2025届高三一轮复习数学试题(人教版新高考新教材)考点规范练14　导数的概念、意义及运算

考点规范练14导数的概念、意义及运算一、基础巩固1.已知函数f(x)=3x+1,则limΔxA.-13 B.C.23 D.答案:A解析:limΔx→0f(1-Δ2.(多选)下列各式正确的是()A.(x-5)'=-5x-6 B.(cosx)'=sinxC.(sinx)'=cosx D.sinπ3'=答案:AC解析:(x-5)'=-5x-6,A正确;(cosx)'=-sinx,B错误;(sinx)'=cosx,C正确;sinπ3'=0,D3.已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=2x2-7x+6,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是()A.y=2x-1 B.y=xC.y=3x-2 D.y=-2x+3答案:C解析:令2-x=t,可得x=2-t,代入f(2-x)=2x2-7x+6,得f(t)=2(2-t)2-7(2-t)+6,化简整理得f(t)=2t2-t,即f(x)=2x2-x,则f'(x)=4x-1,可得f(1)=1,f'(1)=3,故所求切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2.4.已知y=f(x)是可导函数,如图,直线y=kx+2是曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线,令g(x)=xf(x),g'(x)是g(x)的导函数,则g'(3)等于()A.-1 B.0 C.2 D.4答案:B解析:由题图可知曲线y=f(x)在点(3,f(3))处切线的斜率等于-13,故f'(3)=-1∵g(x)=xf(x),∴g'(x)=f(x)+xf'(x),∴g'(3)=f(3)+3f'(3).又由题图可知f(3)=1,∴g'(3)=1+3×-13=5.已知曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-1,则点P的坐标为()A.(1,3) B.(-1,3)C.(1,3)和(-1,3) D.(1,-3)答案:C解析:∵f(x)=x3-x+3,∴f'(x)=3x2-1.设点P(x,y),则f'(x)=2,即3x2-1=2,解得x=1或x=-1,故P(1,3)或(-1,3).经检验,点(1,3),(-1,3)均不在直线y=2x-1上,符合题意.故选C.6.设曲线y=e2ax(e=2.718…为自然对数的底数)在点(0,1)处的切线及直线2x-y-1=0和两坐标轴的正半轴所围成的四边形有外接圆,则a等于()A.-1 B.-1C.14 D.答案:B解析:由题意,令函数f(x)=e2ax,可得f'(x)=2ae2ax,则f'(0)=2a,即曲线y=e2ax在点(0,1)处的切线的斜率为k=2a,所以切线方程为y-1=2ax,即y=2ax+1,要使得切线与直线2x-y-1=0和两坐标轴的正半轴所围成的四边形有外接圆,则满足两直线垂直,即2a×2=-1,解得a=-147.已知函数f(x)=-12x2+2xf'(2024)+2024lnx,则f'(2024)=.答案:2023解析:由题意,得f'(x)=-x+2f'(2024)+2因此有f'(2024)=-2024+2f'(2024)+20242024,所以f'(2024)8.设函数f(x)=exx+a.若f'(1)=e4答案:1解析:对函数f(x)=exx+a求导得f'(x)=ex(x+a-19.设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为.

答案:4解析:由导数的几何意义及条件,得g'(1)=2.∵函数f(x)=g(x)+x2,∴f'(x)=g'(x)+2x,∴f'(1)=g'(1)+2=4,∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为4.10.已知函数f(x)=lnxx+a,且f'(1)=1,则a=,曲线y=f(x)在点(e,f答案:0y=1解析:由f(x)=lnxx+a,得f'(x因为f'(1)=1,即11+a=1,解得a=0,所以f(x)=lnxx,f'(x所以f(e)=1e,f'(e)=0,所以曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为y=111.若函数f(x)=12x2-ax+lnx的图象存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是.答案:[2,+∞)解析:∵f(x)=12x2-ax+lnx(x>∴f'(x)=x-a+1x∵函数f(x)的图象存在垂直于y轴的切线,∴f'(x)存在零点,∴x+1x-a=0有解,∴a=x+1x当且仅当x=1时,取等号.12.设曲线y=lnx与y=(x+a)2有一条斜率为1的公切线,则a=.

