中考数学真题及答案

2008年北京市高级中等学校招生考试

数学试卷

1.本试卷分第I卷和第n卷，第I卷共2页，第n卷共8页.全

考

卷共九道大题，25道小题.

生

2.本试卷满分120分，考试时间120分钟.

须

在试卷（包括第卷和第卷）密封线内准确填写区（县）

如3.In

名称、毕业学校、姓名、报名号和准考证号.

4.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

第I卷（机读卷共32分）

考

生1.第I卷从第1页到第2页，共2页，共一道大题，8道小题.

须2.考生须将所选选项按要求填涂在答题卡上，在试卷上作答无

“效.

一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）

下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.用铅笔把“机读答

题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑.

1.-6的绝对值等于（）

A.6B.-C.--D.-6

66

2.截止到2008年5月19H,已有21600名中外记者成为北京奥运会的注

册记者，创历届奥运会之最.将21600用科学记数法表示应为（）

A.0.216xl05B.21.6xl03C.2.16xl03D.2.16xl04

3.若两圆的半径分别是1cm和5cm,圆心距为6cm,则这两圆的位置关系

是（）

A.内切B.相交C.外切D.外离

4.众志成城，抗震救灾.某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区,

他们捐款的数额分别是（单位：元）：50,20,50,30,50,25,135.这组数

据的众数和中位数分别是（）

A.50,20B.50,30C.50,50D.135,50

5.若一个多边形的内角和等于720,则这个多边形的边数是（)

A.5B.6C.7D.8

6.如图，有5张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有北京奥运

会的会徽、吉祥物（福娃）、火炬和奖牌等四种不同的图案，背面完全相同.现

将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面

图案恰好是吉祥物（福娃）的概率是（）

7.若卜+2|+正石=。，则W的值为（）

A.-8B.-6C.5D.6

8.已知。为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点尸在Q欣上.一只蜗

牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如右图所

示.若沿将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（）

D.

2008年北京市高级中等学校招生考试

数学试卷

第n卷（非机读卷共88分）

1.第n卷从第1页到第8页，共8页，共八道大题，17道小题.

考生

2.除画图可以用铅笔外，答题必须用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔或

须知：

签字笔.

二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）

9.在函数y=中，自变量x的取值范围是.

2x-lA

10.分解因式："2=.

B乙-------

11.如图，在△ABC中，D,£分别是AB,AC的中点，

若DE=2cm,则BC=cm.

A2h5A8A11

12.一组按规律排列的式子：旦,勺，-彳，一，…（或#0）,其

aaaa

中第7个式子是,第〃个式子是（九为正整数）.

三、解答题（共5道小题，共25分）

13.（本小题满分5分）

计算：V8-2sin45+（2—兀）。—.

解:

14.（本小题满分5分）

解不等式5x-12W2（4x-3）,并把它的解集在数轴上表示出来.

解：..............

-3-2-10123

15.（本小题满分5分）

已知：如图，。为BE上一点，点A。分别在破两侧.AB//ED,AB=CE,

BC=ED.

求证：AC=CD.

证明：

16.（本小题满分5分）

如图，已知直线y=区-3经过点M,求此直线与x轴，y轴的交点坐标.

解:

17.（本小题满分5分）

已知x-3y=0,求,2X+'__的值.

x-2孙+丁

解：

四、解答题（共2道小题，共10分）

18.（本小题满分5分）

如图，在梯形ABCD中，AD//BC,ABLAC,ZB=45,AD=正,

BC=4四,求。C的长.

解：

19.（本小题满分5分）

已知：如图，在Rt^ABC中，NC=90,点。在A3上，以。为圆心，OA

长为半径的圆与AC,AB分别交于点DE,且NCBD=NA.

