取的简单基设由基到基的过渡矩阵为

P

则即得法(2)

例34

给定的一个基及线性变换其中

求

T在基下的矩阵。解而同理可得则T在简单基下的矩阵为

法(2)

例34

给定的一个基及线性变换其中

求

T在基下的矩阵。解而同理可得则T在简单基下的矩阵为于是T在基下的矩阵为法(2)

例34

给定的一个基及线性变换其中

求

T在基下的矩阵。例35

密码学以研究秘密通信为目的。密码法是信息编码与解码的技巧，其中的一种是使用线性变换的方法。先在不同字母与数字间建立一一对应关系，例如如要发信息“design”，使用上述代码，则明码为4,5,19,9,7,14，它可以写成向量现选取一可逆矩阵

定义线性变换则

在此变换下原明码就变成了密码31,14,13,51,21,25,收到此信息后利用逆变