高中数学函数的应用解答题一题训练含答案

高中数学函数的应用解答题（1）题专题训练含答案

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一、解答题（共15题）

1、给定数列｛勺），它的前x项和为号=1+而（2eR）.

（1）若兄=10,求｛4）的通项公式；

（2）若数列（即单调递增，求实数4的取值范围.

2、已知函数侬“皿但卜乳XE（O^r）

（1）求〃融的单调增区间；

（2）函数期=丑0值有两个零点，求实数a的取值范围；

I____1

（3）A为锐角aABC的内角，且/口）=1,点M在BC上,AM为NBAC的角平分线,AM=2,求皿一，

的取值范围.

3、已知函数,3卡―4+一皿…

（1）若/值）为偶函数，求实数”的值；

（2）当时，求函数了"）的零点；

（3）若方程,但=口在（°力）上有两个不同的实数根平巧位＜中，求实数a的取值范围.

4、已知函数〃x）是定义在R上的奇函数，且当工^0时，-2x.

（1）求函数〃=）（工E幻的解析式;

(2)写出函数/(4(工£及)的增区间(不需要证明)；

⑶若函数薯㈤—12际间)，求函数”句的最小值.

f(x^-am2f2x--l-2Xsmf2x—fiif+1第6口

5、已知函数I4jI4；,1242也最小值为总社

d外

(1)求当£=1时,求[到的值;

(2)求W(*)的表达式；

一」名£名1

(3)当5’一时，要使关于t的方程总同=H一9有一个实数根，求实数k的取值范围.

6、在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，

4

车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为v=W,x

为道路密度，q为车辆密度.

100-135fi<x<40

{-Ji(x4Cr>185,405x^80

(1)若交通流量v>95,求道路密度x的取值范围；

(2)已知道路密度x=80,交通流量v=50,求车辆密度q的最大值.

1

7、已知函数f(x)=4x-x'+L

(1)证明方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解；

(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)=0(xe[0,2])的实数解X。在哪个较小的

区间内.

8、已知二次函数了⑺的最小值为-4,且关于x的不等了⑴£0的解集为

(i)求函数J'Q)的解析式；

⑵求函数&")=一Tin”的零点个数.

9、若函数/值)=/+'+1-四"有且仅有一个零点，则实数a的取值范围

11

1。、设函数"机.皿铲"2YL铲+K“切冢

(1)若修=-1,求函数名8)的单调区间；

(2)若函数了6)有两个零点，求实数a的取值范围.

11、已知定义在正上的函数/(其)=/+2加。助*+2)+1-3(步为常数).

(1)求FW的奇偶性；

己知代G在正上有且只有一个零点，求实数。的值.

12、已知二次函数f(x)=x+(2a-l)x+l-2a.

(1)若f(x)只有一个零点，求实数a的值；

(2)若f(x)在区间'1'°)及°'2)内各有一个零点，求实数a的取值范围.

13、已知函数/值)=?-(册+3)冗-1在区间⑵4)上仅有一个零点，求实数冽的取

值范围.

,x+2,x<0

Rx)=2*-2,0<x<2

14、已知函数(lx-5|l,x>2,g(x)Rx)-a.

(1)若函数g(x)恰有两个不相同的零点，求实数a的值；

(2)记砧)为函数g(x)的所有零点之和，当-Ja<2时,求2a)的取值范围.

x-2

15、.已知函数f(x)=a+x+l(a>l).

(1)求证：F(x)在(-1,+8)上为增函数；

(2)若a=3,求方程f(x)=O的正根所在的区间.

========参考答案=„==

一、解答题

1、(1)%=2%+9；(2)4>-3.

【分析】

用,匕=1

(1)由即1$*一工口"22求解即可；

(2)由题意可得松-凡-】>°,从而可求出实数4的取值范围

【详解】

(1)由4=io知sE=1+i0,

当附22时，%=凡-松-1=1+10/-[(%-1)'+10"10]=2%+9,

当“1时，，=凡=11符合上式，

所以4=2万+9；

(2)因为⑻单调递增，所以用-$1=1+无=+

即以>1-2%（M22）恒成立

解得4>-3

2、(1)

=和+rasj+挈0=：+血俨+1)