（1）判断直线血与OO的位置关系，并证明你的结论；

（2）若AD:AO=8:5,BC=2,求的长.\

解：⑴U-Q—）E

(2)

五、解答题（本题满分6分）

20.为减少环境污染，自2008年6月1日起，全国的商品零售场所开始实

行“塑料购物袋有偿使用制度”（以下简称“限塑令”）.某班同学于6月上旬

的一天，在某超市门口采用问卷调查的方式，随机调查了“限塑令”实施前后，

顾客在该超市用购物袋的情况，以下是根据100位顾客的100份有效答卷画出的

统计图表的一部分：

“限塑令”实施后，使用各

“限塑令”实施前，平均一次购

物使用不同数量塑料购物袋的人

“限塑令”实施后，塑料购物袋使用后的处理方式统计表

处理方式直接丢弃直接做垃圾袋再次购物使用其它

选该项的人数

占

5%35%49%11%

总人数的百分

比

请你根据以上信息解答下列问题:

（1）补全图1,“限塑令”实施前，如果每天约有2000人次到该超市购

物.根据这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数，估计这个超市每

天需要为顾客提供多少个塑料购物袋？

（2）补全图2,并根据统计图和统计表说明，购物时怎样选用购物袋，塑

料购物袋使用后怎样处理，能对环境保护带来积极的影响.

解：⑴

(2)

六、解答题（共2道小题，共9分）

21.（本小题满分5分）列方程或方程组解应用题:

京津城际铁路将于2008年8月1日开通运营，预计高速列车在北京、天津

间单程直达运行时间为半小时.某次试车时，试验列车由北京到天津的行驶时间

比预计时间多用了6分钟，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同.如果这

次试车时，由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶40千米，则这次试车

时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？

解：

22.（本小题满分4分）

已知等边三角形纸片ABC的边长为8,。为48边上的点，过点。作

交AC于点G.DELBC于点E,过点G作GF于点尸，把三角

形纸片ABC分别沿DG,DE,GF按图1所示方式折叠，点AB,。分别落在点

4,B',C处.若点4,B',C在矩形DEEG内或其边上，且互不重合，此

（1）若把三角形纸片ABC放在等边三角形网格中（图中每个小三角形都

是边长为1的等边三角形），点AB,C,。恰好落在网格图中的格点上.如图

2所示，请直接写出此时重叠三角形的面积；

（2）实验探究：设AO的长为加，若重叠三角形A'8'C'存在.试用含机的

代数式表示重叠三角形的面积，并写出机的取值范围（直接写出结果，备

用图供实验，探究使用）.

备用图备用图

解：（1）重叠三角形的面积为；

（2）用含加的代数式表示重叠三角形A'3'C'的面积为；〃［的取值范

围为.

七、解答题（本题满分7分）

23.已知：关于x的一元二次方程ra?-（3〃7+2）》+2m+2=0（〃7〉0）.

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两个实数根分别为毛，马（其中药＜々）.若y是关于机的

函数，且丁=%-2西，求这个函数的解析式；

（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量机的取值范围满

足什么条件时，yW2m.

（1）证明：

（2）解：

（3）解：

>x

八、解答题(本题满分7分)

24.在平面直角坐标系x0y中，抛物线、=必+法+。与x轴交于A3两点

(点A在点8的左侧)，与y轴交于点C,点8的坐标为(3,0),将直线y=近沿

y轴向上平移3个单位长度后恰好经过BC两点.

(1)求直线及抛物线的解析式；

(2)设抛物线的顶点为。，点尸在抛物线的对称轴上，S.ZAPD=ZACB,

求点尸的坐标；

(3)连结C£>,求NOC4与NOCD两角和的度数.九、

解：⑴4-

3-

2-

1-

J___I_______I___I___I___I___>V-

-2-101234

-1-

-2-

(2)

(3)

九、解答题(本题满分8分)

25.请阅读下列材料：

问题：如图1,在菱形ABCD和菱形班户G中，点AB,E在同一条直线上,

尸是线段。尸的中点，连结PG,PC.^ZABC=ZBEF=60,探究PG与PC的

位置关系及空的值.

PC

小聪同学的思路是：延长GP交。C于点构造全等三角形，经过推理使

问题得到解决.

请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：

（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及空的值；

PC

（2）将图1中的菱形5EFG绕点B顺时针旋转，使菱形班FG的对角线8方

恰好与菱形ABCD的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图

2）.你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明.

（3）若图1中ZABC=NBEF=2a（0<a<90）,将菱形BEFG绕点B顺时

针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出生的值（用含a的

PC

式子表示）.

