专题1.8 集合与常用逻辑用语全章综合测试卷（提高篇）（解析版）-2024-2025初升高衔接资料（新高一暑假学习提升）

第一章集合与常用逻辑用语全章综合测试卷（提高篇）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2023春·重庆北碚·高二校考阶段练习）命题：∀x∈R，A．∃x0∈C．∀x∈R，x2【解题思路】利用全称命题的否定的概念即可求解,改量词，否结论【解答过程】解：命题：∀x∈R，x2故选：B.2．（5分）（2023·全国·高一假期作业）下列说法：①集合x∈N|x3=x用列举法可表示为{－1，0，1}；②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或R；③一次函数y＝x＋2和y＝－2xA．3 B．2C．1 D．0【解题思路】对于①，通过解方程求出x的值，即可判断出结果的正误；对于②，根据集合的表示方法即可判断出结果的正误；对于③，通过联立方程，得出交点坐标，从而判断结果的正误.【解答过程】由x3=x，得x(x−1)(x+1)=0，解得x＝0或x＝1或x＝－1，又因为−1∉N，故集合{x∈N|x3集合表示中的“{}”已包含“所有”“全体”等含义，而“R”表示所有的实数组成的集合，故实数集正确表示应为{x|x为实数}或R，故②不正确．联立y=x+2y=−2x+8，解得x=2y=4，∴一次函数与y＝－2∴所求集合为(x,y)|x=2且y=4，故③不正确．故选：D.3．（5分）（2023·全国·高三对口高考）下面有四个命题：①3⊆②若a=22,B=x∈③若−a不属于N∗，则a属于N④若A=xy=其中真命题的个数为（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解题思路】根据子集概念判断①，由元素与集合关系判断②③，化简集合A,B判断④.【解答过程】①由子集概念知3⊆②因为22<2+2③当a=0时，−0∉N∗，④因为A=xy=1−故选：B.4．（5分）（2023·全国·高一假期作业）已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②p是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（

）A．①④ B．①② C．②③ D．③④【解题思路】根据条件及充分条件和必要条件的的确定p,q,r,s之间的关系，然后逐一判断命题①②③④即可.【解答过程】因为p是r的的充分不必要条件，所以p⇒r，r推不出p，因为q是r的的充分条件，所以q⇒r，因为s是r的必要条件，所以r⇒s，因为q是s的必要条件，所以s⇒q，因为q⇒r，r⇒s，所以q⇒s，又s⇒q，，所以s是q的充要条件，命题①正确，因为p⇒r，r⇒s，s⇒q，所以p⇒q，q推不出p，故p是q的充分不必要条件，②正确；因为r⇒s，s⇒q，所以r⇒q，r是q的充分条件，命题③错误；因为s⇒q，q⇒r，所以s⇒r，又r⇒s，所以r是s的充要条件，命题④错误；故选：B.5．（5分）（2023秋·江苏苏州·高一统考期末）已知f(x)=x2−1的定义域为A，集合B={x∈R∣1<ax<2}，若B⊆AA．[−2,1] B．[−1,1] C．(−∞,−2]∪[1,+∞【解题思路】先根据二次不等式求出集合A，再分类讨论集合B，根据集合间包含关系即可求解.【解答过程】f(x)=x2−1所以x2所以x≥1或x≤−1①当a=0时，B={x∈R∣1<0x<2}=∅,满足B⊆A，所以a=0符合题意；②当a>0时，B={x∈R∣1所以若B⊆A，则有1a≥1或所以0<a≤1或a≤−2（舍）③当a<B={x∈R∣2所以若B⊆A，则有1a≤−1或−1≤a<0，综上所述，a∈[−1,1]，故选：B.6．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知命题p:∀x∈R，ax2+2x+3>0的否定是真命题，那么实数aA．a<13 B．0<a≤13 C．