⑵令磔月=。，则"对r司，则该方程在伊/）上有2个根.又转（叮）时，

"+N售制,则有：-i"-R且吟吟,解得：-卜可且“I,故a的取值范围是

卜封u因8分

又如/脩2r+智.+

(3)由

9分

SM2

••.AM为NBAC的角平分线，故又AM=2,在AABM中，

wif.Ir^tr-]

同理：.............io分

.=.jB-aiftC二皿万一血停中勾=/而，3=丽@一百

•.•锐角△ABC,."4,且4+普咛”冷.产篇），则r超仔用,则

a■件小卜另），即b4的取值范围是卜另）.............%分

3、(1)0=。；(2)一1和一1一君；(3)-7<fl<-2

【解析】

（1）由偶函数的性质可知，・工）=〃工），即可求出”的值;

2J^+4r—4诏-2或

33=：4

(2)可得4xr^-2<x<2,解方程可求函数的零点;

十-2）一金4

一产-4-x2J―--二嚏”◎动

a='=q

以f1=0$比R用

（3）分离参数得出,运用函数图象求解

即可.

［详解］解：⑴"为偶函数

二斤H)=|(-X)2-4|+(-X)2f(X)

二2or=0

»\£f=0

(2)Vff=4

二/€4=卜'-4+6普4K=

4x»4»-2<x<2

当一2<K<2时，由/8=钛*4=0得x=_i,

当.父—2或心:2时，由人工）=21工+4H―4=0得凝=T+忑（舍去），芍=一］—/.

综上知，人工）的零点为一1一点和T,

⑶㈤二区一1+7+谢―xe(a4)

二.=土

X

二-±*在01为

Xx

Tx2-%―/4

=l勤c—工JPE[X可

uXX

4

当xe82),»=-*单调递增，且值域为(f一期;

当女区仅冷)=.一£)单调递减，

VA(2)--0i2-i)«-2国(4)=-(2-4-：)=-7

作出上述函数图象，可得-7va<-2,

【点睛】本题考查了函数的性质，运用导数，函数的图象，分离参数，解决函数的零点问题,

综合性较强，属于难题.

4、（1）；（2）函数〃9的增区间：（F*T）,（Ldm）,减区间：（TO,；

（3）当让i时，«（xL,=2-4a,当&0时，«（xL,=1-2a,当0“<1时，

式Hmixi=-a2—2a+l

【解析】

（1）根据奇函数定义和当上留时，/UAt5-X,并写出函数在时的解析式；（2）由

（1）解析式得出函数的单调区间；（3）通过分类讨论研究二次函数在区间上的最小值，得

到本题结论.

【详解】（1）：函数〃9是定义在R上的奇函数，

二当时，此时一“0,㈤=一〃一4,

又•.•当工4G时，/（x）=-x-2x

二/（x）=-/（-x）=-［-（-X）5-2（-x）］=x2-2x

人不-一3匕。

二函数，（*）（工E置）的解析式为：K-2jtr>D.

（2）函数才㈤的增区间：ST,值向.

减区间：（一毁

（3）函数/（工）=/（耳—2ax+2=丁一2»-2ax+2=x2-（2+2a）x+2（xe|12|）

二次函数对称轴为：,=a+1,

当时，即口>［时，宫（工鼠,=容（2）=2—4巴

当12&+1时，即日40时，息（%）』二总（1）=1一%,

当l<a+l<2时，即0<a<l时，虱五*n-虱&*9=卷一

综上，当傥古1时，总（工L二2一4巴

当f时，式必=1-町

当Dvav1时，虱/$=一/_2a+l

【点睛】本题考查了函数的奇偶性、函数解析式、二次函数在区间上的最值，本题难度不大,

属于中档题.

产一5#*3

4

怎0="811(一gw"

?-8f+2

5、(1)Y(2)(3)Lm/MZ+m)

【解析】

=ia（2x--）e[--4]

（1）直接代入计算得解；（2）先求出42，再对t分三种情况讨论，结合二

次函数求出且闺的表达式；（3）令入©=虱4一电+9,即敏0=T『+可t+io有一个实数根,

利用一次函数性质分析得解.

?

#3=aan[2x——]-iTsoif2x——|一4="4

【详解】⑴当#=1时，I4J14),所以

w1

x2x*——Gp——-—1^(2x£叫』

(2)因为242,所以46a4,所以

费*fFW*

7(x)=[iM(2x^)-rf-fe+l工心百

54(242)

当时，则当虫”今=4时，卬叨“―一石

当一白田时，则当3511at■今"时，丁8331

当£A1时，则当'11一/"1时，一筌+2

？-攵+=厂与

4

(1

式。==fitfl—gf41

I2.

