专题4.5 函数的应用（二）-新高一《数学》初升高衔接考点必杀50题（人教A版2019）解析版

第第页专题4.5函数的应用（二）一、单选题1．已知定义域为的函数在上有1和3两个零点，且与都是偶函数，则函数在上的零点个数为（

）A．404 B．804 C．806 D．402【答案】A【分析】根据两个偶函数得的对称轴，由此得函数的周期，10是其一个周期，由周期性可得零点个数．【详解】因为与都为偶函数，所以，，所以图象关于，轴对称，所以为周期函数，且，所以将划分为.而共201组，所以，在中，含有零点，共2个，所以一共有404个零点.故选：A.2．已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，，所以由根的存在性定理可知：选C.考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.3．已知函数，若关于的方程有6个不同的实数根，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数解析式画出函数的图象，将方程根的个数转化成函数图象交点的个数，再利用一元二次函数根的分布即可求得参数的取值范围.【详解】由函数的解析式画出函数图象如下：若方程有6个不同的实数根，令，结合图象可知与函数的图象有三个交点，则；等价于关于的一元二次方程在上有两个不同的实数根，所以需满足，解得，即的取值范围是.故选：C4．某企业为了响应落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备．在过滤过程中，污染物含量M（单位：mg/L）与时间t（单位：h）之间的关系为（其中，k是正常数）．已知经过1h，设备可以过滤掉的污染物，则过滤掉的污染物需要的时间约为（结果精确到0.1h，参考数据：）（

）A．3.0h B．3.3h C．6.0h D．6.6h【答案】B【分析】由题意可得，进而得，利用指数与对数的关系可得，再用换底公式结合对数的运算性质求解即可.【详解】由题意可知，所以，设过滤的污染物需要的时间为，则，所以，所以.故选：B.5．已知函数，如果关于的方程有四个不同的实数解，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】A【详解】试题分析：方程的解的个数就是函数与函数的交点的个数，作出函数的图象，当时，且为减函数，当时，，在上，函数递减，在上，函数递增，原点显然是它们的一个交点，如果，则是开口向下的抛物线，与只能还有一个交点，不符题意，当然显然不符题意，在时，除原点是交点外，在一定有一个交点，那么由题意在上，两函数图象也有两交点，此时方程为，即方程有两个不同的实解，整理得，，（舍去），记，，，又的对称轴为，所以在上有两个不等实根．综上，的范围是．故选A．考点：方程根的分布，数形结合思想．【名师点睛】在很多情况下我们对于一些比较复杂的方程不能使用常规的方法去解，也不能使用求根公式，以至于无法求解，那么我们采用数形结合思想，将方程的跟转化为求函数的交点，通过作图可以很好的解答出来．本题通过图像我们可以清楚的看出k在什么范围内两个函数它们交点的个数，从而大大的简化了我们做题，提高了做题的效率．二、多选题6．已知函数和的零点分别是和，则下列结论正确的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据函数的零点、函数图象的对称性化简已知条件，结合图象、零点存在性定理、不等式的性质等知识求得正确答案.【详解】由得；由得，和的图象关于直线对称，直线和直线垂直，也即直线的图象关于对称.由解得，设.设直线与的图象交于点，①，设直线与的图象交于点，②，则，A选项正确.，而①-②得，对于函数，在上递增，，所以，所以，B选项正确.对于函数，在上递增，，所以，所以，C选项错误.，则，所以，对于和，两者分别平方得，所以.而，，D选项正确.故选：ABD【点睛】本题解题的突破口在于数形结合的思想方法，首先要注意观察题目所给已知条件间的联系，转化后画出相应函数的图象，结合图象分析对称性、零点等，从而达到解题的目标.7．设函数，若关于的方程有两个实根，则的取值为（

）A． B． C．1 D．3【答案】BD【分析】画出函数图象，结合图象即得结果.【详解】函数的图象如下，故当或时，有两个实根.故选：BD.8．（多选）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是（

）A．甲同学从家出发到乙同学家走了60minB．甲从家到公园的时间是30minC．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x【答案】BD【分析】根据图表逐项判断即可【详解】在A中，甲在公园休息的时间是10min，所以只走了50min，A错误；由题中图象知，B正确；甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得，D正确.故选：BD9．如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量与净化时间（月）的近似函数关系：的图象．以下说法正确的有（）A．每月减少的有害物质质量都相等.B．第4个月时，剩留量就会低于.C．污染物每月的衰减率为.D．当剩留时，所经过的时间分别是，则.【答案】BC【分析】由于y＝at（a＞0且a≠1）（t≥0）的图象经过点（2，），所以＝a2，从而可求得，然后根据解析式逐个分析判断即可【详解】解：∵y＝at（a＞0且a≠1）（t≥0）的图象经过点（2，），∴＝a2，∴a＝，即．故1月到2月，减少的有害物质质量为，2月到3月，减少的有害物质质量为，故每月减少的有害物质质量都相等是错误的，即A错，当t＝4时，有害物质的剩留量，故B正确，污染物每月的衰减率为，故C正确，当剩留时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则，，，则，，，则t1+t2＝t3，故D错，故选：BC．10．下列选项正确的是（

