频率的稳定性课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第十章

概

率10.3频率与概率

10.3.1频率的稳定性一二三学习目标理解频率稳定性的意义掌握频率与概率的区别与联系了解随机数的定义，与产生随机数的方法以及它的读数学习目标

对于样本点等可能的实验，我们可以用古典概型公式计算有关事件的概率.但在现实中，很多试验的样本点往往是等可能的或者是否等可能不容易判断.例如，抛掷一枚质地不均匀的骰子，或者投掷一枚图钉，此时无法通过古典概型公式计算有关事件的概率，我们需要寻求新的求概率的方法.

我们知道，事件的概率越大，意味着事件发生的可能性越大，在重复试验中，相应的频率一般也越大；事件的概率越小，则事件发生的可能性越小，在重复试验中，相应的频率一般也越小.在初中，我们利用频率与概率的这种关系，通过大量重复试验，用频率去估计概率.

那么，在重复试验中，频率的大小是否就决定了概率的大小呢？频率与概率之间到底是一种怎样的关系呢？复习引入探究

重复做同时抛掷两枚质地均匀的硬币的试验，设事件A=“一个正面朝上，一个反面朝上”，你能计算事件A发生的概率吗？

新知探究动手

下面我们分步实施试验，考察随着试验次数的增加，事件A的频率的变化情况，以及频率与概率的关系.第一步：每人重复做25次试验，记录事件A发生的次数，计算频率；第二步：每4名同学为一组，相互比较试验结果；第三步：各组统计事件A发生的次数，计算事件A发生的频率，并利用右表进行统计。小组序号试验总次数事件A发生的次数事件A发生的频率1100210031004567合计新知探究问题1

比较在自己试验25次、小组试验100次和全班试验总次数的情况下，事件A发生的频率。（1）各小组的试验结果一样吗？为什么会出现这样的情况？（2）随着试验次数的增加，事件A发生的频率有什么变化规律？利用计算机模拟抛掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20，100，500时各做5组试验，得到事件A发生的频数nA和频率fn(A)如右表所示：序号n=20n=100n=500频数频率频数频率频数频率1120.6560.562610.522290.45500.502410.4823130.65480.482500.5470.35550.552580.5165120.6520.522530.506新知探究用折线图表示频率的波动情况序号n=20n=100n=500频数频率频数频率频数频率1120.6560.562610.522290.45500.502410.4823130.65480.482500.5470.35550.552580.5165120.6520.522530.506我们发现：

(1)试验次数n相同，但频率fn(A)可能不同，这说明随机事件发生的频率具有随机性。

(2)从整体来看，频率在概率0.5附近波动。

当试验次数较少时，波动幅度较大；当试验次数较大时，波动幅度较小。

但试验次数多的波动幅度并不全部比次数少的小，只是波动幅度小的可能性大。新知探究大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性。一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)。我们称频率的这个性质为频率的稳定性。因此，我们可以用频率fn(A)来估计概率P(A)。

雅各布第一•伯努利(1654-1705)瑞士数学家，被公认为概率理论的先驱，他給出了著名的大数定律.大数定律阐述了随着试验次数的增加，频率稳定在概率附近.新知讲解抛掷次数（n)20484040120002400030000正面朝上次数(m)1061204860191201214984频率(m/n)0.5180.5060.5010.50050.4996历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复实验，结果如下表所示抛掷次数n频率m/n0.512048404012000240003000072088德

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尼知识链接

事件的概率概念生成问题2事件A发生的频率fn(A)是不是不变的？事件A发生的概率P(A)是不是不变的？它们之间有什么区别和联系？(1)频率是一个变量，随着试验次数的变化而变化；(2)概率是一个确定的数，客观存在的，与试验次数无关.频率是概率的近似值（实验值），会随试验次数的增加逐渐稳定；联系:区别：概率是频率理论上的稳定值，在实际中可用频率估计概率.新知探究对概率的正确理解：(1)概率是事件的本质属性，不随试验次数的变化而变化，概率反映了事件发生的可能性的大小，但概率只提供了一种“可能性”，而不是试验总次数中某一事件一定发生的比例．(2)任何事件的概率都是区间[0,1]上的一个确定数，它度量该事件发生的可能性，概率越接近于1，表明事件发生的可能性就越大；反过来，概率越接近于0，表明事件发生的可能性就越小．(3)小概率(概率接近于0)事件很少发生，但不代表一定不发生；大概率(概率接近于1)事件经常发生，但不代表一定发生．(4)必然事件Ω的概率为1,即P(Ω)＝1；不可能事件

的概率为0,即P(

)＝0.新知讲解例1

新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数.

