工程力学 第2版 课件 第6、7章 刚体的平面运动、动力学基本方程和动能定理

工程力学平动和转动与基点之间的关系

第六章刚体的平面运动§6.1

概述和运动分解刚体平面运动实例在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离，这种运动称为平面运动。刚体平面运动简化MNSA1A2A刚体上每一点都在与固定平面M平行的平面内运动。过A点作一平面N与平面M平行,以平面N去截刚体得一平面图形S。可知该平面图形S始终在平面N内运动。

垂直于图形S的任一条直线A1A2必然做平动。A1A2的运动可用其与图形S的交点

A的运动来替代。刚体的平面运动可以简化为平面图形在其自身平面S内的运动。这就是平面图形的运动方程。SMO'yxOj

平面图形S在其平面上的位置完全可由图形内任意线段O'M的位置来确定：

1)线段上任一点O'的位置；2)线段O'M与固定坐标轴Ox间的夹角j。平面图形的运动方程可由两部分组成：1)平面图形按点O'的运动方程xO'=f1(t),yO'=f2(t)的平移；

2)平面图形绕O'点转角为的转动。

对于任意的平面运动，可在平面图形上任取一点O'，称为基点。在这一点假想地安上一个平移参考系O'x'y'；平面图形运动时，动坐标轴方向始终保持不变，可令其分别平行于定坐标轴Ox和Oy。于是平面图形的平面运动可看成为随同基点的平移和绕基点转动这两部分运动的合成。y'x'O'yxO刚体平面运动分解

平面运动的这种分解也可以按上一章合成运动的观点加以解释。以沿直线轨道滚动的车轮为例，取车厢为动参考体，以轮心点O'为原点取动参考系O'x'y'，则车厢的平动是牵连运动，车轮绕平动参考系原点O'的转动是相对运动，二者的合成就是车轮的平面运动(绝对运动)。单独轮子做平面运动时，可在轮心O'处固连一个平动参考系O'x'y'，同样可把轮子这种较为复杂的平面运动分解为平动和转动两种简单的运动。y'x'O'y'x'O'O'M

平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和,这就是平面运动的速度合成法或称基点法。1.基点法

已知O'点的速度及平面图形转动的角速度，求M点的速度。§6.2求平面图形内各点速度的基点法wvMvO'vMO'vO'

同一平面图形上任意两点的速度在其连线上的投影相等。这就是速度投影定理。2.速度投影定理由于vBA垂直于AB，因此[vBA]AB=0。于是将等式两边同时向AB方向投影:ABwvBvAvBAvA例6-1椭圆规机构如图。已知连杆AB的长度l=20cm，滑块A的速度vA=10cm/s，求连杆与水平方向夹角为30°时，滑块B和连杆中点M的速度。

解:AB做平面运动，以A为基点，分析B点的速度。由图中几何关系得：方向如图所示。AvAvAvBvBABwAB30°M30°以A为基点，则M点的速度为将各矢量投影到坐标轴上得：解之得AvAvAvMABwAB30°MvMxya例6-2用速度投影定理解例1中滑块B的速度。解：由速度投影定理得解得AvAvBB30°例6-3行星轮系机构如图。大齿轮I固定，半径为r1；行星齿轮II沿轮I只滚而不滑动，半径为r2。系杆OA角速度为ωO。求轮II的角速度ωII及其上B、C两点的速度。解:行星齿轮II做平面运动，求得A点的速度为vAwOODACBvAvDAwIIIII以A为基点，分析两轮接触点D的速度。由于齿轮I固定不动，接触点D不滑动，显然vD＝0，因而有vDA＝vA＝wO(r1+r2)，方向与vA相反，vDA为点D相对基点A的速度，应有vDA

＝wII·DA。所以vAwOODACBvAvCAvCvBvBAvAwIIIII以A为基点，分析点B的速度vBA与vA垂直且相等，点B速度大小以A为基点，分析点C的速度vCA与vA方向一致且相等，点C速度大小定理：一般情况，在每一瞬时，平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点。§6.3瞬心法求平面图形内各点速度wS平面图形S角速度为w,点A的速度为vA在vA的垂线上取一点C(使vA到AC的转向与图形的转向一致)，则如果取AC＝vA/w