解：（1）线段PG与PC的位置关系是；如=.

PC

(2)

2008年北京市高级中等学校招生考试

数学试卷答案及评分参考

阅卷须知：

1.一律用红钢笔或红圆珠笔批阅，按要求签名.

2.第I卷是选择题，机读阅卷.

3.第n卷包括填空题和解答题.为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得

较为详细，考生只要写明主要过程即可.若考生的解法与本解法不同，正确者可

参照评分参考给分.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分

数.

第I卷（机读卷共32分）

一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）

题号12345678

答案ADCCBBBD

第II卷（非机读卷共88分）

二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）

题号9101112

1QT

答案XW—a(a+b)(a-b)4(-1)--

2a1an

三、解答题（共5道小题，共25分）

13.（本小题满分5分）

解：V8-2sin45+（2—兀）。—

=2V2-2x—+1-3.....................................................................................4分

2

=y/2-2................................................................................................................5分

14.（本小题满分5分）

解：去括号，得5x-12W8x-6・.....................................................................1分

移项，得5x—8xW—6+12.................................................................................2分

合并，得一3x<6・................................................................................................3分

系数化为1,得％2......................................................................................4分

不等式的解集在数轴上表示女手_________

।，।।।।।

-3-2-10123

....................................................................................................................................5分

15.（本小题满分5分）

证明：AB//ED,

:.ZB=ZE.............................................................................................................2分

在△ABC和△CED中，

AB=CE,

<ZB=NE,

BC=ED,

:.AABC当ACED...............................................................................................4分

:.AC=CD............................................................................................................5分

16.（本小题满分5分）

解：由图象可知，点”（-2,1）在直线y=3上，..................1分

:.-2k—3=l.

解得上=—2............................................................................................................2分

...直线的解析式为y=—2x—3................................................................................3分

令y=0,可得1二一^.

直线与X轴的交点坐标为'.............................4分

令％=0,可得y=-3.

・・・直线与y轴的交点坐标为（0,—3）...........................................................5分

17.（本小题满分5分）

解:「；：尸口）

2x+y

<x-y)2分

(x—y)2

2x+y

......................................................................................................3分

x-y

当x-3y=0时，x=3y.............................................................................4分

原式仁7

..............................................................................5分

2

四、解答题（共2道小题，共10分）

18.（本小题满分5分）

解法一：如图1,分别过点A。作AELBC于点E,

£)b，3。于点尸................1分

AE//DF.

又AD〃5C,

四边形AEFD是矩形.

图1

：.EF=AD=0................................2分

AB±AC,4=45,BC=4心,

AB—AC.

AE=EC=-BC=141.

2

DF=AE=2V2,

CF=EC-EF=也.........................................................................................4分

在RtZkDEC中，ZDFC=90,

r.DC=JDF?+CF?=J（2应）+（0）2=屈..................5分

解法二：如图2,过点。作。尸〃AB,分别交AC,BC于点E,E.…」分

AB±AC,

:.ZAED=ZBAC=90.公，中

…a

:.ZDAE=1SO-ZB-ZBAC=45.图2

在Rt^ABC中，ZBAC=90,ZB=45,BC=4插,

AC=BC.sin45=4A/2X—=4................................................................2分

2

在Rt^ADE中，ZAED=90,ZDAE=45,AD=^2,

:.DE=AE=L

:.CE=AC-AE=3....................................................................................4分

在RtZV）EC中，NCED=90,

DC=A/D£2+CE2=712+32=y/10........................................................5分

19.（本小题满分5分）

解：（1）直线血与：_O相切.1分

证明：如图1,连结00.

OA=OD,

:.ZA=ZADO.

ZC=90,:.ZCBD+ZCDB=90

又ZCBD=ZA,

:.ZADO+ZCDB=90.

:.ZODB=90.

直线BD与相切.................................................................................2分

(2)解法一：如图1,连结DE.

AE是。的直径,:.ZADE=90.

