备考2024高考一轮总复习数学人教a版第二章§2.2　函数的单调性与最值

§2.2函数的单调性与最值考试要求1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.掌握函数单调性的简单应用．知识梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)∀x∈I，都有f(x)≤M；(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M(1)∀x∈I，都有f(x)≥M；(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值常用结论1．∀x1，x2∈D且x1≠x2，有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间D上单调递增(减)．2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝eq\f(1,fx)的单调性相反．4．复合函数的单调性：函数y＝f(u)，u＝φ(x)在函数y＝f(φ(x))的定义域上，如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相同，那么y＝f(φ(x))单调递增；如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反，那么y＝f(φ(x))单调递减．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若f(x)的定义域为R，且f(－3)<f(2)，则f(x)为R上的增函数．(×)(2)函数f(x)在(－2,3)上单调递增，则函数的单调递增区间为(－2,3)．(×)(3)因为y＝x与y＝ex都是增函数，所以y＝xex在定义域内为增函数．(×)(4)函数y＝eq\f(1,x)的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)教材改编题1．下列函数中，在区间(0,1)上单调递增的是()A．y＝|x＋1| B．y＝2－xC．y＝eq\f(1,x) D．y＝x2－x＋1答案A2．函数y＝eq\f(x,x－1)在区间[2,3]上的最大值是________．答案2解析函数y＝eq\f(x,x－1)＝1＋eq\f(1,x－1)在[2,3]上单调递减，当x＝2时，y＝eq\f(x,x－1)取得最大值eq\f(2,2－1)＝2.3．函数y＝eq\f(a,x－1)在(－∞，1)上为增函数，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，0)题型一确定函数的单调性命题点1求具体函数的单调区间例1(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是()A．y＝ex－e－x B．y＝|x2－2x|C．y＝x＋cosx D．y＝eq\r(x2＋x－2)答案AC解析∵y＝ex与y＝－e－x为R上的增函数，∴y＝ex－e－x为R上的增函数，故A正确；由y＝|x2－2x|的图象知，故B不正确；对于选项C，y′＝1－sinx≥0，∴y＝x＋cosx在R上为增函数，故C正确；y＝eq\r(x2＋x－2)的定义域为(－∞，－2]∪[1，＋∞)，故D不正确．命题点2判断或证明函数的单调性例2试讨论函数f(x)＝eq\f(ax,x－1)(a≠0)在(－1,1)上的单调性．解方法一设－1<x1<x2<1，f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－1＋1,x－1)))＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x－1)))，f(x1)－f(x2)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x1－1)))－aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x2－1)))＝eq\f(ax2－x1,x1－1x2－1)，由于－1<x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．方法二f′(x)＝eq\f(ax′x－1－axx－1′,x－12)＝eq\f(ax－1－ax,x－12)＝－eq\f(a,x－12).当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．教师备选1．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是__________．答案[0,1)解析由题意知g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x>1，,0，x＝1，,－x2，x<1，))该函数的图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)．2．已知a>0，函数f(x)＝x＋eq\f(a,x)(x>0)，证明：函数f(x)在(0，eq\r(a)]上单调递减，在[eq\r(a)，＋∞)上单调递增．证明方法一(定义法)设x1>x2>0，f(x1)－f(x2)＝x1＋eq\f(a,x1)－x2－eq\f(a,x2)＝(x1－x2)＋eq\f(ax2－x1,x1x2)＝eq\f(x1－x2x1x2－a,x1x2)，∵x1>x2>0，∴x1－x2>0，x1x2>0，当x1，x2∈(0，eq\r(a)]时，0<x1x2<a，∴x1x2－a<0，∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(0，eq\r(a)]上单调递减，当x1，x2∈[eq\r(a)，＋∞)时，x1x2>a，∴x1x2－a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[eq\r(a)，＋∞)上单调递增．