P—敢+2(r>I)

故

(3)当0时，式4=*+1,令以今-式0-逐+9即为❽=T*3+研+10

欲使的=修-9有一个实根，则只需I他9或I班

解得或*之2.

所以上的范围：(-cn»-2)u(l+aj).

【点睛】本题主要考查三角函数的范围的计算，考查二次函数的最值的求法和方程的零点问

题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.

2S800

6、(1)(3,40)(2)7

9

【解析】解：(1)*/v=X,；.V越大，X越小,

/.v=f(x)是单调递减函数，k>0,

当40WxW80时，v最大为85,

1

于是只需令100T35・(1jx>95,解得x>3,

故道路密度x的取值范围为(3,40).

(2)把x=80,v=50代入v=f(x)=-k(x-40)+85中,

7

得50=-k・40+85,解得k=Q.

100x135-Qj-xs0<x<40

..q=vx=

1

当0VxV40时，q单调递增，q<100X40-135X(3)，,0X40^4000；

4S0

当40WxW80时，q是关于x的二次函数，开口向下，对称轴为*=亍,

74SO4SO28800

此时q有最大值，为-8X(亍T+120X彳=方一>4000.

2SSOO

故车辆密度q的最大值为〒

【考点】根据实际问题选择函数类型.几类不同增长的函数模型的特点

【专题】分类讨论；数学模型法；函数的性质及应用；逻辑推理.

1

【分析】(1)易知v越大,x越小，所以丫=£6)是单调递减函数,卜>0,于是只需令100T35*(3)”

>95,解不等式即可；

(2)把x=80,v=50代入v=f(x)的解析式中，求出k的值，利用q=vx可得到q关于x的

函数关系式，分段判断函数的单调性，并求出各自区间上q的最大值，取较大者即可.

【点评】本题考查分段函数的实际应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，以及运算能

力，属于中档题.

7、解：(1)证明：［f(0)=l>0,f(2)=-3<0,

.*.f(0)•f(2)=-3<0,

由函数的零点存在性定理可得方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解.

11

(2)取Xi=G(0+2)=1,得f(l)=*>0,

1

由此可得f(l)-f(2)=-9<0,下一个有解区间为(1,2).

131

再取X2=3(1+2)=工,得f〔刃=一晨0,

Afd)•fU=—24<0,下一个有解区间为3.

再取X3=312J=4,得fl4)=192>o,

.-.f0・fj)<o,下一个有解区间为』‘窃

故f(x)=0的实数解X。在区间E’号内.

8、解(l)：F(x)是二次函数，且关于x的不等式/'(x)W0的解集为{x|-lWxW3,xSR},

.•.1(x)=H(X+1)(x—3)=a才2—2ax—3H,且刘>0..•・/'(x)min=f(l)=-4H=—4,H=L

^22x33

故函数F(x)的解析式为/'(x)=*—2x—3.(2)<g(x)=z—41nx=x—x—41nx

~2(x>0),

34xlx3

g'(x)=1+x2—x=x2.令g'(x)=0,得Xi=l,及=3.当X变化时，g'(X)

g(x)的取值变化情况如下：

X(0,1)1(1,3)3(3,+8)

g'(X)+0—0+

g(x)-极大值极小值

10分

当0〈xW3时，g(x)Wg(l)=-4<0.又因为g(x)在(3,+8)上单调递增，因而g(x)在(3,+

8)上只有1个零点.故g(x)在(0,+8)上只有1个零点.

>2

9、041al<1或0@

10、.(1)函数g(x)的增区间为(0,1),减区间为(1,+8)

(2)aG(-2,-1)U(-1,0)

11、

12、解：(1)若f(x)只有一个零点，则判别式△=(),

即△=(2a-l)2-4(L2a)=(2a-l)(2a+3)=0,

13

则a=2或a=".

(2)若f(x)在区间(1°汝畤内各有一个零点,

/3-4a>0

f（0）<0l-2a<0

即［沁则卜V,解得土气,

则

即实数a的取值范围是G1).

13、由题意得：了⑵/⑷<0:.卜茄-3：<3-4加卜0

33

（2m+3）（4附-3）<0：.-—<,*■»<―

245分

14、详解：(1)由g(x)。得f(x)a,函