【解题思路】由题意可知，命题：∃x∈R，ax2+2x+3≤0为真命题，分x=0、x≠0【解答过程】由题意可知，命题：∃x∈R，ax①当x=0时，则3≤0，不合乎题意；②当x≠0时，则a≤−3x2则y=−3t所以，当t=−13时，ymax综上所述，实数a的取值范围是a≤1故选：C.7．（5分）（2023·全国·高三专题练习）设集合M=x|(x−a)(x−3)=0,N=x|(x−4)(x−1)=0A．若M∪N=1,3,4，则B．若M∪N=1,3,4，则C．若M∩N=∅，则M∪N有4个元素D．若M∩N≠∅，则M∪N=【解题思路】首先解方程得到：M=3,a或M=3,N=1,4,针对a【解答过程】（1）当a=3时，M=3，M∩N=∅,M∪（2）当a=1时，M=1,3（3）当a=4时，M=3,4（4）当a≠1,3,4综上可知A，B，C，不正确，D正确故选：D.8．（5分）（2023·全国·高三专题练习）设集合S，T，S⊆N*，T⊆N*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：①对于任意x，y∈S，若x≠y，都有xy∈T②对于任意x，y∈T，若x<y，则yx∈S下列命题正确的是（

）A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素【解题思路】分别给出具体的集合S和集合T，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可.【解答过程】首先利用排除法：若取S=1,2,4，则T=2,4,8，此时S∪T=1,2,4,8若取S=2,4,8，则T=8,16,32，此时S∪T=2,4,8,16,32若取S=2,4,8,16，则T=8,16,32,64,128，此时S∪T=2,4,8,16,32,64,128下面来说明选项A的正确性：设集合S=p1,p2则p1p2<p同理p4p2∈S，p4p3若p1=1，则p2≥2，则p3又p4>p4p故S=1,p2,p若p1≥2，则p2p1又p4>p4p故S=p1,若q∈T，则qp13∈S，故即q∈p13此时S∪T=p1,故A正确.故选：A.二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2023春·湖北咸宁·高一校考开学考试）下列命题正确的是（

）A．“a>1”是“1aB．命题“∀x<1,x2<1C．设x,y∈R，则“x≥2且y≥2”是“xD．设a,b∈R，则“a≠0”是“ab≠0【解题思路】对于ACD，根据两个条件之间的推出关系可判断它们的正误，对于B，根据全称量词命题的否定形式可判断其正误.【解答过程】对于A，1a<1即为a<0或因为a>1可得推出a<0或a>1，a<0或a>1推不出a>1，故“a>1”是“1a对于B，命题“∀x<1,x2<1对于C，当x≥2且y≥2时，有x2取x=y=2，满足x2+y2故“x≥2且y≥2”是“x2对于D，取a=1≠0，b=0，此时ab=0，故ab≠0不成立，当ab≠0时，必有a≠0，故“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分条件，故D正确.故选：ABD.10．（5分）（2023春·河北承德·高三校考阶段练习）若“∀x∈M，x>x”为真命题，“∃x∈M，x>3”为假命题，则集合M可以是（A．−∞，−5 B．−3，−1 C．3，+∞ D．0，3【解题思路】根据假命题的否定为真命题可知∀x∈M，x≤3，又∀x∈M，x>x，求出命题成立的条件，求交集即可知【解答过程】∵∃x∈M，x>3为假命题,∴∀x∈M，x≤3为真命题，可得M⊆(−∞,3]，又∀x∈M，x可得M⊆(−∞,0)，所以M⊆(−∞,0)，故选：AB.11．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知集合A={x∣−1≤x≤7}，B={x∣a+2≤x≤2a−1}，若使B⊆A成立的实数a的取值集合为M，则M的一个真子集可以是（