，则NCvAvCA该点称为瞬时速度中心，或简称为速度瞬心。vAA

图形内各点速度的大小与该点到速度瞬心的距离成正比。速度的方向垂直于该点到速度瞬心的连线，指向图形转动的一方。CAwvAvBBDvDwC确定速度瞬心位置的方法有下列几种：(1)已知图形内任意两点A和B的速度的方向，速度瞬心C的位置必在两点速度垂线的交点上。

wABwOCvAABvB(2)已知图形上两点A和B的速度相互平行，并且速度的方向垂直于两点的连线AB，则速度瞬心必定在AB连线与速度矢vA和vB端点连线的交点C上。

ABvBvACABvBvAC(3)某瞬时，图形上A、B两点的速度相等，如图所示，图形的速度瞬心在无穷远处。(瞬时平动：此时物体上各点速度相同，但加速度不一定相等)wOvAAvBB另外注意：瞬心的位置是随时间在不断改变的，它只是在某瞬时的速度为零，加速度并不为零。(4)平面图形沿一固定表面做无滑动的滚动，图形与固定面的接触点C就是图形的速度瞬心。如车轮在地面上做无滑动的滚动时。vC例6-4用速度瞬心法解例1。解：AB做平面运动AvAvBB30°CvMwM瞬心在C点例6-5已知轮子在地面上做纯滚动，轮心的速度为v，半径为r。求轮子上A1、A2、A3和A4点的速度。A3wA2A4A1vA2vA3vA4vO解：很显然速度瞬心在轮子与地面的接触点即A1

各点的速度方向分别为各点与A点连线的垂线方向，转向与w相同，由此可见车轮顶点的速度最快，最下面点的速度为零。O45º90º90ºO1OBAD例6-6已知四连杆机构中O1B＝l，AB＝3l/2，AD＝DB，OA以ω绕O轴转动。求：(1)AB杆的角速度；(2)B和D点的速度。w解：AB做平面运动，OA和O1B都做定轴转动，C点是AB杆做平面运动的速度瞬心。vAvBvDCwAB例6-7直杆AB与圆柱O相切于D点，杆的A端以匀速向前滑动，圆柱半径，圆柱与地面、圆柱与直杆之间均无滑动，如图，求

时圆柱的角速度。解：圆柱做平面运动，其瞬心在点，设其角速度为。AB杆做平面运动，其瞬心在点，则即亦即故例6-8图示机构，已知曲柄OA的角速度为ω，OA＝AB＝BO1＝O1C＝r，角α=β=60º，求滑块C的速度。解：AB和BC做平面运动，其瞬心分别为C1和C2点，则wabOABO1CC1C2wBCwABvAvBvC解：连杆AB做平面运动，瞬心在C1点，则例6-9曲柄肘杆式压床如图。已知曲柄OA长r，以匀角速度ω转动，AB=BC=BD=l，当曲柄与水平线成30º角时，连杆AB处于水平位置，而肘杆DB与铅垂线也成30º角。试求图示位置时，杆AB、BC的角速度以及冲头C的速度。AOBDC30º30ºvAvBvCwC1wABC2wBC连杆BC做平面运动，瞬心在C2点，则例6-10曲柄连杆机构中，在连杆AB上固连一块三角板ABD，如图所示。机构由曲柄O1A带动。已知曲柄的角速度为w＝2rad/s，曲柄O1A=0.1m，水平距离O1O2=0.05m，AD=0.05m，当O1A⊥O1O2时，AB∥O1O2

，且AD与AO1在同一直线上，j=30º。试求三角板ABD的角速度和点D的速度。解:运动分析——O1A和O2B做定轴转动；ABD做平面运动，其速度瞬心在点C。O1O2ABDjCw2wABDwvAvDvB如图所示，由牵连运动为平动的加速度合成定理，有而其中故由于牵连运动为平动，所以ae=aA，于是有§6.4基点法求平面图形内各点加速度BAaAaBaAaBAwa

