2024年湖南省长沙市开福区立信中学中考数学二模试卷

第1页（共1页）2024年湖南省长沙市开福区立信中学中考数学二模试卷一、选择题（每小题3分，共30分，每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）1．（3分）﹣2的绝对值是（）A．﹣2 B．2 C．±2 D．﹣2．（3分）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（）A． B． C． D．3．（3分）下列说法错误的是（）A．必然事件发生的概率是1 B．通过大量重复试验，可以用频率估计概率 C．概率很小的事件不可能发生 D．投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得4．（3分）下列运算正确的是（）A．2m+3m＝5m2 B．m2•m3＝m6 C．（m+7）2＝m2+49 D．（m﹣3n）（m+3n）＝m2﹣9n25．（3分）点P（2，﹣5）关于原点对称点的坐标是（）A．（﹣5，﹣2） B．（2，5） C．（﹣2，5） D．（﹣5，2）6．（3分）一把直尺和一块三角板ABC（其中∠B＝30°，∠C＝90°）摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D，另一边与三角板的两直角边分别交于点F，点A，那么∠BAF的大小为（）A．20° B．40° C．45° D．50°7．（3分）费尔兹奖是国际上享有崇高声誉的一个数学奖项，每四年评选一次，主要授予年轻的数学家．下面数据是部分获奖者获奖时的年龄（单位：岁），32，33，35，40（）A．35，35 B．34，33 C．34，35 D．35，348．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，BC，AD，则∠ADC的度数为（）A．55° B．45° C．35° D．25°9．（3分）《孙子算经》中有个问题：若三人共车，余两车空；若两人共车，则空余两辆车；若两个人乘一辆车，则根据题意可列出方程为（）A．3（x+2）＝2x﹣9 B．3（x+2）＝2x+9 C．3（x﹣2）＝2x﹣9 D．3（x﹣2）＝2x+910．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BA上分别截取BE，BD，分别以D，E为圆心DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F，若AC＝9，AG＝5，则GP的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是．12．（3分）分式方程＝的解是．13．（3分）已知a，b是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的两根，则a+b＝．14．（3分）如图，⊙O的半径为13，弦AB的长为24，垂足为N，则ON的长为．15．（3分）为了解某区九年级3200名学生中观看2022北京冬奥会开幕式的情况，随机调查了其中200名学生，结果有150名学生全程观看了开幕式．16．（3分）高速公路某收费站出城方向有编号为A，B，C，D，E的五个小客车收费出口，假定各收费出口每20分钟通过小客车的数量是不变的．同时开放其中的某两个收费出口收费出口编号A，BB，CC，DD，EE，A通过小客车数量（辆）260330300360240在A，B，C，D，E五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（6分）计算：．18．（6分）解不等式组：．19．（6分）如图，某楼房AB顶部有一根天线BE，为了测量天线的高度，D，A，在点C处测得天线顶端E的仰角为60°，从点C走到点D，从点D测得天线底端B的仰角为45°，已知A，B，AB＝25米．（1）求A与C之间的距离；（2）求天线BE的高度．（参考数据：≈1.73，结果保留整数）20．（6分）为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格）根据图中所给信息解答下列问题：（1）这次抽样调查共抽取人，条形统计图中的m＝；（2）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等所在扇形圆心角的度数；（3）学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法21．（9分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DF⊥AC于点F，且∠BDE＝∠CDF，（1）求证：AD平分∠BAC．