2025届高三一轮复习数学试题(人教版新高考新教材)考点规范练40　直线的倾斜角与斜率、直线的方程

考点规范练40直线的倾斜角与斜率、直线的方程一、基础巩固1.直线3x-y+a=0(a为常数)的倾斜角为()A.30° B.60°C.150° D.120°2.若图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则()A.k1<k2<k3 B.k3<k1<k2C.k3<k2<k1 D.k1<k3<k23.在平面直角坐标系中,直线2x-y-2=0绕它与y轴的交点按逆时针方向旋转90°所得的直线的方程为()A.x-2y+4=0 B.x+2y-4=0C.x-2y-4=0 D.x+2y+4=04.已知直线l1过点A(-2,m)和B(m,4),直线l2的方程为2x+y-1=0,直线l3的方程为x+ny+1=0.若l1∥l2,l2⊥l3,则实数m+n的值为()A.-10 B.-2 C.0 D.85.已知两点M(2,-3),N(-3,-2),直线l过点P(1,1),且与线段MN相交,则直线l的斜率k的取值范围是()A.[34,4] B.[-4,3C.(-∞,-4]∪[34,+∞) D.[-36.过点P(2,3),并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为.

7.若直线x-y-1=0与直线(m+3)x+2my-8=0平行,则m=.若直线x-y-1=0与直线(m+3)x+2my-8=0垂直,则m=.

8.过点M(1,2)的直线l与圆C:(x-3)2+(y-4)2=25交于A,B两点,C为圆心,当∠ACB最小时,直线l的方程为.

9.过点P(3,0)作一条直线,使它夹在两直线l1:2x-y-2=0与l2:x+y+3=0之间的线段AB恰好被点P平分,求此直线的方程.10.如图,在平面直角坐标系Oxy中,已知平行四边形ABCD的顶点B(5,3)和D(3,-1),AB所在直线的方程为x-y-2=0,AB⊥AC.(1)求对角线AC所在直线的方程;(2)求BC所在直线的方程.二、综合应用11.已知集合A={(x,y)|x+ay-a=0},B={(x,y)|ax+(2a+3)y-1=0}.若A∩B=⌀,则实数a的值为()A.3 B.-1 C.3或-1 D.-3或112.已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y=2-x2相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取到最大值时,直线lA.150° B.135° C.120° D.不存在13.设光线l从点A(-4,3)射出,经过x轴反射后经过点B0,33,则光线l与x轴交点的横坐标为,若该入射光线l经x轴发生折射,折射角为入射角的一半,则折射光线所在直线的纵截距为.

14.已知函数y=ex的图象在点(ak,eak)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中k∈N*,a1=0,则a1+a3+a5=15.已知动直线l0:ax+by+c-3=0(a>0,c>0)恒过点P(1,m),且Q(4,0)到动直线l0的距离的最大值为3,求12a16.已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)证明:直线l过定点;(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程.三、探究创新17.已知函数f(x)=asinx-bcosx(a≠0,b≠0),若f(π3-x)=f(π3+x),则直线ax-by+c=0的倾斜角为(A.π4 B.π3 C.2π318.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(1,0),B(0,2),且|AC|=|BC|,则△ABC的欧拉线的方程为()A.4x+2y+3=0 B.2x-4y+3=0C.x-2y+3=0 D.2x-y+3=0

