高中数学选修2-1知识点 (一)包括必修二要看的内容

中学数学选修2-1学问点（1）包括必修二要看的内

容

修高二数学选修2—1第一章：

命题与逻辑结构学问点：

1、命题：

用语言、符号或式子表达的，可以推断真假的陈述句.真命题：

推断为真的语句.假命题：

推断为假的语句.2、若p,则q形式的命题中的p称为命题

的条件，q称为命题的结论.3、对于两个命题，假如一个命题的条

件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命

题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.若原命

题为若P,则q,它的逆命题为若q,则P.4、对于两个命题,

假如一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结

论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另

一个称为原命题的否命题.若原命题为若P，则q，则它的否命

题为若P，则q.5、对于两个命题，假如一个命题的条件和结

论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为

互为逆否命题。

其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。

若原命题为若P,则q,则它的否命题为若q，则Po

6、四种命题的真假性：

原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真

假真真假假假假假四种命题的真假性之间的关系：

()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；()2两

个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.7、若pq

，则P是q的充分条件，q是P的必要条件.若的必要条

件.若pq，则P是q的充要条件(充分必要条件).8、用联

结词且把命题P和命题q联结起来，得到一个新命题，记作P

q.当P、q都是真命题时，pq是真命题；当P、q两个

命题中有一个命题是假命题时，Pq是假命题.用联结词或把命

题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq.当p、

q两个命题中有一个命题是真命题时，pq是真命题；当P、q两

个命题都是假命题时，Pq是假命题.对一个命题p全盘否定，

得到一个新命题，记作P.若P是真命题，则P必是假命题；

若P是假命题，则P必是真命题.9、短语对全部的、对随意一

个在逻辑中通常称为全称量词，用表示.含有全称量词的命题称

为全称命题.全称命题对中随意一个X,有()pX成立，记

作X,()pX.短语存在一个、至少有一个在逻辑中通常称

为存在量词，用表示.含有存在量词的命题称为特称命题.特

称命题存在中的一个X,使()PX成立，记作X,()P

x.10、全称命题P：

x,()px,它的否定p：

X,()PXO

全称命题的否定是特称命题。

特称命题P:

X,（）pX,它的否定P:

X,（）PXO

特称命题的否定是全称命题。

考占・

V八、、♦

1、充要条件的判定2、命题之间的关系典型例题：

（必需看看）下面四个条件中，使ab成立的充分而不

必要的条件是A.lab+B.1abC.22abD.3

3ab#2.已知命题P：

nN,2n>1000,贝!JP为A.nN,2n1000

B.nN,2n>1000C.nN,2n1000D.nN,

2n<1000★3.1||1xx是的A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不

必要条件其次章：

圆锥曲线学问点：

其次章：

圆锥曲线学问点：

11、求曲线的方程（点的轨迹方程）的步骤：

建、设、写（几何条件）、代、化①建立适当的直角坐标系；

②设动点（），Mxy及其他的点；③找出满意限制条件的等式；

④将点的坐标代入等式；⑤化简方程，并验证（查漏除杂）。

12、平面内与两个定点IF,2F的距离之和等于常数（大于

12FF)的点的轨迹称为椭圆。

这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距。

()12222MFMFaac+=13、椭圆的几何性质：

焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程

()22221Oxyabab+=()22221Oyxabab+=范围

axa且bybbxb且aya顶点()1,0a、

()2,Oa()10,b、()20,b()10,a、()20,a()1,0

b、()2,Ob轴长短轴的长2b=长轴的长2a=焦

点()l,OFc、()2,0Fc()10,Fc、()20,Fc焦

距()222122FFccab==,a最大对称性关于x轴、y

轴对称，关于原点中心对称离心率()2210lcbeeaa==准

线方程2axe=2ayc=15、平面内与两个定点IF,2F的距离之

差的肯定值等于常数(小于12FF)的点的轨迹称为双曲线。

这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦

距。

()12222MFMFaac=16、双曲线的几何性质:

焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程

()222210,Oxyabab=()222210,Oyxabab=范

围xa或xa,yRya或ya,xR顶点()1,0

a、()2,0a()10,a、()20,a轴长虚轴的长2b

=实轴的长2a=焦点()1,0Fc、()2,0Fc()10,

Fc.()20,Fc焦距()222122FFccab==+,c最

大对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称离心率

（）221lcbeeaa==+准线方程2axe=2ayc=渐近线方程

byxa=ayxb=17、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。

18、平面内与一个定点F和一条定直线1的距离相等的点的

轨迹称为抛物线.定点F称为抛物线的焦点，定直线1称为抛物线

的准线.19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两

点的线段，称为抛物线的通径，即2p=.20、焦半径公式：

若点（）00,xy在抛物线（）220ypxp=上，焦点为F,

则02pFx=+；若点（）00,xy在抛物线（）220ypxp=上,

焦点为F,则02pFx=+；若点（）00,xy在抛物线（）220

xpyp=上，焦点为F,则02pFy=+；若点（）00,xy在

抛物线（）220xpyp=上，焦点为F,则02pFy=+.21、

抛物线的几何性质：

标准方程22ypx=（）0p22ypx=（）0p22xpy

=（）0p22xpy=（）0p图形顶点（）0,0对称轴x

轴y轴焦点，02pF,02pF0,2pF

0,2pF准线方程2Px=2px=2py=

2py=离心率1e=范围Ox0x0y0y考点：

1、圆锥曲线方程的求解2、直线与圆锥曲线综合性问题

3、圆锥曲线的离心率问题典型例题：

★★1.设双曲线的左准线与两条渐近线交于，AB两点，左

焦点在以AB为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为

A.(0,2)B.(1,2)C.2(,1)2D.(2,)+

★★★2.设椭圆22221(0)xyabab+=的左、右焦点分别为

F1,F2o

点(，)Pab满意212||||.PFFF=(I)求椭

圆的离心率e；(II)设直线PF2与椭圆相交于A,B两点，

若直线PF2与圆22(1)(3)16xy++=相交于M,N两点,

且5||||8MNAB=,求椭圆的方程。

第三章：

空间向量学问点：

1、空间向量的概念：

()1在空间，具有大小和方向的量称为空间向量.()2向

量可用一条有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小，箭头

所指的方向表示向量的方向.()3向量的大小称为向量

的模(或长度)，记作.()4模(或长度)为0的向量

称为零向量；模为1的向量称为单位向量.()5与向量a长度

相等且方向相反的向量称为a的相反向量，记作a.()6方

向相同且模相等的向量称为相等向量.2、空间向量的加法和减法：

()1求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边

形法则.即：

在空间以同一点为起点的两个已知向量a、b为邻边作平

行四边形C，则以起点的对角线C就是a与b的

和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则.()2

求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则.即:

在空间任取一点，作a=,b=,

则ab=.3、实数与空间向量a的乘积a

是一个向量，称为向量的数乘运算.当0时，a与a方向相

同；当0时，a与a方向相反；当0=时一，a为零向

量，记为0.a的长度是a的长度的倍.4、设，为

实数，a,b是空间随意两个向量，则数乘运算满意安排律及结

合律.安排律：

()abab+=+；结合律：

()()aa=.5、假如表示空间的有向线段所在的

直线相互平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定

零向量与任何向量都共线.6、向量共线的充要条件：

对于空间随意两个向量a,()0bb,//ab的

充要条件是存在实数，使ab=.7、平行于同一个平面的

向量称为共面对量.8、向量共面定理：

空间一点位于平面C内的充要条件是存在有序实数对x,

y,使xyC=+；或对空间任肯定

点，有xyC=++；

或若四点，，，C共面，则()lxyzCxyz=+++

+=.9、已知两个非零向量

a和b,在空间任取一点，作a=,b=

,则称为向量a,b的夹角，记作，ab.两个

向量夹角的取值范围是:

[],0,ab10、对于两个非零向量a和b

若，2ab=,则向量a,b相互垂直，记作ab

.11＞已知两个非零向量a和b,则cos,ab

ab称为a,b的数量积，记作ab

.即cos,ababab=.零向量

与任何向量的数量积为0.12、ab等于a的长度a与

b在a的方向上的投影cos,bab的乘积.13若

a,b为非零向量，e为单位向量，则有()1cos,eaae

aae==；()20abab=

；()3()()ababababab=

与同向与反向，2aaa=,aaa=；

()4cos,ababab=；()5abab

.14量数乘积的运算律：

()1abba=；()2()()()ababa

b==；()3()abcacbc+=+

.15、空间向量基本定理：

若三个向量a,b,c不共面，则对空间任一向量p,

存在实数组{},,xyz,使得pxaybzc=++.16、

三个向量a,b,c不共面，则全部空间向量组成的集合是

{},,,ppxaybzcxyzR=++.这个集合

可看作是由向量a,b,c生成的，{},,abc称

为空间的一个基底，a,b,c称为基向量.空间随意三个

不共面的向量都可以构成空间的一个基底.17、设le,2e,

3e为有公共起点的三个两两垂直的单位向量(称它们为单位正

交基底)，以le,2e,3e的公共起点为原点，分别

以le,2e,3e的方向为x轴，y轴，z轴的正方

向建立空间直角坐标系xyz.则对于空间随意一个向量p,肯定

可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向量P

=.存在有序实数组{},,xyz,使得123Pxeye

ze=++.把x,y,z称作向量p在单

位正交基底le,2e,3e下的坐标，记作()，，px

yz=.此时，向量p的坐标是点在空间直角坐标系xyz中

的坐标()，，xyz.18、设()111,,axyz=,()2

22,,bxyz=,则()1()121212,,abxxyyz

z+=+++.()2()121212,,abxxyyzz=

.()3()111,,axyz=.()4121212a

bxxyyzz=++.()5若a、b为非零向量，则

1212120Oababxxyyzz=++=.()

6若Ob，则121212//,,ababxxyyzz=

===.()7222111aaaxyz==++.()