）A．若的定义域为，则的定义域为B．函数的值域为C．的值域为D．已知，若关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是【答案】ABC【分析】由求得的范围可判断A；令，原函数可转化为求二次函数的值域即可判断B；将函数变形利用基本不等式求最值可判断C；将去绝对值得分段函数，作出与的图象，数形结合求得的范围可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A：因为的定义域为，所以，解得：，所以的定义域为，故选项A正确；对于B：，可得，所以，所以函数的值域为，故选项B正确；对于C：因为，所以，所以，所以的值域为，故选项C正确；对于D：，作出函数与的图象，如图所示：由可得，所以，解得：，当直线过点时，，可得，所以若函数与的图象有三个交点，则，所以方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是，故选项D不正确；故选：ABC.三、填空题11．已知函数，函数有四个不同的零点，，，且，，则实数a的取值范围是__________.【答案】【分析】根据含有绝对值函数的图象的性质、对数函数的性质，列不等式且，解不等式即得的取值范围.【详解】函数如图所示，由于的图象关于对称，由，所以可得，又，所以，因此，故，且，解得.故答案为：.12．定义：如果在函数y＝f(x)定义域内的给定区间[a，b]上存在x0(a＜x0＜b)，满足f(x0)＝，则称函数y＝f(x)是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，如y＝x4是[－1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1,1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是________．【答案】(0,2)【分析】设x0为均值点，由已知可得：关于x0的方程＝f(x0)有实数根，整理求得：x0＝1或x0＝m－1，结合题意列不等式可得：－1＜m－1＜1，问题得解.【详解】因为函数f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1,1]上的平均值函数，设x0为均值点，所以＝m＝f(x0)，即关于x0的方程－＋mx0＋1＝m在(－1,1)内有实数根，解方程得x0＝1或x0＝m－1.所以必有－1＜m－1＜1，即0＜m＜2，所以实数m的取值范围是(0,2)．.【点睛】本题主要考查了新概念知识的理解及方程思思，还考查了转化能力及计算能力，属于难题．13．已知函数，若方程有3个实数根，则实数k的取值范围是________.【答案】【分析】将问题转化为与有3个交点，根据分段函数解析式确定的区间性质，结合函数图象判断交点情况，进而求k的范围.【详解】由题意，方程有3个实数根，即为与有3个交点，由的解析式知：当时，；当时，对称轴为且；图象如下图示：∴当且仅当时，与有3个交点，即有3个实根.故答案为：【点睛】关键点点睛：转化为函数图象的交点问题，根据分段函数的性质，应用数形结合的方法确定参数的范围.14．已知函数，若有两个零点，且在上单调递增，则实数m的取值范围为______.【答案】【分析】根据函数有两个零点得出的范围，再根据单调性求出范围，取交集可得答案.【详解】因为有两个零点，所以，解得或；因为在上单调递增，所以；综上可得实数m的取值范围为.故答案为：.15．已知函数有3个零点，则实数的取值范围是．【答案】【分析】将函数的零点转化为有一个零点，有两个零点，结合零点分布分析运算．【详解】根据题意得：有一个零点，有两个零点若有一个零点，则当时，有两个零点则可得，得故答案为：．四、解答题16．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本(元)与月处理量(吨)之间的函数关系可近似的表示为，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？【答案】(1)400吨；(2)不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.【分析】（1）由题设平均每吨二氧化碳的处理成本为，应用基本不等式求其最小值，注意等号成立条件.（2）根据获利，结合二次函数的性质判断是否获利，由其值域确定最少的补贴额度.【详解】（1）由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为；当且仅当，即时等号成立，故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元.（2）不获利，设该单位每个月获利为S元，则，因为，则，故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.17．已知函数.（1）若，判断函数的零点个数；（2）若对任意实数，函数恒有两个相异的零点，求实数的取值范围；（3）已知且，，求证：方程在区间上有实数根.【答案】⑴见解析;⑵;⑶见解析.【详解】试题分析：（1）利用判别式定二次函数的零点个数：（2）零点个数问题转化为图象交点个数问题，利用判别式处理即可；（3）方程在区间上有实数根，即有零点，结合零点存在定理可以证明.试题解析：⑴,当时，，函数有一个零点；当时，，函数有两个零点⑵已知，则对于恒成立,即恒成立；所以,从而解得.⑶设，则,在区间上有实数根，即方程在区间上有实数根.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．18．惠州市某商店销售某海鲜，经理统计了春节前后50天该海鲜的日需求量（，单位：公斤），其频率分布直方图如下图所示.该海鲜每天进货1次，每销售1公斤可获利40元；若供大于求，剩余的海鲜削价处理，削价处理的海鲜每公斤亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，调拨的海鲜销售1公斤可获利30元.假设商店该海鲜每天的进货量为14公斤，商店销售该海鲜的日利润为元.（1）求商店日利润关于日需求量的函数表达式.（2）根据频率分布直方图，①估计这50天此商店该海鲜日需求量的平均数.②假设用事件发生的频率估计概率，请估计日利润不少于620元的概率.【答案】（1）（2）①15.32公斤②0.4【解析】（1）根据条件列分段函数关系式，即得结果；（2）①根据组中值求平均数，②先根据函数关系式确定日利润不少于620元对应区间，再求对应区间概率.【详解】（1）当时当时所求函数表达式为：．（2）①由频率分布直方图得：海鲜需求量在区间的频率是；海鲜需求量在区间的频率是海鲜需求量在区间的频率是；海鲜需求量在区间的频率是；海鲜需求量在区间的频率是；这50天商店销售该海鲜日需求量的平均数为：（公斤）②当时，，由此可令，得所以估计日利润不少于620元的概率为.【点睛】本题考查函数解析式以及利用频率分布直方图求平均数和概率，考查综合分析求解能力，属中档题.19．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）.(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围.【答案】(1)4米；(2).【分析】（1）由题意得出甲工程队报价元关于左右两侧墙的长度的函数，利用均值不等式求最小值即可；（2）由题意得不等式恒成立，分离参数后，利用均值不等式求最小值即可得解.【详解】（1）因为屋子的左右两侧墙的长度均为米（），底面积为12平方米，所以屋子的前面墙的长度均为米（），设甲工程队报价为元，所以（元），因为，当且仅当，即时等号成立，所以当左右两面墙的长度为米时，甲工程队报价最低为元.（2）根据题意可知对任意的恒成立，即对任意的恒成立，所以对任意的恒成立，因为，，当且仅当，即时等号成立，所以，故当时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竟标成功.20．已知函数.(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；(2)若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)偶函数，理由见解析(2)【分析】（1）首先判断函数定义域，再利用对数运算法则得出即可判断其为偶函数；（2）将函数在区间上有两个零点转化成函数图象有两个交点的问题，画出函数图象利用数形结合即可求得实数的取值范围.【详解】（1）函数为偶函数,理由如下：由题意可得函数的定义域为，函数的定义域为，所以的定义域为，关于原点对称；易知，，所以函数为偶函数.（2）若函数在区间上有两个零点，等价于，即，令，所以函数与有两个交点，画出函数的图象如下：由图可知，当夹在和之间时，函数与有两个交点，所以，即实数的取值范围为.21．对于函数，若满足，则称为函数的一阶不动点，若满足，则称为函数的二阶不动点，（1）设，求的二阶不动点．（2）若是定义在区间上的增函数，且为函数的二阶不动点，求证：也必是函数的一阶不动点；（3）设，，若在上存在二阶不动点，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）证明见解析（3）【分析】（1）若，则，由，能求出函数的二阶不动点．（2）由题意，记，则，若，与假设相矛盾；若，与假设相矛盾；从而，由此能证明也必是函数的一阶不动点．（3）函数在上单调递增，若在，上存在二阶不动点，则在，上也必存在一阶不动点；推导出方程在，上有解，由此能出的取值范围．【详解】解：（1）若，则，由，得，解得，函数的二阶不动点为，证明：（2）是函数的二阶不动点，，记，则，若，则由在区间上为增函数，有，即，这与假设相矛盾；若，则由在区间上为增函数，有，即，这与假设相矛盾；，即，是函数的一阶不动点，命题得证；

