2025届高三一轮复习数学试题(人教版新高考新教材)考点规范练29　数学归纳法

考点规范练29数学归纳法一、基础巩固1.对于不等式n2+n<n+1(n∈(1)当n=1时,12+1<1+(2)假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即k2+k<k+1,则当n=k+1时,(k+1)2故当n=k+1时,不等式成立.在上述证明中,()A.过程全部正确B.对于当n=1时结论的推理不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确答案:D解析:在n=k+1时,没有应用n=k时的假设,不是数学归纳法.2.用数学归纳法证明:1+12+13+14+…+12n证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即有1+12+13+14那么当n=k+1时,左边=1+12+13+14+…+12k-1+又12k+12k+1+…+12k+1-1<12k×2k=即当n=k+1时,不等式也成立.由(1)(2)可知,对于任意n∈N*,1+12+13+14+3.已知数列{xn},{yn}满足x1=5,y1=-5,2xn+1+3yn=7,6xn+yn+1=13.求证:xn=3n+2,yn=1-2×3n(n∈N*).证明:(1)当n=1时,x1=5,31+2=5,y1=-5,且1-2×31=-5,即等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时,等式成立,即xk=3k+2,yk=1-2×3k,那么当n=k+1时,由2xk+1+3yk=7,得xk+1=12(7-3yk)=7-3(1-2由6xk+yk+1=13,得yk+1=13-6xk=13-6(3k+2)=1-2×3k+1;故当n=k+1时,等式也成立.由(1)(2)可知,xn=3n+2,yn=1-2×3n对一切n∈N*都成立.二、综合应用4.设平面内有n(n∈N*,n≥3)条直线,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)=;当n>4时,f(n)=(用n表示).

答案:512(n+1)(n-解析:由题意知f(3)=2,f(4)=5,f(5)=9,可以归纳出每增加一条直线,交点增加的个数为原有直线的条数,即f(4)-f(3)=3,f(5)-f(4)=4,猜测得出f(n)-f(n-1)=n-1(n≥4),则f(n)-f(3)=3+4+…+(n-1),故f(n)=12(n+1)(n-2)5.用数学归纳法证明:1-12+13−14+…+12n-1证明:(1)当n=1时,左边=1-12=12,右边=(2)假设当n=k(k∈N*)时,等式成立,即1-12+13−14+…那么当n=k+1时,1-12+13=1k+1+1=1k+2+…=1k+2+1=1(k+1)+1故当n=k+1时,等式也成立.根据(1)(2)可知,等式对于任何n∈N*都成立.6.设数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,Sn+1=2Sn+2,数列{bn}满足b1=1,bn+1=bn2+bn,其中n∈N(1)证明:数列{an}是等比数列;(2)记Tn=b12+b22+…+bn2,证明:S证明:(1)已知Sn+1=2Sn+2,当n≥2时,Sn=2Sn-1+2,两式相减,得an+1=2an(n≥2).又S2=2S1+2=2a1+2=6,即a1+a2=6,所以a2=6-a1=4,即a2a故数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列.(2)Sn=2(1-2n)要证明Sn-2Tn≤2,即证明2n+1-2-2Tn≤2,即Tn≥2n-2,①当n=1时,T1=b12=1,21-2=0,此时T1>21-2②假设n=k时,不等式成立,即Tk≥2k-2,那么当n=k+1时,Tk+1=b12+b22+…+bk由bn+1=bn2+bn,知bn+1-bn=bn2>0,所以bn+1>bn≥b由bn+1=bn2+bn,知bn+1bn=b所以bk+1=b1·b2b1·…·bk所以Tk+1=b12+b22+…+bk2+bk+12≥2综上①②可知,不等式Sn-2Tn≤2对任何n∈N*都成立.三、探究创新7.设数列{an}的前n项和为Sn,且(Sn-1)2=anSn(n∈N*),设bn=(-1)n+1(n+1)2·anan+1(n∈N*),数列{bn(1)求S1,S2,S3的值;(2)猜想数列{an}的前n项和Sn,并用数学归纳法加以证明;(3)求数列{Tn}的通项公式.解:(1)由(Sn-1)令n=1,则(S解得S1=12当n≥2时,由an=Sn-Sn-1,得(Sn-1)2=(Sn-Sn-1)Sn,得Sn(2-S令n=2,得S2=23令n=3,得S3=34即S1=12,S2=23,S3=(2)由(1)知S1=12,S2=23,S3=34,猜想Sn=nn+1(n下面用数学归纳法证明:①当n=1时,S1=12,1②假设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,即Sk=kk那么当n=k+1时,由(1)知Sk+1=12即当n=k+1时,猜想也成立.由①②可知,猜想对于任何n∈N*都成立.(3)由(2)知a1=12.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n且a1=12符合上式,即