平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与相对基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。这就是平面运动的加速度合成法，称为基点法。BAaAaBaAaBAwaABCDO100100vCvB45º45º例6-11平面四连杆机构的尺寸和位置如图所示，如果杆AB以等角速度w=1rad/s绕A轴转动，求C点的加速度。解：AB和CD做定轴转动，BC做平面运动，其B、C两点的运动轨迹已知为圆周，由此可知vB和vC的方向，分别作vB和vC两个速度矢量的垂线得交点O即为该瞬时BC的速度瞬心。由几何关系知wBCwABCDaB45ºaB80.54º取B为基点分析C点的加速度，有将C点的加速度向BC方向投影得：aC负值表明实际方向与假设方向相反。例6-12如图所示，在外啮合行星齿轮机构中，系杆以匀角速度ω1绕O1转动。大齿轮固定，行星轮半径为r，在大轮上只滚不滑。设A和B是行星轮缘上的两点，点A在O1O的延长线上，而点B在垂直于O1O的半径上。求：点A和B的加速度。解:1、轮Ⅰ做平面运动，瞬心为C。2、选O为基点。√√√√√√求：车轮上速度瞬心的加速度。例6-13车轮沿直线滚动。已知车轮半径为R，中心O的速度为，加速度为，车轮与地面接触，无相对滑动。解：1、车轮做平面运动，瞬心为C。3、选O为基点工程力学理论力学篇——

动力学动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关系。动力学中所研究的力学模型是质点和质点系(包括刚体)。质点:具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计的物体。质点系：由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。刚体：质点系的一种特殊情形，其中任意两个质点间的距离保持不变，也称不变的质点系。

工程实际中的动力学问题舰载机从甲板上起飞

工程实际中的动力学问题若已知初速度、一定的时间间隔后飞离甲板时的速度，则需要弹射器施加多大推力，或者确定需要多长的跑道？若已知推力和跑道的可能长度，则需要多大的初速度和多长的时间隔后才能达到飞离甲板时的速度？载人飞船的交会与对接

工程实际中的动力学问题航空航天器的姿态控制

工程实际中的动力学问题高速列车的运行

第七章动力学基本方程和动能定理

§7.1

质点动力学基本方程7.1.1动力学基本定律7.1.2质点运动微分方程7.1.3质点动力学的两类基本问题

牛顿是17-18世纪英国物理学家、数学家、天文学家、爵士、国会议员、皇家学会会长等。1687年的巨作《自然哲学的数学原理》，开辟了大科学时代。

他发现的运动三定律和万有引力定律，为近代物理学和力学奠定了基础，他的万有引力定律和哥白尼的日心说奠定了现代天文学的理论基础。直到今天，人造地球卫星、火箭、宇宙飞船的发射升空和运行轨道的计算，都仍以此作为理论根据。

在2005年，英国皇家学会进行了一场“谁是科学史上最有影响力的人”的民意调查，在被调查的皇家学会院士和网民投票中，牛顿被认为比爱因斯坦更具影响力。牛顿及其在力学发展中的贡献★牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7种不同颜色的光合成的，他提出了光的微粒说。★牛顿在数学上的主要贡献是与莱布尼兹各自独立地发明了微积分，给出了二项式定理。★牛顿在力学上最重要的贡献，也是牛顿对整个自然科学的最重要贡献是他的巨著《自然哲学之数学原理》。这本书出版于1687年，书中提出了万有引力理论并且系统总结了前人对动力学的研究成果，后人将这本书所总结的经典力学系统称为牛顿力学。7.1.1动力学的基本定律

不受力作用的质点，将保持静止或做匀速直线运动。质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性。第一定律(惯性定律)在经典力学中质点的质量是守恒的

