哈密顿正则方程_第1页
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文档简介

H（p1，…，ps；q1，…，qs；t）

引入新函数第1页/共17页2s个一阶常微分方程的方程组形式优美、简洁对称！

由p

，q

（

＝1，2，…，s）共2s个变量组成一个2s维直角坐标系所占据的假想的2s维空间叫相空间（或相宇）。这就是著名的哈密顿正则方程函数H称为哈密顿函数应用第2页/共17页一、能量积分哈密顿方程在一定条件下也可以给出能量积分若H不中不显含t

：H=h=const.H中不显含t时，再分稳定约束与不稳定约束这两种情况来讨论。第3页/共17页1、稳定约束T＝T2H=T＋V=h=const

对于完整的保守力学体系来说，若H不显含t，而且体系受稳定约束时，体系的H是能量积分，这时体系的机械能守恒。2、不稳定约束第4页/共17页

H=T2

－T0

＋V=h=const

可见，对于完整的保守力学体系来说，若H中不显含t，而且体系受不稳定约束时，体系的H是广义能量积分。二、循环积分

若H=H（q1，…，qs；p1，…，ps；t）中不显含某个pi或某个qi，即pi，qi为循环坐标，则由哈密顿方程立即得到qi=constpi=const第5页/共17页三、哈密顿方程应用举例[例9]分别用笛卡儿坐标、柱面坐标和球面坐标写出一个自由质点在势场V（）中的哈密顿函数H。解:

体系为质点，自由度数s＝3。（1）在笛卡儿坐标系中，取x，y，z为广义坐标，则拉格朗日函数L为第6页/共17页（2）在柱面坐标系中L=T－V第7页/共17页（3）在球面坐标系中第8页/共17页,V=V（r，

，

）V（r，

，

）V（r，

，

）第9页/共17页[例10]求弹性双原子分子的拉格朗日函数和哈密顿函数。设两原子之间相互作用的弹性力为

F=－k（r－r0）其中r为两原子间距离，r0为两原子处在平衡时的距离。解:

为了求出拉格朗日函数，应先求分子的动能。从寇尼格定理可知，分子动能T=Tc＋T

两原子相对质心的动能质心动能把两原子相对质心的动能转换为m2相对于m1的运动。第10页/共17页第11页/共17页L=T－V

第12页/共17页[例11]一质量为m的自由质点，受力为位矢，k为大于零的常数。求在直角坐标系中质点的运动微分方程。解:

取x，y，z为广义坐标。动能为第13页/共17页第14页/共17页[例12]应用哈密顿正则方程求核外电子的运动规律。设电子的电量为－e，原子核带电为Ze，Z为原子序数。

是循环坐标:

p

=C

第15页/共17页

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