用空间向量研究直线、平面的位置关系课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系

点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.

为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面.

本节我们进一步运用空间向量研究立体几何中有关直线、平面的位置关系和度量问题.

1.基点：在空间中我们取一定点O作为基点.2.向量表示：空间中任意一点P的位置可以用

来表示.3.点的位置向量：

为点P的位置向量.AalPB

追问：直线的方向向量是不是唯一的？OAalPB

①式和②式都称为空间直线的向量表达式.由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取AB＝a，取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OP＝OA＋ta．

①OP＝OA＋tAB．

②bP

AaAP=xa+yb

问题3：一个定点和两个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？

问题4：如何确定点P在平面ABC内？ACBaObPp

BαACPOab

l

aA

直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则a

叫做平面α的法向量．

过空间点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以用集合表示为

．{P|a·AP=0}

答案：1、(1)×

(2)√

(3)√

(4)√练习

3.已知向量n=(2,-3,1)是平面α的一个法向量，下列向量中能作为平面α的法向量的是( )A.n1=(0,-3,1) B.n2=(2,0,1)C.n3=(-2,-3,1) D.n4=(-2,3,-1)D

（1）求直线CD的方向向量；解：(1)D(0,0,0),C(0,4,0)

，直线CD的方向向量是

利用待定系数法求法向量的步骤设向量设平面法向量n=(x,y,z)列方程组选向量在平面内选取两个不共线向量AB,AC取x,y,z中一个为非零值(常取±1)赋值结论得到平面的一个法向量n·AB=0n·AC=0列出等式

练习5.已知四棱锥S-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=90°,AD∥BC,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,试建立恰当的空间直角坐标系,并求出平面SAB、平面SDC的一个法向量.

问题6：

我们已知直线的方向向量与平面的法向量是确定空间中的直线与平面的关键量，那么能否用这些向量来刻画空间直线、平面的平行、垂直关系呢？u1u2l1l2nuln2n1线线平行线面平行面面平行空间向量与平行关系u1u2l1l2nuln2n1练习-6-5-46.已知直线l1的方向向量为v1=(1,2,3)，直线l2的方向向量为v2=(λ,4,6)，若l1//l2，则λ=（

）A.1 B.2 C.3 D.47.已知平面α的一个法向量是(2,-1,1)，α//β，下列向量可作为平面β的一个法向量的是（

）A.(4,2,-2)

B.(2,0,4)

C.(2,-1,-5)

D.(4,-2,2)练习

8.若u=(1,2,-1),v=(-3,-6,3)分别为两个不同平面α、β的一个法向量，则（

）A.α//β

B.α⊥β

C.α，β相交但不垂直

D.以上均不正确

例2：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别为CC1和B1C1的中点.求证：MN//平面A1BDABCDA1D1C1B1MN

u1u2l1l2nn2n1ul空间向量与垂直关系例5：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G分别为CC1的中点.求证：A1O⊥平面GBDABCDA1D1C1B1OG9、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C中点．求证：MN⊥平面A1BD．练习

例7：如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,E分别为BB1的中点.求证：平面AEC1⊥平面AA1C1CABCA1C1B1E10、在四棱锥��−𝐵𝐶𝐷中，底面𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，𝐴𝑆⊥底面𝐴𝐵𝐶𝐷，且𝐴𝑆=𝐴𝐵，𝐸是𝑆𝐶的中点.求证：平面𝐵𝐷𝐸⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷.

练习10、如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的值为 ()A．1∶2B．1∶1C．3∶1D．2∶1B11、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，试在棱CC1上求一点P，使得平面A1B1P⊥平面C