初高中知识衔接-数学学案

第一讲：数与式的运算(3课时)

第1课时绝对值

［知识要点］

绝对楼的而数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的

绝对值仍是零.即

a,a>0,

0,a=0,

-a,a<Q.

绝对值的几何意义：一个1数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离.

图1一1(1)图1一1⑵

两个数的差的绝对值的几何意义：|a—母表示在数轴上，数。和数〃之间的距离.

【典型例题】图1一2(1)

例1解方程：

(1)|x-l|=2(2)|x-l|+|x-3|=4.

例2解不等式|2x-l|>|2x-3|

例3解不等式：(1)|x-l|+|x-3|>4(2)|2x+3|-|x-5|<5

例4解不等式欣+31<2

例5已知关于x的不等式Ix+2|+|x+3|<a有解，则实数a的取值范围是

第2课时.二次根式

【知识要点】

一般地，形如右（a20）的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得

尽方的式子称为无理式.例如3a+^a2+b+2b,证+b2等是无理式,而

+x+1,x2+yflxy+y2,Ju2等是有理式.

1.分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化.为了进行分母（子）有

理化，需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的

积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如近与近，

与JZ,6+#与6-遥，26—30与26+30,等等.一般地，a&

与与。£一久方，外后+人与。五一人互为有理化因式.

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号

的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根

号的过程

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运

算中要运用公式茄（a20,820）；而对于二次根式的除法，通常先写

成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减

法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.

2.二次根式G的意义

a,a>0,

=|a|="

-a,a<0.

-=^(«>0,Z?>0)

3.性质：(1)=\[a-y/b(a>0,h>(y)(2)

ayja

【典型例题】

例1.将下列式子化为最简二次根式:

(1)712^：(2)>0)；(3)yl4x6y(x<0)

例2.化简：⑴吊9-44(2)^x2+p-2(0<x<l).

(3)J(0一2尸+5(6-1)2

(4)血-X.+J(2T)2(x>l)

例3计算（没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数）:

3

(1)

2+6

例4计算:

(1)(■y/^+\/b+1)(1—yfci+—(\/fl+\[b)~

2+百______

求/+y3的值.

例52—打)-2+6

第三课时.分式

【知识要点】

1.分式的意义

AA

形如々的式子，若B中含有字母，且3/0,则称々为分式.当A#0时，分

BB

为人口―21工AAxMAA^M

式”具有下列性质：—=—~—

BBBxM力-B三M

上述性质被称为分式的基本性质.

2.繁分式

a

像竺毕吆这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.

c+d2m

n+p

【典型例题】

例1.化简一—

1-X

r

X——

X

例2.若且巴=4+一日一，求常数A,8的值.

x(x+2)x尤+2

例3(1)试证：-i—=-一——(其中〃是正整数)；

〃(〃+1)n〃+1

(2)计算：-----1---------FH---------;

1x22x39x10

(3)证明：对任意大于1的正整数〃，有一一+」一++-------<-

2x33x4〃(几+1)2

例4设e=£,且e>l,2c2—5ac+2a2=0,求e的值.

a

第二讲：因式分解(2课时)

【知识要点】

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变

形.在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用.是一种重要的基本技

能.

因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差

公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组

分解法等等.

常用公式：平方差公式_______________________________

完全平方公式_____________________________

立方和公式_______________________________

立方差公式_______________________________

三数和平方公式___________________________

两数和立方公式___________________________

两数差立方公式___________________________

【典型例题】

一、公式法

例1、因式分解下列各式

(1)(x+pF_(x+g)2=

(2)(x+»+2(x+y)z+z?=

(3)27——=

(5)3«3/?-8W4=

(6)a1—abb=

二、十字相乘法

例2、把下列各式因式分解:

(1)x?—7x+6(2)X2+13x+36

(3)x2+5x—24(4)元之一2元—15

(5)12x^—5x—2(6)5x2+6xy-Sy2

(7)x2—(a+b)xy4-aby1(8)x2+xy-6y2

(9)xy—l+x—y(x2+x)~—8(r+x)+12

三、提取公因式与分组分解法

例3、把下列各式因式分解：

(1)三+9+3厂+3x(2)2ax-\Oay+5hy-hx

(3)ab(c2-d2)-(a2-kr)cd(4)x9—y2+cix+ay

(5)2x2+4xy+2y之一8z2(6)b2+c2+2ab+2ac+2bc

四、拆项、添项法

例4、分解因式V—3/+4

五、综合应用

例5、试证明873—763能被u整除

例6、已知。+人=5,"=2,求代数式a2b+2片/+而2的值.

