预备知识12 函数的奇偶性（原卷版）-2024-2025初升高衔接资料（新高一暑假学习提升）

专题12预备知识十二：函数的奇偶性1、了解函数奇偶性的定义2、掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3、会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题知识点一：函数的奇偶性1、定义：1.1偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数.1.2奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数.2、函数奇偶性的判断2.1定义法：（1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称.（2）求，根据与的关系，判断的奇偶性：①若是奇函数②若是偶函数③若既是奇函数又是偶函数④若既不是奇函数也不是偶函数2.2图象法：（1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称.（2）若的图象关于轴对称是偶函数（3）若的图象关于原点对称是奇函数2.3性质法：，在它们的公共定义域上有下面的结论：偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数奇函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数知识点二：奇函数，偶函数的性质1、奇函数，偶函数的图象特征设函数的定义域为（1）是偶函数的图象关于轴对称；（2）是奇函数的图象关于原点对称；（3）若是奇函数且，则2、函数的奇偶性与单调性的关系（1）是偶函数在关于原点对称区间上具有相反的单调性；（2）是奇函数在关于原点对称区间上具有相同的单调性；3、函数的奇偶性与函数值及最值的关系设函数的定义域为（其中）（1）是偶函数，且在上单调，则在上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同；（2）是奇函数，且在上单调，则在上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数；知识点三：对称性1、轴对称：设函数的定义域为，且是的对称轴，则有：①；②③2、点对称设函数的定义域为，且是的对称中心，则有：①；②③3、拓展：①若，则关于对称；②若，则关于对称；对点特训一：判断函数的奇偶性典型例题例题1．（23-24高一·全国·课堂例题）判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)；(3)．例题2．（23-24高一·全国·课堂例题）判定下列函数是否为偶函数或奇函数：(1)；(2)；(3)；(4).精练1．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)；(3)；2．（2024高一·全国·专题练习）判断下列函数是否具有奇偶性：(1)；(2)；(3)；(4)对点特训二：根据函数的奇偶性求值典型例题例题1．（2024·山东泰安·三模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4例题2．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，则等于.精练1．（23-24高一上·四川雅安·阶段练习）已知是偶函数，当时，，则（

）A． B． C．7 D．52．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知是奇函数，当时，，则.对点特训三：根据函数的奇偶性求解析式典型例题例题1．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则时的解析式为（

）A． B．C． D．例题2．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，的解析式为（

）A． B． C． D．精练1．（23-24高一上·重庆璧山·阶段练习）已知函数在上为偶函数，且当时，，则当时，的解析式是（

）A． B．C． D．2．（2024高一·全国·专题练习）已知为偶函数,当时，，当时，求解析式.对点特训四：根据函数的奇偶性求参数典型例题例题1．（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，则（

）A．4 B．6 C．8 D．0例题2．（2024·四川内江·三模）若函数是奇函数，则.例题3．（23-24高一上·陕西商洛·期末）已知函数是偶函数，则．精练1．（23-24高一上·上海嘉定·期末）函数为偶函数，则实数.2．（23-24高一上·云南保山·期中）已知函数是偶函数，其定义域为，则3．（23-24高一上·广东惠州·期中）已知函数是偶函数，则实数.对点特训五：根据函数的奇偶性解不等式典型例题例题1．（23-24高一上·河南周口·阶段练习）设是定义在上的偶函数，且在内是增函数，又，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．例题2．（23-24高一上·陕西商洛·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，在上单调递增，，那么的解集是（

）A． B． C． D．例题3．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知定义域为的偶函数在区间上严格减，且，则不等式的解集为.精练1．（23-24高一上·河北张家口·期中）已知偶函数在区间上单调递增，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．2．（23-24高三上·安徽滁州·阶段练习）函数是R上的偶函数，且在上是增函数，若，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．或3．（23-24高一上·广东东莞·期中）已知，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．对点特训六：通过构造奇函数求值典型例题例题1．（2024高一·全国·专题练习）已知函数，且，则例题2．（23-24高一上·北京·期中）已知函数，且，则．精练1．（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）已知函数，若，则.2．（23-24高一上·广东·期末）已知函数，若，则.1．（2024·北京朝阳·二模）下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（

）A． B．C． D．2．（23-24高一上·北京·期中）如果奇函数在上是减函数且最小值是4，那么在上是（

）A．减函数且最小值是－4 B．减函数且最大值是－4C．增函数且最小值是－4 D．增函数且最大值是－43．（23-24高一上·广东·期末）下列函数是奇函数的是（

）A． B．C． D．4．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（

）A． B．2 C．3 D．5．（23-24高一上·广东韶关·期中）如果函数是奇函数，那么（）A． B．C． D．6．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，且，则（

）A． B． C． D．7．（23-24高一上·北京·期中）已知奇函数的定义域为，且在上单调递减．若，则的解集为（

）A． B．C． D．8．（23-24高一下·广西南宁·开学考试）若函数是定义在上的偶函数，则（

）A． B． C．3 D．2二、多选题9．（2024·广东茂名·二模）已知函数为上的奇函数，且在R上单调递增.若，则实数的取值可以是（

）A． B．0 C．1 D．2三、填空题10．（2024·河南三门峡·模拟预测）已知函数是定义在上的奇