AD;AO=8;5,

cosA=----=—...........................................................................................3分

AE5

ZC=90,ZCBD=ZA,

RC4

cosZCBD=-=-................................................................................4分

BD5

BC=2,:.BD=-....................................................................5分

2

解法二：如图2,过点。作OHLAD于点

AD;AO=8:5,

“AH4

...cosA------3分

AO5

ZC=90,ZCBD=ZA,

BC4

cosZCBD=—4分

BD5

BC=2,

:.BD=~.....................................................................................................5分

2

五、解答题(本题满分6分)

解：(1)补全图1见下图.....................................1分

“限塑令”实施前，平均一次购

物使用不同数量塑料购物袋的人

9x1+37x2+26x3+11x4+10x5+4x6+3x7300/人、

==J<\).

100100

这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数为3个.......3分

2000x3=6000.

估计这个超市每天需要为顾客提供6000个塑料购物袋.............4分

(2)图2中，使用收费塑料购物袋的人数所占百分比为25%.............5分

根据图表回答正确给1分，例如：由图2和统计表可知，购物时应尽量使

用自备袋和押金式环保袋，少用塑料购物袋；塑料购物袋应尽量循环使用，以便

减少塑料购物袋的使用量，为环保做贡献............................6分

六、解答题(共2道小题，共9分)

21.解：设这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时x千米，则由

天津返回北京的平均速度是每小时(x+40)千米.......................1分

依题意，得^^X=L(X+40).................................................................3分

602

解得x=200....................................................................................4分

答：这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时200千米.5分

22.解：（1）重叠三角形A，9c的面积为也..................1分

（2）用含加的代数式表示重叠三角形A'3'C'的面积为6（4-冽了；•・…2分

Q

机的取值范围为一Wzn<4................................................................................4分

3

七、解答题（本题满分7分）

23.（1）证明：<如2_（3加+2）%+2加+2=0是关于x的一元二次方程，

A=[—（3m+2）]2—4m（2m+2）=m2+4m+4=（m+2）2.

当相>0时，（加+2）2>0,即A>0.

/.方程有两个不相等的实数根........................................................................2分

（2）解：由求根公式，得/=（32）±（2）.

2m+2

x=---------或x=l..........................................................................................3分

m

m>0,

2m+2_2(m+D>]

mm

1药<马，

12m+2

•.%=1,%2=........................................................................................4分

m

2m+2

y=x-2石-2x1=—.

2mm

7…

即y=—（m>0）为所求.......5分y八

4-

m./y=2m(m>0)

3：/2

（3）解：在同一平面直角坐标系中分别画出

2y=一(m>0)

21/;

y--（加>0）与丁=2m（m>0）的图象.一-4-3-2-kip1234x

m一1-

-2-

................................................................6分

-3-

-4-

由图象可得，当时，y^2m.7分

八、解答题（本题满分7分）

24.解：（1）y=-沿y轴向上平移3个单位长度后经过y轴上的点C,

C(0,3).

设直线BC的解析式为y=kx+3.

3（3,0）在直线上，

3左+3=0.

解得人=—1.

/.直线BC的解析式为y=-x+3....................................................................1分

抛物线)=/+"+c过点BC,

9+3Z?+c=0,

。=3.

解得

c=3.

：.抛物线的解析式为y=f—4x+3...............................................................2分

(2)由y=%2-4x+3.

可得0(2,—1),4(1,0).

..05=3,OC=3,04=1,AB=2.

可得△03。是等腰直角三角形.

ZOBC=45,CB=372.

图1

如图1,设抛物线对称轴与x轴交于点厂,

AF=—AB=1.

2

过点A作AELBC于点E.

:.ZAEB=90.

可得BE=AE=后,CE=2近.

在△AEC与尸中，ZAEC=ZAFP=90,ZACE=ZAPF,

:△AECsAAFP.

,AE_CEV2_272

"AF~PFf1~PF'

解得P/=2.

点P在抛物线的对称轴上，

.•.点P的坐标为(2,2)或(2,—2).................................................................5分

(3)解法一：如图2,作点A(l,0)关于y轴的对称点4,则4(-1,0).

连结AC,AD,

可得4C=AC=A，ZOCA=ZOCA.

由勾股定理可得。。2=20,AD1=10.

4

又4c2=io,