112131

例7、已知x+=2,求？厂+7,*+了

例8、已知a,仇c是AABC的三边长，试比较（1+〃一°2）2与4a2〃的大小。

第三讲：一元二次方程的判别式与韦达定理(2课时)

【知识要点】

现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一

元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及

解析几何等章节有着许多应用.本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关

系进行阐述.

一元二次方程ax2+bx+c-0(a^0)的判别式A=

判别式符号方程的实根情况

韦达定理：

如果一元二次方程or2+bx+c-0(a。0)的两个根为A，/，那么

【典型例题】

一、与判别式和韦达定理有关的基本问题

例1、不解方程，判断下列方程的实数根的个数：

(1)2x2-3x+1=0(2)4y?+9=12y(3)5(x2+3)-6x=0

例2、己知关于》的一元二次方程3%2一21+左=0,根据下列条件，分别求出女的

范围：

(1)方程有两个不相等的实数根；(2)方程有两个相等的实数根

(3)方程有实数根；(4)方程无实数根.

例3、已知两个数的和为4,积为一12,求这两个数.

例4、若是方程/+2%-10=0的两个根，试求下列各式的值:

2211

⑴Xy4-X2(2)---1---(3)(z%—5)(x)—5)

百x2

aa

(4)x1+X2(5)|七一为2I

例5、已知方程Jr?一3%+1=0

（1）求证：这个方程有两个不相等的正根；

（2）设看,超是这个方程的两个根

①写出以M+1,电+1为根的一元二次方程

②写出以22,七2为根的一元二次方程

③写出以后，嘉"为根的一元二次方程

二、与判别式和韦达定理有关的含参问题

例6、判定下列关于x的方程的根的情况(其中“为常数)，如果方程有实数根,

写出方程的实数根.

(1)x2-3x+3=0(2)x2-ar-l=O

(3)x2-av+(a-l)=O(4)xi-2x+a=Q

例7、已知关于x的方程/+2(m-2比+/+4=0有两个实数根，并且这两个实数

根的平方和比两个根的积大21,求〃］的值.

例8、已知关于x的方程V—(A+l)x+_Lr+i=o,根据下列条件，分别求出人

4

的值.

(1)方程两实根的积为5；(2)方程的两实根X,,%满足|不|=马.

例9、已知％,乙是一元二次方程4依2一4依+左+1=0的两个实数根.

3

(1)是否存在实数*,使(2玉一々)(玉-2々)=一耳成立？若存在，求出&的值;

若不存在，请说明理由.

(2)求使出+查•-2的值为整数的实数女的整数值.

X2X]

第四讲：正比例函数、反比例函数'一次函数

及简单绝对值函数的图象及性质（1课时）

【要点回顾】

1.函数概念、图象及性质

[1]一次函数：称y是x的一次函数，记为：y=kx+b（k.b

是常数，珈））

特别的，当8=0时，称y是x的正比例函数。

[2]正比例函数的图象与性质：函数产履（我是常数，原0）的图象是的一

条直线，当______时，图象过原点及第一、第三象限，y随x的增大而；

当________时，图象过原点及第二、第四象限，），随x的增大而.

[3]一次函数的图象与性质：函数y=3:+0伏、b是常数,原0）的图象是过点（0,

切且与直线户5平行的一条直线.设旷=依+。（咛0）,则当_____时，?随x的增大

而；当_____时，y随x的增大而.

k

[4]反比例函数的图象与性质：函数y=一（七0）是双曲线，当_____时，图象在第一、

x

第三象限，在每个象限中，y随x的增大而；当时，图象在第二、

第四象限.，在每个象限中，），随x的增大而.双曲线是轴对称图形，对称

轴是直线y=x与y=-x；又是中心对称图形，对称中心是原点.