质点的质量越大，其运动状态越不容易改变，也就是质点的惯性越大。

因此，质量是质点惯性的度量。

上式是推导其它动力学方程的出发点，称为动力学基本方程。质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。第二定律(力与加速度关系定律)第三定律（作用与反作用定律）

两个物体间相互作用的作用力和反作用力总是大小相等、方向相反，沿着同一作用线同时分别作用在这两个物体上。

以牛顿定律为基础所形成的力学理论称为古典力学。

必须指出：质点受力与坐标无关，但质点的加速度与坐标的选择有关，因此牛顿第一、第二定律不是任何坐标都适用的。凡牛顿定律适用的坐标系称为惯性坐标系。反之为非惯性坐标系。

一般，把固定于地面的坐标系或相对于地面做匀速直线平动的坐标系作为惯性坐标系。7.1.2质点运动微分方程2.质点运动微分方程在直角坐标轴上投影3.质点运动微分方程在自然轴上投影1.矢量形式的质点运动微分方程7.1.3质点动力学的两类基本问题第一类基本问题：已知质点的运动，求作用在质点上的力。这类问题实质可归结为数学上的求导问题。第二类基本问题：已知作用在质点上的力，求质点的运动。这类问题实质可归结为数学上的解微分方程或求积分问题。例7-1OA=r，AB=l，λ=r/l比较小，以O为坐标原点，滑块B的运动方程可近似写为如滑块的质量为m，忽略摩擦及连杆AB的质量，试求当和时，连杆AB所受的力。xyOABφβω解：以滑块B为研究对象，当φ=ωt时，受力如图。连杆应受平衡力系作用，由于不计连杆质量，AB为二力杆，它对滑块B的拉力F沿AB方向。由题设的运动方程，可以求得

当时，且，得AB杆受的拉力xBmgFNFβ写出滑块沿x轴的运动微分方程xyOABφβω得

时，，而AB杆受压力。则有xBmgFNFβxyOABφβω

例7-2质量为1kg的小球M，用两绳系住，两绳的另一端分别连接在固定点A、B，如图。已知小球以速度v＝2.5m/s在水平面内做匀速圆周运动，圆的半径r＝0.5m,求两绳的拉力。解：以小球为研究对象，任一瞬时小球受力如图。方向指向O点。MOrBA45º60º小球在水平面内做匀速圆周运动。mgFBFAvanB60ºArOM

建立自然坐标系得：解得：分析:由(1)、(2)式可得:因此，只有当时，两绳才同时受力。否则将只有其中一绳受力。mgFBFAvanB60ºArOMbnt例7-3质量为m的小球以水平速度v0射入静水之中，如图所示。如水对小球的阻力F与小球速度v的方向相反，而大小成正比，即F=-cv。c为阻力系数。忽略水对小球的浮力，试分析小球在重力和阻力作用下的运动。xyxmaxv0vFmgOm

小球在任意位置M处，受力有重力mg和阻力F=–cvxi–cvyj。为求vx，vy将上两式分离变量，得解：小球沿x，y轴的运动微分方程为xyxmaxv0vFmgOM上两式的不定积分为按题意，t=0时，vx=v0，vy=0。代入上两式求得两个定积分常数将C1值代入式改写为可得xyxmaxv0vFmgOM整理为或

可得将D1值代入式可得可得xyxmaxv0vFmgOM取初始位置为坐标原点，即t=0时，x=y=0。代入上两式，求得常数再积分得xyxmaxv0vFmgOM则质点的运动方程为xyxmaxv0vFmgOM例7-4单摆M的摆锤重W,绳长l,悬于固定点O,绳的质量不计。设开始时绳与铅垂线成偏角