8121212222222111222cos,xxyyzzababab

xyzxyz++==++++.()9()111),

xyz,()222,,xyz=，则()()()22221212

ldxxyyzz=++19、在空间中，取肯定点作

为基点，那么空间中随意一点的位置可以用向量来表

示.向量称为点的位置向量.20、空间中随意一条直线

1的位置可以由1上一个定点以及一个定方向确定•点是直线

1上一点，向量a表示直线1的方向向量，则对于直线1上的随

意一点，有ta=,这样点和向量a不仅可以确定

直线1的位置，还可以详细表示出直线1上的随意一点.21、空

间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定•设这两条相交

直线相交于点，它们的方向向量分别为a,b为平面上

随意一点，存在有序实数对（），xy,使得xayb=+

，这样点与向量a,b就确定了平面的位置.22、

直线1垂直，取直线1的方向向量a,则向量a称为平面

的法向量.23、若空间不重合两条直线a,b的方向向量分别为

ab,则〃//abab()abR=，0ab

abab24、若直线a的方向向量为a，平

面的法向量为n且a,则〃〃aa0anan=

,//aaanan.25、若空

间不重合的两个平面的法向量分别为ab,贝IJ////a

bab=，0abab.26、设

异面直线a,b的夹角为,方向向量为ab,,则有cos

cosababab==27、设直线1的方向向量为

1,平面的法向量为n1与所成的角为91与n的

夹角为力，则有sincoslnln4>==.28、设In,

2n是二面角1的两个面，的法向量，则向量In,

2n的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小.若二面

角1的平面角为，若为锐角则121212coscosnnnnn

n=.若为钝角则121

212coscosnnnnnn==

.29、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量

的模计算.30、在直线1上找一点，过定点

且垂直于直线1的向量为n,则定点到直线1的距离为

cos,ndnn==.31、

点是平面外一点，是平面内的肯定点，n为平面的一个

法向量，则点到平面的距离为cos,ndnn=

二.考点：

1、利用空间向量证明线线平行、线线垂直2、利

用空间向量证明线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直

3、利用空间向量证明线线角、线面角、面面角问题。

（以上是重点，好好看老师上课总结的笔记）典型例题：

★★1.已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的

中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为。

★★★2.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形,

ACB=90,EA平面ABCD,〃EFAB,FG〃：BC,E

G//AC.AB=2EF.（I）若M是线段AD的中点，求证:

GM//平面ABFE;(H)若AC=BC=2AE,求二面角

A-BF-C的大小.★★★?.如图，在五棱锥PABCDE中，PA平

面ABCDE,AB//CD,AC//ED,AE//BC,42,22,45====AE

BCABABC,三角形PAB是等腰三角形。

(I)求证：

平面PCD平面PAC；(II)求直线PB与平面PCD所成

角的大小；(IID求四棱锥PACDE的体积。

必修二要看，重点看图黄色部分内容4、空间点、直线、平

面的位置关系((1)平面①①平面的概念：

A.描述性说明；B.平面是无限伸展的；②②平面的

表示：

通常用希腊字母、、表示，如平面(通常写在一个锐角内)；也

可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BCo

③③点与平面的关系：

点A在平面内，记作A；点A不在平面内，记作A

点与直线的关系：

点A的直线1上，记作：

A1；点A在直线1外，记作A1；直线与平面的

关系：

直线1在平面内，记作1；直线1不在平面内，记作1。

((2)公理1：

假如一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是全部的点都

在这个平面内。

(即直线在平面内，或者平面经过直线)应用：

检验桌面是否平；推断直线是否在平面内理用符号语言表

示公理1:

,,,A1B1AB1((3)公理2：

经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论：

始终线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两

平行直线确定一平面。

理公理2及其推论作用：

①它是空间内确定平面的依据②它是证明平面重合的依据

((4)公理3：

假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条

过该点的公共直线符号：

平面和相交，交线是a,记作=ao

符号语言：

,PABAB1P1=理公理3的作用：

①它是判定两个平面相交的方法。

②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：

交线必过公共点。

③它可以推断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。

((5)公理4：

平行于同一条直线的两条直线相互平行((6)空间直线与

直线之间的位置关系①①异面直线定义：

不同在任何一个平面内的两条直线②②异面直线性质：

既不平行，又不相交。

③③异面直线判定：

过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是

异面直线④④异面直线所成角：

直线a、b是异面直线，经过空间随意一点0,分别引直线a

//a,b〃b,则把直线a和b所成的锐角(或直角)叫做异面

直线a和b所成的角。

两条异面直线所成角的范围是(0,90],若两条异面直

线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线相互垂直。

说明：

(1)判定空间直线是异面直线方法：

①依据异面直线的定义；②异面直线的判定定理(2)在异

面直线所成角定义中，空间一点0是任取的，而和点0的位置无关。

②求异面直线所成角步骤：

A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时

平移到某个特别的位置，顶点选在特别的位置上。

B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角

((7)等角定理：

假如一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等

或互补。

((8)空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内有

多数个公共点.三种位置关系的符号表示：

aa=Aa//((9)平面与平面之间的位置

关系：

平行没有公共点；〃相交有一条公共直线。

=b5、空间中的平行问题((1)直线与平面平行的判定

及其性质线面平行的判定定理：

平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面

平行。

线线平行线面平行线面平行的性质定理：

假如一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面

相交，那么这条直线和交线平行。

线面平行线线平行((2)平面与平面平行的判定及其性

质两个平面平行的判定