⑸分段函数：一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给

出，这种函数，叫作分段函数.

⑹绝对值的代数意义：.即|a|=.

⑺简单绝对值函数的图象：y=|x|是关于对称且以_______为折点

的两条折线；y=|x-3|呢？（绝对值函数实质上就是分段函数）

[8]平面直角坐标系内的对称点：

对称点或对称直线方程对称点的坐标

X轴______________

y轴

原点

点(a,b)

直线x=a

直线y

直线y=x

直线y=-x

【例题选讲】

例1画出下列函数的图象：

12x-1

(1)y=-2x+1(2)y=—(3)y=——(4)y=----

xxx+2

(5)y=|x+11(6)y=\lx+1+

例2已知一次函数），=履+2的图象过第一、二、三象限且与x、y轴分别交于A、

B两点，。为原点，若。。8的面积为2,求此一次函数的表达式。

例3如图，反比例函数y=±的图象与一次函数y=的图象交于A（l,3）,

x

8（〃,一1）两点.

（1）求反比例函数与一次函数的解析式；

（2）根据图象回答：当尤取何值时，反比例函数的值大于

一次函数的值.

第五讲：二次函数的图象及性质(1课时)

【知识要点】

1.二次函数y=0>?+如+，的图像和性质

问题［1］函数与的图象之间存在怎样的关系？

问题［2］函数y=a(x+/i)2+A与,=如2的图象之间存在怎样的关系？

2.由上面的结论，我们可以得到研究二次函数丁=分2+法+《。。0)的图象的

方法：

用配方法：y=cix2+-x\+c=cix+^-］+'_4ac可以得到顶点坐标且

Ia)L2a)4a

可得到y=ad+。》+《4/0)的图象可以看作是将函数y=a^的图象作左右平

移、上下平移得到的，

3.二次函数尸aF+bx+cS#))具有下列性质：

口］当a>0时，函数、=/+云+。图象开口方向；顶点坐标为,

对称轴为直线;当_________时，y随着x的增大而；当

时，y随着x的增大而；当_______时，函数取最小值__________.

⑵当a<0时，函数)，=/+法+c图象开口方向；顶点坐标为，

对称轴为直线；当________时，y随着x的增大而；当时,

y随着x的增大而；当_____时，函数取最大值.

上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来.因此，在今后解决二

次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题.

2.二次函数的三种表示方式

［1］二次函数的三种表示方式：

(1).一般式：;

(2).顶点式：;

(3).交点式：.

说明：确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的

关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则.二次函数

的关系式可设如下三种形式：

①给出三点坐标可利用一般式来求；

②给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求.

③给出三点，其中两点为与X轴的两个交点(x,,0).(x2,0)时可利用交点式来求.

【典型例题】

例1.用配方法迅速求出下列函数的顶点坐标，并画出它们的图象

(1)y=x2+4x+l(2)y=-2x2+5x4-3(3)y=x2-2mx+2

(进一步：介绍区间的概念，并画出上列三个函数在指定区间上的图象)

例2.求二次函数y=-3f—6x+l图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值

(或最小值)，并指出当x取何值时，)，随尤的增大而增大(或减小)？并画出该

函数的图象.

例3.根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式.

(1)已知某二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线y=x+l上，并且图象经

过点(3,-1)；

(2)已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到x轴的距离等于2：

(3)已知二次函数的图象过点(一1,-22),(0,-8),(2,8).

第六讲：利用二次函数的图象求范围（1课时）

【知识要点】

1.二次函数y=分？+/?x+c（。工0）的最值.

b

二次函数在自变量％取任意实数时的最值情况（当a>0时，函数在X=--

2a

46zc—b~b

处取得最小值”〃，无最大值；当4<0时，函数在X=-上处取得最大值

4672a

4ac-b2

--------,无取小值.

^a

2,二次函数最大值或最小值的求法.

第一步确定a的符号，a>0有最小值，“<0有最大值；

第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值.

3.求二次函数在某一范围内的最值.