（2）若AB＝5，AD＝4，求△ABC的面积．22．（9分）我校九年级学生准备观看电影《长津湖》．由各班班长负责买票，每班人数都多于40人，票价每张30元，售票员说：40人以上的团体票有两种优惠方案可选：方案一：全体人员打8折；方案二：打9折，有5人可以免票．（1）若一班有50人，则方案一需付元钱，方案二需付款元钱；（2）一班班长思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，你知道一班有多少人吗？23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，连接BE．（1）求证：∠DAC＝∠E；（2）若，BE＝10，求线段AD的长．24．（10分）如图，在菱形ABCD中，点E是BC边上一动点（且与点B、C不重合）（1）若AE⊥BC，∠BAE＝18°，求∠BGE的度数；（2）若AG＝BG，求证BE2﹣GE2＝AG•GE；（3）过点G作GM//BC交AB于点M，记．S△AMG为S1，S四边形DGEC为S2，BC＝xBE，①求证：；②求y与x之间的函数关系式．25．（10分）对于抛物线，我们发现其图象上任意一点到点（0，a）的距离和到直线y＝﹣a的距离总是相等（0，a）为抛物线的焦点，直线y＝﹣a为抛物线的准线．例如：如图1，，其焦点为A（0，a），准线为直线y＝﹣a（x，y）到准线的距离为PH，则，＝，即PA＝PH，PA＝PH也成立．利用焦点和准线的性质解决下列问题：（1）请直接写出抛物线的焦点和准线；（2）如图2，已知抛物线的焦点为C，过焦点C的直线与抛物线交于A，B两点；（3）已知抛物线，焦点为F，点E为对称轴右侧的抛物线上一点，①求p的值；②过焦点F的直线与该抛物线交于M，N两点，P为抛物线准线上一点，求直线MN的解析式．

2024年湖南省长沙市开福区立信中学中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分，每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）1．（3分）﹣2的绝对值是（）A．﹣2 B．2 C．±2 D．﹣【解答】解：﹣2的绝对值是2．故选：B．2．（3分）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（）A． B． C． D．【解答】解：这个组合体的左视图为：故选：B．3．（3分）下列说法错误的是（）A．必然事件发生的概率是1 B．通过大量重复试验，可以用频率估计概率 C．概率很小的事件不可能发生 D．投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得【解答】解：A、必然事件发生的概率是1；B、通过大量重复试验，正确；C、概率很小的事件也有可能发生；D、投一枚图钉，应该用频率估计概率，故选：C．4．（3分）下列运算正确的是（）A．2m+3m＝5m2 B．m2•m3＝m6 C．（m+7）2＝m2+49 D．（m﹣3n）（m+3n）＝m2﹣9n2【解答】解：A、2m+3m＝7m；B、m2•m3＝m3，故B不符合题意；C、（m+7）2＝m4+14m+49，故C不符合题意；D、（m﹣3n）（m+3n）＝m5﹣9n2，故D符合题意；故选：D．5．（3分）点P（2，﹣5）关于原点对称点的坐标是（）A．（﹣5，﹣2） B．（2，5） C．（﹣2，5） D．（﹣5，2）【解答】解：根据中心对称的性质，可知：点P（2，5）．故选：C．6．（3分）一把直尺和一块三角板ABC（其中∠B＝30°，∠C＝90°）摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D，另一边与三角板的两直角边分别交于点F，点A，那么∠BAF的大小为（）A．20° B．40° C．45° D．50°【解答】解：由图可得，∠CDE＝50°，∴∠CED＝40°，又∵DE∥AF，∴∠CAF＝40°，∵∠BAC＝60°，∴∠BAF＝60°﹣40°＝20°，故选：A．7．（3分）费尔兹奖是国际上享有崇高声誉的一个数学奖项，每四年评选一次，主要授予年轻的数学家．下面数据是部分获奖者获奖时的年龄（单位：岁），32，33，35，40（）A．35，35 B．34，33 C．34，35 D．35，34【解答】解：∵35出现的次数最多，∴这组数据的众数是35，把这些数从小到大排列，排在中间的两个数分别为33，故中位数为，故选：D．8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，BC，AD，则∠ADC的度数为（）A．55° B．45° C．35° D．