方法二(导数法)f′(x)＝1－eq\f(a,x2)＝eq\f(x2－a,x2)(x>0)，令f′(x)>0⇒x2－a>0⇒x>eq\r(a)，令f′(x)<0⇒x2－a<0⇒0<x<eq\r(a)，∴f(x)在(0，eq\r(a)]上单调递减，在[eq\r(a)，＋∞)上单调递增．思维升华确定函数单调性的四种方法(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．跟踪训练1(1)函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4))答案D解析f(x)＝ln(4＋3x－x2)的定义域为(－1,4)．令t＝4＋3x－x2，对称轴为x＝eq\f(3,2)，故单调递增区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2)))，单调递减区间为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4))，因为y＝lnt为增函数，所以f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4)).(2)函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是________．答案[1,2]解析f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥2，,－x2＋2x，x<2.))画出f(x)的大致图象(如图所示)，由图知f(x)的单调递减区间是[1,2]．题型二函数单调性的应用命题点1比较函数值的大小例3(2022·成都模拟)已知函数f(x)为R上的偶函数，对任意x1，x2∈(－∞，0)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，若a＝f(ln

eq\r(2))，b＝f()，c＝f()，则a，b，c的大小关系是()A．c<b<a B．a<c<bC．a<b<c D．c<a<b答案B解析∵对任意x1，x2∈(－∞，0)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，∴此时函数在区间(－∞，0)上单调递减，∵f(x)是偶函数，∴当x∈(0，＋∞)时，f(x)单调递增，又f(x)＝在x∈(0，＋∞)上单调递增，∴1<<，又0<ln

eq\r(2)<1，∴ln

eq\r(2)<<，∴>>f(ln

eq\r(2))，即a<c<b.命题点2求函数的最值例4(2022·深圳模拟)函数y＝eq\f(\r(x2＋4),x2＋5)的最大值为________．答案eq\f(2,5)解析令eq\r(x2＋4)＝t，则t≥2，∴x2＝t2－4，∴y＝eq\f(t,t2＋1)＝eq\f(1,t＋\f(1,t))，设h(t)＝t＋eq\f(1,t)，则h(t)在[2，＋∞)上为增函数，∴h(t)min＝h(2)＝eq\f(5,2)，∴y≤eq\f(1,\f(5,2))＝eq\f(2,5)(x＝0时取等号)．即y的最大值为eq\f(2,5).命题点3解不等式例5已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－log2(x＋2)，若f(a－2)>3，则a的取值范围是________．答案(0,1)解析由f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－log2(x＋2)知，f(x)在定义域(－2，＋∞)上是减函数，且f(－1)＝3，由f(a－2)>3，得f(a－2)>f(－1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2<－1，,a－2>－2，))解得0<a<1.命题点4求参数的取值范围例6函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax，x≥1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(a,2)))x＋2，x<1，))且满足对任意的实数x1≠x2都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0成立，则实数a的取值范围是()A．[4,8) B．(4,8)C．(1,8] D．(1,8)答案A解析函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax，x≥1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(a,2)))x＋2，x<1))满足对任意的实数x1≠x2都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0，所以函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax，x≥1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(a,2)))x＋2，x<1))是R上的增函数，则由指数函数与一次函数的单调性可知应满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,4－\f(a,2)>0，,a≥4－\f(a,2)＋2，))解得4≤a<8，所以实数a的取值范围为[4,8)．教师备选1．(2022·嘉峪关模拟)函数f(x)＝ln(x2－ax－3)在(1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是()A．(－∞，－2] B．(－∞，－2)C．(－∞，2] D．(－∞，2)答案A解析函数f(x)＝ln(x2－ax－3)为复合函数，令u(x)＝x2－ax－3，y＝lnu为增函数，故只要u(x)＝x2－ax－3在(1，＋∞)上单调递增即可，只要eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)≤1，,u1≥0，))解得a≤－2.2．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≤b，,b，a>b.))设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是______．