如：y=ax2+bx+c^.m<x<n（其中m<八）的最值.

第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：x=x0；

第二步：利用图象求出最值（或取值范围）

【典型例题】

例1求下列函数的最大值或最小值.

（1）y=2x?一3x—5；（2）y———3x+4.

例2当14x42时，求函数y=—V—x+1的最大值和最小值.

例3二次函数,"％)=/一2》+3在下列区间上何时取到最值？最值为多少？

取最大值时X的

区间最小值取最小值时X的值最大值

值

(-00,+00)

[-13]

(26]

[-to]

(-⑸

[3,+(»)

第七讲：最值的分类讨论（3课时）

【知识要点】

求二次函数在某一范围内的最值.

如：y=办2+法在加（其中的最值.

第一步：先配方为y=a（x—。r+攵，求出函数图象的对称轴：x=h；

第二步：

类型I、若a,b,c与，"，"均为已知数字，利用图象求出最值（或取值范围）。

类型H、若a6,c与风〃不完全是已知数字，而是有未知字母，则必须讨论,

图象仍是不二的法宝。

[1]若a>0时求最小值，需分三种情况讨论：

①对称轴小于m即/z<m,即对称轴在m<x<n的左侧；

②对称轴m<h<n,即对称轴在〃的内部；

③对称轴大于“即〃>〃，即对称轴在m<x<n的右侧。

,h<tn

即打加=<,m<h<n

,h>n

当a<0时求最大值，应该如何讨论呢？

[2]若。>0时求最大值或。<0时求最小值，需分两种情况讨论:

n

①对称轴光0<（一，即对称轴在加<X<〃的中点的左侧；

②对称轴/〉W，即对称轴在4〃的中点的右侧；

说明：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位

置。

【典型例题】

一、对带绝对值的二次函数分类讨论

例1.设函数y=f+|x—2|—1.求函数的最小值.

二、动轴定x范围问题

例2.已知函数-2<x<a,其中“N—2,求该函数的最大值与最小值，并

求出函数取最大值和最小值时的自变量x的值.

分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对。的取值进行讨论.讨

论过程中仍然要利用函数的图象。

变式1：求关于x的函数y=/+2*+2在—54x45上的最小值。

三、定轴动X范围问题

例3.已知函数y=£+4X+3,其中求函数的最小值。

1，5

变式2：当fWxVf+1时，求函数>=—/一%——的最小值(其中/为常数).

22

四、综合应用

例4.已知y=—幺+(4"-2)x—4/+4a,K0<x<2,试讨论该函数最值的情

况.

第八讲：二次函数最值的逆用（1课时）

【知识要点】

由二次函数的最值确定参数的值（或范围）

【典型例题】

例1.函数y=d+2x+3在m上的最大值为3,最小值为2,求相的取值

范围.

变式1：已知函数丁=/一2》+3,当OWx＜，〃时，函数的取值范围是2«yW3,

求正数〃?的取值范围.

例2.设。＞0,当一14x41时，函数y二一/一分+。+1的最小值是一4,最大

值是0,求匕的值.

第九讲：二次函数的应用题（1课时）

【知识要点】

1.简单的函数模型建立的基本步骤：

（1）审题——理解题意，分析条件和结论，理顺数量关系。

（2）建立函数模型——将文字语言转化成数学语言，建立相应的目标函数。

（3）求模——利用有关的函数知识，得到数学结论。

（4）还原——将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义。

2.二次函数的运用

（1）利用二次函数的性质与思想方法处理方程、不等式等问题。

（2）建立二次函数模型解决实际问题。

【典型例题】

例1.某水厂要建造一个容积为8（X）0机3,深5机的长方体蓄水池，池壁每平方米的

造价为。元，池底每平方米的造价为2a元。把总造价y（元）表示为底的一边x（m）

的函数，并指出其定义域；

例2.灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽及两边坡总长度为/，边坡的倾斜角为60。

（1）求横断面面积y与底宽x的函数关系式；

（2）已知底宽xwd」］,求横断面的面积y的最大值和最小值。

例3.某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日

销售量y（件）之间关系如下表所示：

x/元