25°【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠CAB＝55°，∴∠B＝35°，∴∠ADC＝∠B＝35°．故选：C．9．（3分）《孙子算经》中有个问题：若三人共车，余两车空；若两人共车，则空余两辆车；若两个人乘一辆车，则根据题意可列出方程为（）A．3（x+2）＝2x﹣9 B．3（x+2）＝2x+9 C．3（x﹣2）＝2x﹣9 D．3（x﹣2）＝2x+9【解答】解：设有x辆车，则可列方程：3（x﹣2）＝2x+9．故选：D．10．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BA上分别截取BE，BD，分别以D，E为圆心DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F，若AC＝9，AG＝5，则GP的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：由作法得BG平分∠ABC，∵GP⊥BA，∠C＝90°，∴GP＝GC＝AC﹣AG＝9﹣5＝8，故选：C．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是x≥3．【解答】解：根据题意，得x﹣3≥0，解得，x≥6；故答案为：x≥3．12．（3分）分式方程＝的解是x＝3．【解答】解：＝，3（x+8）＝4x，解得：x＝3，检验：当x＝2时，2x（x+1）≠2，∴x＝3是原方程的根，故答案为：x＝3．13．（3分）已知a，b是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的两根，则a+b＝4．【解答】解：根据根与系数的关系得a+b＝4．故答案为：4．14．（3分）如图，⊙O的半径为13，弦AB的长为24，垂足为N，则ON的长为5．【解答】解：∵ON⊥AB，∴AN＝BN＝AB，∵AB＝24，∴AN＝BN＝12，在Rt△OAN中，ON5+AN2＝OA2，∴ON＝＝5，故答案为：415．（3分）为了解某区九年级3200名学生中观看2022北京冬奥会开幕式的情况，随机调查了其中200名学生，结果有150名学生全程观看了开幕式2400人．【解答】解：估计该区全程观看冬奥会开幕式的九年级学生人数约为3200×＝2400（人），故答案为：2400人．16．（3分）高速公路某收费站出城方向有编号为A，B，C，D，E的五个小客车收费出口，假定各收费出口每20分钟通过小客车的数量是不变的．同时开放其中的某两个收费出口收费出口编号A，BB，CC，DD，EE，A通过小客车数量（辆）260330300360240在A，B，C，D，E五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是B．【解答】解：∵330﹣260＝70，330﹣300＝30，360﹣240＝120，∴C＞A，B＞D，D＞A，由B＞D和D＞A得B＞A，由E＞C和B＞E得B＞C，∴每20分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是B，故答案为：B．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（6分）计算：．【解答】解：＝＝＝4．18．（6分）解不等式组：．【解答】解：，解不等式①得：x＜5，解不等式②得：x＞﹣3，∴原不等式组的解集为：﹣1＜x＜5．19．（6分）如图，某楼房AB顶部有一根天线BE，为了测量天线的高度，D，A，在点C处测得天线顶端E的仰角为60°，从点C走到点D，从点D测得天线底端B的仰角为45°，已知A，B，AB＝25米．（1）求A与C之间的距离；（2）求天线BE的高度．（参考数据：≈1.73，结果保留整数）【解答】解：（1）由题意得，在Rt△ABD中，∴AD＝AB＝25米，∵CD＝5米，∴AC＝AD+CD＝25+5＝30（米），即A与C之间的距离是30米；（2）在Rt△ACE中．∠ACE＝60°，∴AE＝30•tan60°＝30（米），∵AB＝25米，∴BE＝AE﹣AB＝（30﹣25）米，∵2.73，∴BE≈1.73×30﹣25＝27米．即天线BE的高度为27米．20．（6分）为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格）根据图中所给信息解答下列问题：（1）这次抽样调查共抽取50人，条形统计图中的m＝7；（2）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等所在扇形圆心角的度数；（3）学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法【解答】解：（1）由统计图可得，这次抽样调查共抽取：16÷32%＝50（人），故答案为：50，7．