0≤/2,并被无初速释放，求绳中拉力的最大值。OMM0φφ0解:采用自然形式的运动微分方程

任意瞬时，质点的加速度在切向和法向的投影为写出质点的自然形式的运动微分方程

考虑到则式(1)化成OMM0φφ0enetanatOMM0φφ0FWanat对上式采用定积分,把初条件作为积分下限从而得F=W(3cos

2cos

0)显然,当质点M到达最低位置

=0时,有最大值。故

Fmax=W(32cos

0)把式(4)代入式，有

刚体对轴z的转动惯量定义为：刚体上所有质点的质量与该质点到轴z的垂直距离的平方乘积的算术和。即对于质量连续分布的刚体，上式可写成积分形式转动惯量不仅与质量有关，而且与质量的分布有关，单位:kg·m2。同一刚体对不同轴的转动惯量是不同的，而它对某定轴的转动惯量为常数。因此在谈及转动惯量时，必须指明哪一轴。§7.2刚体对轴的转动惯量

1.均质细杆一、

简单形状物体的转动惯量z1dxxxCzdxxxOl

设均质细杆长l，质量为m，取微段dx,则

2.均质薄圆环对于中心轴的转动惯量设细圆环的质量为m，半径为R。则3.均质圆板对于中心轴的转动惯量设圆板的质量为m，半径为R。将圆板分为无数同心的薄圆环，任一圆环的质量为dm＝r·2prdr,r＝m/pR2,于是圆板转动惯量为

工程上常用回转半径来计算刚体的转动惯量，其定义为如果已知回转半径，则物体的转动惯量为

回转半径的几何意义是：假想地将物体的质量集中到一点处，并保持物体对轴的转动惯量不变，则该点到轴的距离就等于回转半径的长度。对于几何形状相同的均质物体，其回转半径相同。二、回转半径(惯性半径)

定理：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积，即证明：将三、平行轴定理代入Jz，得y1yzdxmCOz=z1x=x1r1ryy1x1z1

在Cx1y1坐标系中，有质心坐标公式

由定理可知：刚体对于所有平行轴的转动惯量，过质心轴的转动惯量最小。则y1yzdxmCOz=z1x=x1r1ryy1x1z1

例7-5如图所示，已知均质杆的质量为m，对z1轴的转动惯量为J1，求杆对z2的转动惯量J2

。解：由，得(2)－(1)得zz1z2abC一、常力的功设物体在常力F作用下沿直线走过路程s，则力所做的功W定义为功是标量，表示力在一段路程上的累积作用效应。在国际单位制中，功的单位为J

(焦耳)：1J＝1N·m。sFF§7.3力的功二、变力的功

设质点M在变力F的作用下沿曲线运动，力F在微小弧段上所做的功称为力的元功,记为dW,于是有M'M1M2qdsMdrF力在全路程上做的功等于元功之和上式称为自然法表示的功的计算公式。称为矢径法表示的功的计算公式。在直角坐标系中上两式可写成矢量点积形式上式称为直角坐标法表示的功的计算公式，也称为功的解析表达式。1)重力的功

设质点的质量为m，在重力作用下从M1运动到M2，则代入功的解析表达式得三、常见力的功M1M2Mmgz1z2Oxyz对于质点系，其重力所做的功为

由此可见，重力的功仅与重心的始末位置有关，而与重心走过的路径无关。2)弹力的功(直线轨迹)l0δ1F2F1δ2yOA1A2弹力的功(任意轨迹)

物体受到弹性力的作用,作用点的轨迹为曲线A1A2,在弹簧的弹性极限内,弹性力的大小与其变形量d成正比。设弹簧原长为l0,则弹性力为A1A2r2r1d1d2l0Or0rAdFA0dr为沿矢径r方向

的单位矢量得或由

弹性力做的功只与弹簧在初始和末了位置的变形量有关，与力的作用点A的轨迹形状无关。A1A2r2r1d1d2l0Or0rAdFA0dr3)定轴转动刚体上作用力的功设作用在定轴转动刚体上A点的力为F,将该力分解为Ft、Fn和Fz，定轴转动时，转角j与弧长s有R为力作用点A到轴的垂直距离。FtFrFzFnOzO1Aq力F在刚体从角j1转到j2所做的功为力F的元功为其中4)摩擦力的功动滑动摩擦力的功圆轮沿固定面做纯滚动滚动摩擦阻力偶M的功静滑动摩擦力的功()通常M很小，因此vsFd5)平面运动刚体上力系的功即:平面运动刚体上力系的功,等于力系向质心简化所得的力和力偶做功之和.说明:(1)对任何运动的刚体,上述结论都适用;(2)C点不是质心,而是刚体上任意一点时,上述结论也成立。

