浙江省金华市名校2022-2023学年高三数学第一学期期末达标检测试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在四面体中，为正三角形，边长为6，，，，则四面体的体积为（）A． B． C．24 D．2．已知类产品共两件，类产品共三件，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件类产品或者检测出3件类产品时，检测结束，则第一次检测出类产品，第二次检测出类产品的概率为（）A． B． C． D．3．下列函数中，既是奇函数，又是上的单调函数的是()A． B．C． D．4．设a=log73，，c=30.7，则a，b，c的大小关系是（）A． B． C． D．5．已知函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则的最小值为（）A． B． C． D．6．已知是的共轭复数,则（）A． B． C． D．7．若命题p：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题q：在边长为4的正方形ABCD内任取一点M，则∠AMB>90°的概率为π8A．p∧qB．(¬p)∧qC．p∧(¬q)D．¬q8．定义在上的函数满足，则（）A．-1 B．0 C．1 D．29．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A． B．C． D．10．已知复数满足，(为虚数单位)，则()A． B． C． D．311．设函数，则使得成立的的取值范围是（）．A． B．C． D．12．在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，为正实数，且，则的最小值为________________.14．已知双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线上，则实数的值为___________.15．定义在上的奇函数满足，并且当时，则___16．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则_________，该几何体的表面积为_________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，设为的导数，．（1）求，；（2）猜想的表达式，并证明你的结论．18．（12分）设为抛物线的焦点，，为抛物线上的两个动点，为坐标原点.（Ⅰ）若点在线段上，求的最小值；（Ⅱ）当时，求点纵坐标的取值范围.19．（12分）为了解广大学生家长对校园食品安全的认识，某市食品安全检测部门对该市家长进行了一次校园食品安全网络知识问卷调查，每一位学生家长仅有一次参加机会，现对有效问卷进行整理，并随机抽取出了200份答卷，统计这些答卷的得分（满分：100分）制出的频率分布直方图如图所示，由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分服从正态分布，其中近似为这200人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）.（1）请利用正态分布的知识求；（2）该市食品安全检测部门为此次参加问卷调查的学生家长制定如下奖励方案：①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费：②每次获赠的随机话费和对应的概率为：获赠的随机话费（单位：元）概率市食品安全检测部门预计参加此次活动的家长约5000人，请依据以上数据估计此次活动可能赠送出多少话费？附：①；②若；则，，.20．（12分）贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标.党的十九届四中全会提出“坚决打赢脱贫攻坚战，建立解决相对贫困的长效机制”对当前和下一个阶段的扶贫工作进行了前瞻性的部署，即2020年要通过精准扶贫全面消除绝对贫困，实现全面建成小康社会的奋斗目标.为了响应党的号召，某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作.对某种农产品加工生产销售进行指导，经调查知，在一个销售季度内，每售出一吨该产品获利5万元，未售出的商品，每吨亏损2万元.经统计，两市场以往100个销售周期该产品的市场需求量的频数分布如下表：市场：需求量（吨）90100110频数205030市场：需求量（吨）90100110频数106030把市场需求量的频率视为需求量的概率，设该厂在下个销售周期内生产吨该产品，在、两市场同时销售，以（单位：吨）表示下一个销售周期两市场的需求量，（单位：万元）表示下一个销售周期两市场的销售总利润.（1）求的概率；（2）以销售利润的期望为决策依据，确定下个销售周期内生产量吨还是吨?并说明理由.21．（12分）已知直线与抛物线交于两点.（1）当点的横坐标之和为4时，求直线的斜率；（2）已知点，直线过点，记直线的斜率分别为，当取最大值时，求直线的方程.22．（10分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

推导出，分别取的中点,连结，则，推导出，从而，进而四面体的体积为，由此能求出结果.【详解】解：在四面体中，为等边三角形，边长为6，，，，，，分别取的中点，连结，则，且，，，，平面，平面，，四面体的体积为：.故答案为：.【点睛】本题考查四面体体积的求法，考查空间中线线，线面，面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力.2、D【解析】