答案1解析方法一在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)的图象，依题意，h(x)的图象为如图所示的实线部分．易知点A(2,1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)＝1.方法二依题意，h(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，0<x≤2，,－x＋3，x>2.))当0<x≤2时，h(x)＝log2x单调递增，当x>2时，h(x)＝3－x单调递减，因此h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1.思维升华(1)比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)求解函数不等式，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值．跟踪训练2(1)(2022·天津静海区模拟)已知函数f(x)＝e|x|，记a＝f(log23)，b＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,2)))，c＝f(2.11.2)，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<c B．c<b<aC．b<a<c D．b<c<a答案C解析函数f(x)＝e|x|，其定义域为R，且f(－x)＝e|－x|＝e|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)＝ex，即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵2＝log24>log23>log22＝1，0<log32<log33＝1,2.11.2>2.11＝2.1>2，∴2.11.2>log23>log32>0，∴f(2.11.2)>f(log23)>f(log32)，即f(2.11.2)>f(log23)>f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,2)))，则b<a<c.(2)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋4x，x≤4，,log2x，x>4，))若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1] B．[1,4]C．[4，＋∞) D．(－∞，1]∪[4，＋∞)答案D解析画出函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋4x，x≤4，,log2x，x>4))的图象，如图，由图可知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋4x，x≤4，,log2x，x>4))的单调递增区间为(－∞，2)，(4，＋∞)，∵函数在(a，a＋1)上单调递增，∴a＋1≤2或a≥4，∴a≤1或a≥4.(3)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递减，则不等式f(2x－1)>f(x＋1)的解集为________．答案(0,2)解析依题意f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递减，所以f(2x－1)>f(x＋1)⇔(2x－1)2<(x＋1)2，即4x2－4x＋1<x2＋2x＋1，即x2－2x＝x(x－2)<0⇒x∈(0,2)．课时精练1．下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是()A．y＝eq\f(1,x)－x B．y＝x2－xC．y＝lnx－x D．y＝ex答案A解析当x∈(0，＋∞)时，y＝eq\f(1,x)与y＝－x单调递减，∴y＝eq\f(1,x)－x在(0，＋∞)上单调递减．2．若函数f(x)＝eq\f(2x2＋3,1＋x2)，则f(x)的值域为()A．(－∞，3] B．(2,3)C．(2,3] D．[3，＋∞)答案C解析f(x)＝eq\f(2x2＋3,1＋x2)＝2＋eq\f(1,x2＋1)，∵x2≥0，∴x2＋1≥1，∴0<eq\f(1,x2＋1)≤1，∴f(x)∈(2,3]．3．(2022·贵阳模拟)已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数，若f(1)＝－2，则满足－2≤f(x－2)≤2的x的取值范围是()A．[－2,2] B．[－1,1]C．[1,3] D．[0,4]答案C解析因为f(x)为奇函数，若f(1)＝－2，则f(－1)＝2，所以不等式－2≤f(x－2)≤2可化为f(1)≤f(x－2)≤f(－1)，又f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，所以－1≤x－2≤1，解得1≤x≤3.4．(2022·南通模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex－e－x，x>0，,－x2，x≤0，))若a＝50.01，b＝log32，c＝log20.9，则有()A．f(a)>f(b)>f(c)B．f(b)>f(a)>f(c)C．f(a)>f(c)>f(b)D．f(c)>f(a)>f(b)答案A解析y＝ex是增函数，y＝e－x是减函数，因此在(0，＋∞)上y＝ex－e－x单调递增，且此时f(x)>0.f(x)＝－x2在x≤0时单调递增，所以f(x)在R上单调递增．c＝log20.9<0，b＝log32，所以0<b<1，a＝50.01>1，即a>b>c，所以f(a)>f(b)>f(c)．5．(多选)已知函数f(x)＝x－eq\f(a,x)(a≠0)，下列说法正确的是()A．当a>0时，f(x)在定义域上单调递增B．当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)C．