）A．(−∞,4] B．(−∞,3] C．【解题思路】根据题意B⊆A讨论B≠∅和B≠∅情况，求得实数a的取值范围，可得集合M,即可得答案.【解答过程】由题意集合A={x∣−1≤x≤7}，B={x∣a+2≤x≤2a−1}，因为B⊆A，所以当B=∅时，a+2>2a−1，即a<3；当B≠∅时，有−1≤a+2≤2a−1≤7，解得3≤a≤4，故M=(−∞,4],则M的一个真子集可以是(−∞故选：BC.12．（5分）（2023秋·安徽蚌埠·高一统考期末）对任意A,B⊆R，定义A⊕B=xx∈A∪B,x∉A∩B.例如，若A={1,2,3},B={2,3,4}，则A⊕B={1,4}，下列命题中为真命题的是（A．若A,B⊆R且A⊕B=B，则A=∅ B．若A,B⊆R且A⊕B=∅，则A=BC．若A,B⊆R且A⊕B⊆A，则A⊆B D．若A,B⊆R，则∁【解题思路】根据定义A⊕B=xx∈A∪B,x∉A∩B，得到【解答过程】根据定义A⊕B=∁对于A：若A⊕B=B,则∁RA∩B=B,A∩∁RB=∅对于B：若A⊕B=∅,则∁RA∩B=∅,A∩∁RB=∅对于C：若A⊕B⊆A,则A⊕B⊆A,A∩∁RB对于D：左边∁RA⊕B=故选：ABD.三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2023·全国·高一假期作业）已知命题p:∀x∈R,ax2+2x+1≠0”的否定为真命题，则实数a【解题思路】问题等价于ax2+2x+1=0有解，即Δ【解答过程】已知问题等价于ax2+2x+1=0有解，即Δ=4−4a≥0a≠0故答案为：aa≤114．（5分）（2023·全国·高三专题练习）设命题p:4x−3≤1；命题q:x2−2a+1x+aa+1≤0，若¬p【解题思路】根据题意，得到q是p的必要不充分条件，进行求解即可.【解答过程】p:4x−3q:x因为¬p是¬q的必要而不充分条件，∴q是p的必要不充分条件,∴a≤∴实数a的取值范围是0≤a≤1故答案为0≤a≤115．（5分）（2023秋·北京石景山·高一统考期末）设P为非空实数集满足：对任意给定的x、y∈P（x、y可以相同），都有x+y∈P，x−y∈P，xy∈P，则称P为幸运集.①集合P={−2,−1,0,1,2}为幸运集；②集合P={x|x=2n,n∈Z}为幸运集；③若集合P1、P2为幸运集，则P1∪P其中正确结论的序号是②④.【解题思路】①取x=y=2判断；②设x=2k1∈P,y=2k2【解答过程】①当x=y=2，x+y=4∉P，所以集合P不是幸运集，故错误；②设x=2k1∈P,y=2k2③如集合P1={x|x=2k,k∈Z},P2={x|x=3k,k∈Z}为幸运集，但P④因为集合P为幸运集，则x−y∈P，当x=y时，x−y=0，一定有0∈P，故正确；故答案为：②④.16．（5分）（2023·全国·高三专题练习）设集合S,T,S⊆N·,T⊆N·,S,T中，至少有两个元素，且S,T满足：①对于任意x,y∈S，若x≠y，都有xy∈T；②对于任意x,y∈T，若x<y，则yx∈S.若【解题思路】由题可知S有4个元素，根据集合的新定义，设集合S=p1,p2,p3,p4【解答过程】解：由题可知，S⊆N·,T⊆若取S=2,4,8,16，则T=8,16,32,64,128，此时具体如下：设集合S=p1,p2则p1p2<p同理p4若p1=1，则p2≥2，则p3又p4>p4p故S=1,p2,p若p1≥2，则p2p1又p4>p4p故S=p1,若q∈T，则qp13∈S，故即q∈p13此时S∪T=p1,故答案为：7.四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2023·高一课时练习）已知集合A=x|a（1）若A中只有一个元素，求a及A；（2）若A中至多有一个元素，求a的取值范围.【解题思路】（1）分a=0和a≠0两种情况讨论，当A中只有一个元素时，求a的取值；（2）讨论集合A=ϕ或有一个元素时，a的取值范围.【解答过程】（1）当a=0时，4x+4=0，解得：x=−1，所以A中只有一个元素，即A=−1当a≠0时，Δ=16−16a=0，解得：a=1，x2+4x+4=0，解得：x=−2，此时综上可知a=0时A=−1，a=1时A=（2）当集合A=ϕ时，Δ=16−16a<0，解得：a>1由（1）可知集合A有1个元素时，a=0或a=1，综上可知：a=0或a≥1，即a∈018．