答案:-3解析:因为y=lnx,所以y'=1x又因为切线的斜率为1,所以y'=1x=1,解得x=1,y=0,所以切线方程为y=x-1因为y=(x+a)2,所以y'=2x+2a,令y'=1,解得x=12-a代入切线方程得y=-12-a,再将12-a,-12解得a=-34二、综合应用13.若函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如图所示,则y=f(x),y=g(x)的图象可能是()答案:D解析:由y=f'(x)的图象知y=f'(x)在区间(0,+∞)内单调递减,说明函数y=f(x)图象的切线的斜率在区间(0,+∞)内也单调递减,故可排除A,C.又由图象知y=f'(x)与y=g'(x)的图象在x=x0处相交,说明y=f(x)与y=g(x)的图象在x=x0处的切线的斜率相同,故可排除B.故选D.14.若点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,则点P到直线y=x-2的距离的最小值为()A.1 B.2 C.22 D.答案:B解析:因为函数y=x2-lnx的定义域为(0,+∞),所以y'=2x-1x(x>0).令2x-1x=1,解得x=1,则曲线在点P(1,1)处的切线方程为x-y=0,所以两平行线间的距离为d=22=15.(多选)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质,则下列函数中具有T性质的是()A.y=cosx B.y=lnx C.y=ex D.y=x2答案:AD解析:由题意,若y=f(x)具有T性质,则存在x1,x2,使得f'(x1)f'(x2)=-1.对于选项A,因为f'(x)=-sinx,所以存在x1=π2,x2=-π2,使得f'(x1)f'(x2)对于选项B,因为f'(x)=1x>0,所以不存在x1,x2,使得f'(x1)f'(x2)=-对于选项C,因为f'(x)=ex>0,所以不存在x1,x2,使得f'(x1)f'(x2)=-1;对于选项D,因为f'(x)=2x,所以存在x1=1,x2=-14,使得f'(x1)f'(x2)=4x1x2=-1.故选AD16.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=ex+x2+1,则函数h(x)=2f(x)-g(x)的图象在点(0,h(0))处的切线方程是.

答案:x-y+4=0解析:∵f(x)-g(x)=ex+x2+1,且f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,∴f(-x)-g(-x)=f(x)+g(x)=e-x+x2+1,∴f(x)=ex+e-x+2x2∴h(x)=2f(x)-g(x)=ex+e-x+2x2+2-e-x-ex2=32ex+∴h'(x)=32ex-12e-x+4x,即h'(0)=32又h(0)=4,∴切线方程为x-y+4=0.三、探究创新17.定义:函数f(x)在区间(a,b)内的导函数为f'(x),f'(x)在区间(a,b)内的导函数为f″(x),若在区间(a,b)内f″(x)<0恒成立,则称函数f(x)是在区间(a,b)内的“严格凸函数”,称区间(a,b)为函数f(x)的“严格凸区间”,则下列命题是真命题的为.(填序号)

①函数f(x)=-x3+3x2+2在区间(1,+∞)内为“严格凸函数”;②函数f(x)=lnxx的“严格凸区间”为0,e3③若函数f(x)=ex-m2x2在区间(1,4)内为“严格凸函数”,则实数m的取值范围为[e,+∞)答案:①②解析:f(x)=-x3+3x2+2的导函数f'(x)=-3x2+6x,f″(x)=-6x+6,故f″(x)<0在区间(1,+∞)内恒成立,所以函数f(x)=-x3+3x2+2在区间(1,+∞)内为“严格凸函数”,所以①为真命题;f(x)=lnxx的导函数f'(x)=1-lnxx2,f