通过抽样调查得知，我国2014年、2015年新出生的婴儿性别比分别为115.88和113.51．(1)分别估计我国2014年和2015年男婴的出生率(新生儿中男婴的比率,精确到0.001);(2)根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗？(2)由于调查新生儿人数的样本非常大，根据频率的稳定性，上述对男婴出生率的估计具有较高的可信度．因此，我们有理由怀疑“生男孩和生女孩是等可能的”的结论．

要得到生男孩和生女孩是否等可能的科学判断，还需要用统计学中假设检验的方法进行检验．由此估计，2014年男婴出生率约为0.537，2015年男婴出生率约为0.532.解：(1)2014年男婴出生频率为0.5372015年男婴出生频率为0.532典例解析

归纳小结典例解析例2

一个游戏包含两个随机事件A和B，规定事件A发生则甲获胜，事件B发生则乙获胜.判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等.

在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到1000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次.

据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的.你更支持谁的结论?为什么?解：当游戏玩了10次时，甲、乙获胜的频率都为0.5；

当游戏玩了1000次时，甲获胜的频率为0.3，乙获胜的频率为0.7.根据频率的稳定性，随着试验次数的增加,频率偏离概率很大的可能性会越来越小.

相对10次游戏,1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大，因此我们更愿意相信1000次时的频率离概率更近.

而游戏玩到1000次时，甲、乙获胜的频率分别是0.3和0.7，存在很大差距,所以有理由认为游戏是不公平的.因此，应该支持甲对游戏公平性的判断.

游戏公平性的标准及判断方法

(1)标准：游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同.若相同，则规则公平，否则就是不公平.(2)判断方法：具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较.归纳小结

降水的概率是气象专家根据气象条件和经验，经分析推断得到的．对“降水的概率为90%”比较合理的解释是：大量观察发现，在类似的气象条件下，大约有90%的天数要下雨．

只有根据气象预报的长期记录，才能评价预报的准确性．如果在类似气象条件下预报要下雨的那些天(天数较多)里，大约有90%确实下雨了，那么应该认为预报是准确的；如果真实下雨的天数所占的比例与90%差别较大，那么就可以认为预报不太准确．问题3

气象工作者有时用概率预报天气，如某气象台预报“明天的降水概率是90%，如果您明天要出门，最好携带雨具”，如果第二天没有下雨，我们或许会抱怨气象台预报得不准确．那么如何理解“降水率是90%”？又该如何评价预报得结果是否准确呢？新知探究巩固练习课本P2571.判断下列说法是否正确，并说明理由:

(1)抛掷一枚硬币正面朝上的概率为0.5，则抛掷两枚硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上;

(2)抛掷一枚质地均匀的硬币10次，结果是4次正面朝上，所以事件“正面朝上”的概率为0.4;

(3)当试验次数很大时，随机事件发生的频率接近其概率;

(4)在一次试验中，随机事件可能发生也可能不发生，所以事件发生和不发生的概率各是0.5.解:(1)不正确.抛掷两枚硬币,样本空间Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)},所以抛掷两枚硬币,不一定是一次正面朝上,一次反面朝上.(2)不正确.不能说概率为0.4,只能说正面朝上的频率为0.4.(3)正确.(4)不正确.一次试验,只能说事件发生和不发生的频率各是0.5.巩固练习课本P2572.用掷两枚硬币做胜负游戏,规定:两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜,一个正面、一个反面算乙胜.这个游戏公平吗?解：这个游戏是公平的.理由如下:

掷两枚质地均匀的硬币的样本空间Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)},则两枚硬币同时出现正面或同时出现反面的概率为2/4=0.5，即甲胜的概率为0.5，一个正面、一个反面的概率也为0.5，即乙胜的概率为0.5，所以这个游戏是公平的.巩固练习课本P2573.据统计ABO血型具有民族和地区差异.在我国H省调查了30488人，四种血型的人数如下:(1)计算H省各种血型的频率并填表(精确到0.001);

(2)如果从H省任意调查一个人的血型，那么他是O型血的概率大约是多少?血型ABOAB人数/人77041076589703049频率0.2530.3530.2940.