（12分）（2023·高一课时练习）已知集合M=x(1)若N=xm+1≤x≤2m−1，N⊆M，求实数(2)若N=xm−6≤x≤2m−1，M⊆N，求实数【解题思路】(1)分N为空集和N不为空集两种情况分别求解，最后再求并集即可；(2)M⊆N，则M是N的子集，列出不等式组求解即可.【解答过程】（1）①若N=∅，则m+1>2m−1，即m<2，此时N⊆M；②若N≠∅，则m+1≤2m−1−2≤m+12m−1≤5，解得综合①②，得实数m的取值范围是mm≤3（2）（2）若M⊆N，则m−6≤−22m−1≥5，解得3≤m≤4所以实数m的取值范围是m3≤m≤419．（12分）（2022秋·吉林四平·高三校考阶段练习）已知命题p：“实数a满足xm≤x≤m+1⊂x1≤x≤a”，命题q：“(1)已知m=1，p为假命题，q为真命题，求实数a的取值范围；(2)若p是¬q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【解题思路】（1）将m=1代入，化简p、q，然后根据p为假命题，q为真命题，列出不等式，即可得到结果.（2）先根据条件化简p、q得到¬q，然后根据p是¬q的充分不必要条件，列出不等式，即可得到结果.【解答过程】（1）当m=1时，由{x|1≤x≤2}⊂{x|1≤x≤a}，得a>2，即：若p为真命题，则a>2；若q为真命题，即ax则当a=0时，3≥0满足题意；当a≠0时，a>0Δ=a故0≤a≤12．故若p为假命题，q为真命题，则a≤20≤a≤12，解得0≤a≤2即实数a的取值范围为0,2．（2）对于p，m≥1且m+1≤a对于q，0≤a≤12，则¬q：a<0或a>12．因为p是¬q的充分不必要条件，所以m+1>12，解得m>11．故m的取值范围是mm>1120．（12分）（2023秋·广东揭阳·高一校考期中）已知集合A=x∈N13<x<4，B=xax−1≥0.请从①(1)当a=12时，求(2)若______，求实数a的取值范围.【解题思路】(1)取a=12化简B，化简A，再根据交集的定义求(2)若选①，由A∪B=B可得A⊆B，讨论a的正负，由条件列不等式求a的取值范围；若选②，讨论a的正负，化简集合B，结合条件A∩B=∅列不等式求a的取值范围；若选③，讨论a的正负，化简集合B，结合条件A∩∁RB【解答过程】（1）由题意得，A=x∈N当a=12时，∴A∩B=2,3（2）选择①.∵A∪B=B，∴A⊆B，当a=0时，B=∅，不满足A⊆B，舍去；当a>0时，B=xx≥1a，要使A⊆B，则当a<0时，B=xx≤1a，此时综上，实数a的取值范围为1,+∞选择②.当a=0时，B=∅，满足A∩B=∅；当a>0时，B=xx≥1a，要使A∩B=∅，则当a<0时，B=xx≤1a，此时综上，实数a的取值范围为−∞选择③.当a=0时，B=∅，∁RB=R当a>0时，B=xx≥1a，∁RB=x当a<0时，B=xx≤1a，∁R综上，实数a的取值范围为−∞21．（12分）（2023秋·湖北襄阳·高一统考期末）已知集合A=x∣a−1≤x≤2a+1,B=x∣−2≤x≤4.在①A∪B=B；②“x∈A”是“x∈B(1)当a=3时，求∁R(2)若______，求实数a的取值范围.【解题思路】（1）利用集合的交并补运算即可得解；（2）选①③，利用集合的基本运算，结合数轴法即可得解；选②，由充分不必要条件推得集合的包含关系，再结合数轴法即可得解.【解答过程】（1）当a=3时，A=x∣2≤x≤7，而B=所以A∩B=x∣2≤x≤4，则∁RA∩B（2）选①：因为A∪B=B，所以A⊆B，当A=∅时，则a−1>2a+1，即a<−2，满足A⊆B，则a<−2；当A≠∅时，a≥−2，由A⊆B得a−1≥−22a+1≤4，解得−1≤a≤综上：a<−2或−1≤a≤32，即实数a的取值范围为选②：因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A是B的真子集，当A=∅时，则a−1>2a+1，即a<−2，满足题意，则a<−2；当A≠∅时，a≥−2，则a−1≥−22a+1≤4，且不能同时取等号，解得−1≤a≤综上：a<−2或−1≤a≤32，即实数a的取值范围为选③：因为A∩B=∅，所以当A=∅时，则a−1>2a+1，即a<−2，满足A∩B=∅，则a<−2；当A≠∅时，a≥−2，由A∩B=∅得2