（2）由（1）知，m＝7，补充完整的条形统计图如图所示，C等所在扇形圆心角的度数为：．（3）树状图如下所示：由上可得，一共存在12种等可能性，∴抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率为．21．（9分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DF⊥AC于点F，且∠BDE＝∠CDF，（1）求证：AD平分∠BAC．（2）若AB＝5，AD＝4，求△ABC的面积．【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°，∵D是BC的中点，∴BD＝CD，在△BED和△CFD中，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE＝DF，∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，∴AD平分∠BAC．（2）解：∵△BED≌△CFD，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∵D是BC中点，∴AD⊥BC，∴BD＝＝＝3，∴BC＝2BD＝2，∴△ABC的面积＝BC•AD＝．22．（9分）我校九年级学生准备观看电影《长津湖》．由各班班长负责买票，每班人数都多于40人，票价每张30元，售票员说：40人以上的团体票有两种优惠方案可选：方案一：全体人员打8折；方案二：打9折，有5人可以免票．（1）若一班有50人，则方案一需付1200元钱，方案二需付款1215元钱；（2）一班班长思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，你知道一班有多少人吗？【解答】解：（1）由方案一：全体人员可打8折，得方案一需付费30×80%×50＝1200（元），由方案二：若打9折，有7人可以免票，得方案二需付费30×90%×（50﹣5）＝1215（元），故答案为：1200；1215；（2）设一班共有x人，依题意得，30×80%x＝30×90%×（x﹣5），解得x＝45，答：一班共有45人．23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，连接BE．（1）求证：∠DAC＝∠E；（2）若，BE＝10，求线段AD的长．【解答】（1）证明：连接OC，∵PD切圆于C，∴半径OC⊥PD，∵AD⊥PD，∴OC∥AD，∴∠DAC＝∠OCA，∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OAC，∵∠BEC＝∠OAC，∴∠DAC＝∠BEC；（2）解：连接AE，∵弦CE平分∠ACB，∴＝，∴AE＝BE，∵AB是圆的直径，∴∠AEB＝∠ACB＝90°，∴△AEB是等腰直角三角形，∴AB＝BE＝10，∵tan∠ABC＝＝，∴令BC＝3x，AC＝2x，∵AB＝＝4x＝10，∴x＝2，∴AC＝4x＝8，∵∠DAC＝∠CAB，∴cos∠DAC＝cos∠CAB，∴＝，∴＝，∴AD＝．24．（10分）如图，在菱形ABCD中，点E是BC边上一动点（且与点B、C不重合）（1）若AE⊥BC，∠BAE＝18°，求∠BGE的度数；（2）若AG＝BG，求证BE2﹣GE2＝AG•GE；（3）过点G作GM//BC交AB于点M，记．S△AMG为S1，S四边形DGEC为S2，BC＝xBE，①求证：；②求y与x之间的函数关系式．【解答】（1）解：根据题意可得∠AEB＝90°，∠BAE＝18°，∴∠ABE＝90°﹣18°＝72°，∵四边形ABCD是菱形，∴，∴∠BGE＝∠ABG+∠BAG＝18°+36°＝54°．（2）证明：∵AG＝BG，∴∠ABG＝∠BAG，∵∠GBE＝∠ABG，∴∠GBE＝∠BAG，又∵∠AEB＝∠GEB，∴△AEB∽△BEG，∴，∴BE2＝AE•GE，∴BE4＝（AG+GE）GE，∴BE2﹣GE2＝AG•GE．（3）①证明：∵GM∥BC，BC∥AD，∴MG∥AD，∴△BMG∽△BAD，△AMG∽△ABE，∴，，两式相加得，即，∴．②解：∵BC＝xBE，AD∥BC，∴，△ADG∽△EBG，∴，∴S△AGD＝xS△ABG，∴S△ABD＝S△ABG+xS△ABG＝（x+6）S△ABG，∵四边形ABCD是菱形，∴△ABD≌△BCD（SSS），∴S△BDC＝（x+1）S△ABG，∵MG∥BE，∠MBG＝∠GBE，∴△AMG∽△ABE，∠MBG＝∠GBE＝∠MGB，∴MG＝MB，∴，∴，∴，∴S1＝，，∵S△BDC＝（x+1）S△ABG，∴，∴，∴．2