解：（3）函数在上单调递增，则由（2）可知，若在上存在二阶不动点，则在上也必存在一阶不动点；反之，若在上存在一阶不动点，即，那么，故在上也存在二阶不动点．所以函数在上存在二阶不动点等价于在上有解，即方程在上有解，在上有解，由可得，，的取值范围是．22．某高科技公司研究开发了一种新产品，生产这种新产品的每天固定成本为元，每生产件，需另投入成本为元，每件产品售价为元（该新产品在市场上供不应求可全部卖完）．（1）写出每天利润关于每天产量的函数解析式；（2）当每天产量为多少件时，该公司在这一新产品的生产中每天所获利润最大．【答案】（1）；（2）每天产量为件时，该公司在这一新产品的生产中每天所获利润最大为.【分析】（1）根据（利润）（总售价）（总成本），将利润写成分段函数的形式；（2）计算利润的分段函数的每一段的最值，然后再进行比较求得利润最大值.【详解】（1）因为每件产品售价为元，所以件产品售价为元；当时，；当时，；所以：；（2）当时，，当时有最大值；当时，，取等号时，即时，有最大值；且，所以当每天产量为件时，该公司在这一新产品的生产中每天所获利润最大.【点睛】本题考查函数的实际应用，难度一般.求解分段函数的最值时，必须要考虑到每一段函数的最值，然