平面力系向质心简化：主矢为F′R,主矩为MC。

当质心由C1移到C2

,转角由φ1转到φ2时,力系的功为a例7-6如图所示滑块重P＝9.8N，弹簧刚度系数k＝0.5N/cm，滑块在A位置时弹簧对滑块的拉力为2.5N，滑块在20N的绳子拉力作用下沿光滑水平槽从位置A运动到位置B，求作用于滑块上所有力的功之和。解：滑块在任一瞬时受力如图。由于P与N始终垂直于滑块位移，因此，它们所做的功为零。在运动过程中，T的大小不变，但方向在变，因此T的元功为T15cmBA20cmTPFN因此T在整个过程中所做的功为由题意：F在整个过程中所做的功为因此所有力的功为T15cmBA20cm

一、质点的动能

设质点的质量为m，速度为v，则质点的动能为动能是标量，在国际单位制中动能的单位是焦耳(J)。二、质点系的动能

质点系内各质点动能之和称为质点系的动能，即§7.4质点和质点系的动能

刚体是工程实际中常见的质点系，当刚体的运动形式不同时，其动能的表达式也不同。1)平移刚体的动能2)定轴转动刚体的动能三、刚体的动能3)平面运动刚体的动能由JP＝JC

+md

2得又d·w＝vC

,得平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与绕质心转动的动能之和。dwCP瞬心质心CvC均质圆盘在地面上做纯滚动时的动能:w解：I

为AB杆的瞬心例7-7均质细杆长为l，质量为m，上端B靠在光滑的墙上，下端A用铰与质量为M半径为R且放在粗糙地面上的圆柱中心相连，在图示位置圆柱做纯滚动，中心速度为v，杆与水平线的夹角

=45o，求该瞬时系统的动能。vAB

CI例7-8长为l，重为P的均质杆OA由球铰链O固定，并以等角速度w

绕铅直线转动，如图所示，如杆与铅直线的交角为a，求杆的动能。杆OA的动能是解：取出微段dr到球铰的距离为r，该微段的速度是微段的质量微段的动能aOrdrO1wPABCBjA例7-9滑块A以速度vA在滑道内滑动，其上铰接一质量为m，长为l的均质杆AB，杆以角速度w绕A转动，如图。试求当杆AB与铅垂线的夹角为j

时，杆的动能。解：AB杆做平面运动，其质心C的速度为速度合成矢量图如图。由余弦定理则杆的动能vAwjBAlvAvCAvCvAw§7.5动能定理一、质点的动能定理取质点运动微分方程的矢量形式在方程两边点乘dr，得因dr＝vdt，于是上式可写成或质点动能的增量等于作用在质点上的力的元功。积分上式，得或

在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于作用于质点的力做的功。二、质点系的动能定理

设质点系由n个质点组成，第i个质点的质量为mi，速度为vi，根据质点的动能定理的微分形式，有式中dWi表示作用在第i个质点上所有力所做的元功之和。

对质点系中每个质点都可以列出如上的方程，将n个方程相加，得即或

质点系动能的微分，等于作用在质点系上所有力所做的元功之和。对上式积分，得

质点系在某一运动过程中，起点和终点的动能的改变量，等于作用于质点系的全部力在这一过程中所做的功之和。1)光滑接触面2)固定端FyMFx三、理想约束刚性二力杆3)不可伸长的细绳4)铰链连接铰链固定铰链滚动铰链FNFyFx理想约束：约束力做功为零的约束。光滑接触面、不可伸长的绳索、铰链、固定端等约束，约束力均不做功，都是理