空间向量基本定理（2课时）导学案 2024-2025学年高二数学（人教A版2019选择性必修第一册）

1.2《空间向量基本定理》导学案一.学习目标1.认识与理解空间向量基本定理及其意义，基底与基向量，以及单位正交基底；（数学抽象）2.根据空间向量基本定理，熟练掌握利用基底表示空间向量的方法与技巧.（数学运算、逻辑推理、直观想象）二.学习过程（导学、自学）（一）探究新知1——空间向量基本定理（互学）空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不，那么对任意一个空间向量p=（二）探究新知2——基底与基向量（互学）由空间向量基本定理可知：如果三个向量a，b，p这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把叫做空间的一个基底，a注：空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个.（三）探究新知3——单位正交基底与正交分解（互学）特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两，且长度都为，那么这个基底叫做基底，常用表示，由空间向量基本定理可知，对空间中的意向量a均可以分解为三个向量xia=像这样，把一个空间向量分解为三个两两的向量，叫做把空间向量进行分解.(四)小结（互学）1.提示一由空间向量基本定理可知，如果把三个不的向量作为空间的一个基底，那么所有空间向量都可以用三个基向量表示出来.2.提示二进一步地，所有空间向量间的运算都可以转化为间的运算，这为解决问题带来了方便.三.典例分析（互学）例1如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点试用向量OA,OB,例1解:∵向量OA,∴据空间向量基本定理可得=====注：据加法的平行四边形法则可知——“三角形中线所表示的向量等于与它相邻两边表示向量之和的一半”例2如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4求证MN证明：设AB=aa,b,则MN=A∵MN===∴MN故MN温馨提示：利用空间向量解决立体几何问题是我们学习空间向量的意义所在.例3如图，正方体ABCD-A'B'C(1)求证:EF//(2)求CE与AG证明（1）：设DA=∵{i，∴EF∴EF=1∴EF∥CA(向量共线定理∴EF解（2）:∵CE=∴cos==故CE与AG所成角的余弦值为四.达标检测（迁移变通、检测实践）1.如图，已知三棱锥O-ABC，点M，N分别是OA，BC的中点，点G为线段MN上一点，且MG=2GN，若记OA=a，OB=bA.13a+13b+13【答案】C

【解析】【分析】本题考查空间向量基本定理，空间向量的线性运算．

利用空间向量的三角形法则、平行四边形法则，把OG用OA，OB和OC线性表示即可．【解答】

解：如图所示，连接ON，

∵OG=ON+NG，ON=12(OB+OC)，

NG=2.已知空间向量i,j,kA.向量i+j+k的模是3

B.{i+j,i-j,k}可以构成空间的一个基底【答案】BC

【解析】【分析】本题考查了空间向量的应用，涉及了空间向量模的求解、空间向量的基底、空间向量的夹角等知识点，考查的知识面广，对学生基础知识掌握的情况有较高的要求，属于中档题．

利用向量的模的性质将i+j+k的模转化为数量积求解，即可判断选项A，利用不共面的向量作为基底判断选项B，利用两个向量夹角的余弦公式进行求解，即可判断选项C，利用向量的夹角公式求出向量i+j【解答】

解：对于选项A，因为空间向量i,j,k都是单位向量，且两两垂直，

所以|i|=|j|=|k|=1，且i⋅j=0,i⋅k=0,j⋅k=0，

则|i+j+k|=(i+j+k)2

=i2+j2+k2+2i⋅j+2j⋅k+2i⋅k=3，

所以向量i+j+k的模是3，

故选项A错误；

对于选项B，因为空间向量i,j,k都是单位向量，且两两垂直，

所以i,j,k不共面，而向量i+j,i-j均与i3.已知空间四边形ABCD中，AB→=b→,AC→=c→【答案】23【解析】【分析】本题考查了向量三角形法则、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

如图所示，BM=BC+【解答】

解：如图所示，BM=BC+CM=AC-AB+13CD

=AC4.如图所示，三棱柱ABC—A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM=2A1M，C1N=2B1N.设AB=a，AC=b，【答案】解：(1)∵BM=2∴MA1∴MN=(2)a+b+c2

=【解