考点规范练40直线的倾斜角与斜率、直线的方程1.B设直线的倾斜角为α,斜率为k,化直线方程为y=3x+a,则k=tanα=3.故α=60°2.D直线l1的倾斜角是钝角,则k1<0;直线l2与l3的倾斜角都是锐角,斜率都是正数.又直线l2的倾斜角大于l3的倾斜角,所以k2>k3>0,所以k1<k3<k2.3.D由已知得直线2x-y-2=0的斜率为2,与y轴交于点(0,-2),所求直线与直线2x-y-2=0垂直,所以所求直线的斜率为-12,所以所求直线的方程为y+2=-12x,即x+2y+4=4.A因为l1∥l2,所以kAB=4-mm+2=-2,因为l2⊥l3,所以-1n×(-2)=-解得n=-2,所以m+n=-10.5.C如图所示,∵kPN=1-(-2)1-(-3)=∴要使直线l与线段MN相交,当l的倾斜角小于90°时,k≥kPN;当l的倾斜角大于90°时,k≤kPM,∴k≥34或k≤-6.3x-2y=0或x-y+1=0当直线过原点时,方程为y=32x,即3x-2y=0当直线l不过原点时,设直线方程为xa−y将点P(2,3)的坐标代入方程,得a=-1,所以直线l的方程为x-y+1=0.综上,所求直线l的方程为3x-2y=0或x-y+1=0.7.-13∵直线x-y-1=0与直线(m+3)x+2my-8=0平行,∴m+31=2∵直线x-y-1=0与直线(m+3)x+2my-8=0垂直,∴1×(m+3)+(-1)×2m=0,解得m=3.8.x+y-3=0验证知点M(1,2)在圆C内,当∠ACB最小时,直线l与CM垂直,∵kCM=4-23-1=1,∴∴直线l的方程为y-2=-(x-1),整理得x+y-3=0.9.解设点A(xA,yA)在直线l1上,点B(xB,yB)在直线l2上.由题意知xA+xB2=3,yA+yB2=0,则点B得2xA则所求直线的斜率k=163-0故所求的直线方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.10.解(1)∵点B(5,3),D(3,-1),∴线段BD的中点M的坐标为(4,1).∵AB所在直线的方程为x-y-2=0,AB⊥AC,∴kAC=-1.∴对角线AC所在直线的方程为y-1=-(x-4),即x+y-5=0.(2)由x+y-5=0,x∴kAD=-1-323-72=5.∵BC∥∴BC所在直线的方程为y-3=5(x-5),即5x-y-22=0.11.A因为A∩B=⌀,所以直线x+ay-a=0与直线ax+(2a+3)y-1=0没有交点,即直线x+ay-a=0与直线ax+(2a+3)y-1=0平行,所以1·(2a+3)-a·a=0,解得a=-1或a=3.当a=-1时,两直线为:x-y+1=0,-x+y-1=0,此时两直线重合,不满足题意.当a=3时,两直线为:x+3y-3=0,3x+9y-1=0,此时两直线平行,满足题意.所以a的值为3.12.A由y=2-x2,得x2+y2=2(y≥0),它表示以原点O为圆心,2为半径的圆的一部分显然直线l的斜率存在,设过点P(2,0)的直线l的方程为y=k(x-2),则圆心到直线l的距离d=|-2k|1+k2,弦长|AB|=22-|-2k|1+k22=22-2k21+k2,所以S△AOB=12×|-2k|1+k2×22-2k213.-1-3由点B(0,33)关于x轴的对称点为B'(0,-33),可得直线AB'的斜率为3+方程为y=-33x-33,令y=0,可得x=-即光线l与x轴交点的横坐标为-1.由直线AB'可得入射角为90°-30°=60°,则折射角为30°,折射光线的斜率为k=tan(30°+90°)=-3,折射光线的方程为y=-3(x+1),令x=0,可得y=-3,故折射光线所在直线的纵截距为-314.-6∵y=ex,∴y'=ex,∴y=ex在点(ak,eak)处的切线方程为y-eak=eak(x-ak),整理,∵切线与x轴交点的横坐标为ak+1,∴ak+1=ak-1,∴{an}是首项为a1=0,公差d=-1的等差数列,∴a1+a3+a5=0-2-4=-6.15.解将点P(1,m)的坐标代入动直线l0的方程,得a+bm+c-3=0.又点Q(4,0)到动直线l0的距离的最大值为3,则有|PQ|=3.∴(4-1)2+m2=3又a>0,c>0,∴12a+2c=13(52+c2a+当且仅当a=1,c=2时取等号.所以12a16.(1)证明直线l的方程可化为y=k(x+2)+1,故直线l过定点(-2,1).(2)解直线l的方程可化为y=kx+2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+1,要使直线l不经过第四象限,则k≥0,1+2k≥0,解得k≥0,故k的取值范围是[(3)解直线l在x轴上的截距为-1+2kk,在y轴上的截距为1+2k,且k>0,所以点A(-1+2kk,0),B(0,1故S=12|OA||OB|=12×1+2kk×(1+2k)=12(4k+1k+4)当且仅当4k=1k,即k=12时取等号,故S的最小值为4,此时直线l的方程为x