当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)D．当a>0时，f(x)的值域为R答案BCD解析当a>0时，f(x)＝x－eq\f(a,x)，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，故A错误；又x→－∞时，f(x)→－∞，x→0－时，f(x)→＋∞，∴f(x)的值域为R，故D正确；当a＝－4时，f(x)＝x＋eq\f(4,x)，由其图象(图略)可知，B，C正确．6．(多选)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx＋2x，x>0，,\f(2,1－x)，x≤0，))则下列结论正确的是()A．f(x)在R上为增函数B．f(e)>f(2)C．若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≤－1或a≥0D．当x∈[－1,1]时，f(x)的值域为[1,2]答案BC解析易知f(x)在(－∞，0]，(0，＋∞)上单调递增，A错误，B正确；若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≥0或a＋1≤0，即a≤－1或a≥0，故C正确；当x∈[－1,0]时，f(x)∈[1,2]，当x∈(0,1]时，f(x)∈(－∞，2]，故x∈[－1,1]时，f(x)∈(－∞，2]，故D不正确．7．函数y＝－x2＋2|x|＋1的单调递增区间为__________，单调递减区间为________．答案(－∞，－1]和[0,1](－1,0)和(1，＋∞)解析由于y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋1，x≥0，,－x2－2x＋1，x<0，))即y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－12＋2，x≥0，,－x＋12＋2，x<0.))画出函数的图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为(－1,0)和(1，＋∞)．8．(2022·山东师大附中质检)已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，1]解析f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex－a，x≥a，,ea－x，x<a，))当x≥a时，f(x)单调递增，当x<a时，f(x)单调递减，又f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以a≤1.9．已知函数f(x)＝ax－eq\f(1,ax)＋eq\f(2,a)(a>0)，且f(x)在(0,1]上的最大值为g(a)，求g(a)的最小值．解f(x)＝ax－eq\f(1,ax)＋eq\f(2,a)(a>0)，∴f(x)在(0,1]上单调递增，∴f(x)max＝f(1)＝a＋eq\f(1,a)，∴g(a)＝a＋eq\f(1,a)≥2，当且仅当a＝eq\f(1,a)即a＝1时取等号，∴g(a)的最小值为2.10．已知函数f(x)＝a－eq\f(2,2x＋1).(1)求f(0)；(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)<f(2)的x的取值范围．解(1)f(0)＝a－eq\f(2,20＋1)＝a－1.(2)f(x)在R上单调递增．证明如下：∵f(x)的定义域为R，∴任取x1，x2∈R且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝a－－a＋＝，∵y＝2x在R上单调递增且x1<x2，∴0<<，∴－<0,＋1>0,＋1>0.∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．∴f(x)在R上单调递增．(3)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即a－eq\f(2,2－x＋1)＝－a＋eq\f(2,2x＋1)，解得a＝1.∴f(ax)<f(2)即为f(x)<f(2)，又∵f(x)在R上单调递增，∴x<2.∴x的取值范围是(－∞，2)．11．定义max{a，b，c}为a，b，c中的最大值，设M＝max{2x,2x－3,6－x}，则M的最小值是()A．2B．3C．4D．6答案C解析画出函数M＝max{2x,2x－3,6－x}的图象(如图)，由图可知，函数M在A(2,4)处取得最小值22＝6－2＝4，故M的最小值为4.12．如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”.函数y＝eq\r(x－1)－eq\r(2－x)的值域为________，则与y是“同域函数”的一个解析式为________．答案[－1,1]y＝2x－3，x∈[1,2]或y＝sin(2πx)，x∈[1,2]或y＝3x－1－2，x∈[1,2](答案不唯一)解析因为y＝eq\r(x－1)－eq\r(2－x)，所以x≥1且x≤2，所以函数的定义域为[1,2]．显然，函数y＝f(x)＝eq\r(x－1)－eq\r(2－x)在[1,2]上单调递增，所以f(x)∈[－1,1]，所以函数的值域为[－1,1]．只要满足定义域为[1,2]，且值域为[－1,1]的函数均符合题意，例如y＝sin(2πx)，x∈[1,2]或y＝2x－3，x∈[1,2]或y＝3x－1－2，x∈[1,2]．13．设函数f(x)＝eq\f(ax＋1,x＋2a)在区间(－2，＋∞)上单调递增，那么a的取值范围是________．答案[1，＋∞)解析f(x)＝eq\f(ax＋2a2－2a2＋1,x＋2a)＝a－eq\f(2a2－1,x＋2a)，定义域为{x|x≠－2a}，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a2－1>0，,－2a≤－2，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a2－1>0，,a≥1，))所以a≥1.14．(2022·沧州模拟)设函数f(x)＝x3－sinx＋x，则满足