根据分步计数原理，由古典概型概率公式可得第一次检测出类产品的概率，不放回情况下第二次检测出类产品的概率，即可得解.【详解】类产品共两件，类产品共三件，则第一次检测出类产品的概率为；不放回情况下，剩余4件产品，则第二次检测出类产品的概率为；故第一次检测出类产品，第二次检测出类产品的概率为；故选：D.【点睛】本题考查了分步乘法计数原理的应用，古典概型概率计算公式的应用，属于基础题.3、C【解析】

对选项逐个验证即得答案.【详解】对于，，是偶函数，故选项错误；对于，，定义域为，在上不是单调函数，故选项错误；对于，当时，；当时，；又时，.综上，对，都有，是奇函数.又时，是开口向上的抛物线，对称轴，在上单调递增，是奇函数，在上是单调递增函数，故选项正确；对于，在上单调递增，在上单调递增，但，在上不是单调函数，故选项错误.故选：.【点睛】本题考查函数的基本性质，属于基础题.4、D【解析】

，，得解．【详解】，，，所以，故选D【点睛】比较不同数的大小，找中间量作比较是一种常见的方法．5、A【解析】

首先求得平移后的函数，再根据求的最小值.【详解】根据题意，的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数，所以，所以．又，所以的最小值为．故选：A【点睛】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式，意在考查平移变换，属于基础题型.6、A【解析】

先利用复数的除法运算法则求出的值，再利用共轭复数的定义求出a+bi，从而确定a，b的值，求出a+b．【详解】i，∴a+bi＝﹣i，∴a＝0，b＝﹣1，∴a+b＝﹣1，故选：A．【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．7、B【解析】因为从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为P1=1C42=16，即命题p是错误，则¬p是正确的；在边长为4的正方形ABCD内任取一点M点睛：本题将古典型概率公式、几何型概率公式与命题的真假（含或、且、非等连接词）的命题构成的复合命题的真假的判定有机地整合在一起，旨在考查命题真假的判定及古典概型的特征与计算公式的运用、几何概型的特征与计算公式的运用等知识与方法的综合运用，以及分析问题解决问题的能力。8、C【解析】

推导出，由此能求出的值．【详解】∵定义在上的函数满足，∴，故选C．【点睛】本题主要考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，属于中档题.9、B【解析】

还原几何体可知原几何体为半个圆柱和一个四棱锥组成的组合体，分别求解两个部分的体积，加和得到结果.【详解】由三视图还原可知，原几何体下半部分为半个圆柱，上半部分为一个四棱锥半个圆柱体积为：四棱锥体积为：原几何体体积为：本题正确选项：【点睛】本题考查三视图的还原、组合体体积的求解问题，关键在于能够准确还原几何体，从而分别求解各部分的体积.10、A【解析】，故，故选A.11、B【解析】

由奇偶性定义可判断出为偶函数，由单调性的性质可知在上单调递增，由此知在上单调递减，从而将所求不等式化为，解绝对值不等式求得结果.【详解】由题意知：定义域为，，为偶函数，当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则在上单调递减，由得：，解得：或，的取值范围为.故选：.【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题；奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性，单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，进而化简不等式.12、A【解析】

在中，设，，，结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求，可得，再由已知条件求得，，，考虑建立以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系，根据已知条件结合向量的坐标运算求得，然后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】在中，设，，，，即，即，，，，，，，，即，又，，，则，所以，，解得，.以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则、、，为线段上的一点，则存在实数使得，，设，，则，，，，，消去得，，所以，，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：A.【点睛】本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解是一个单位向量，从而可用、表示，建立、与参数的关系，解决本题的第二个关键点在于由，发现为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值，考查计算能力，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

由，为正实数，且，可知，于是，可得，再利用基本不等式即可得出结果.【详解】解：，为正实数，且，可知，，.当且仅当时取等号.的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查了基本不等式的性质应用，恰当变形是解题的关键，属于中档题.14、【解析】

求出双曲线的渐近线方程，右准线方程，得到交点坐标代入抛物线方程求解即可．【详解】解：双曲线的右准线，渐近线，双曲线的右准线与渐近线的交点，交点在抛物线上，可得：，解得．故答案为．【点睛】本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题．15、【解析】

根据所给表达式，结合奇函数性质，即可确定函数对称轴及周期性，进而由的解析式求得的值.【详解】满足，由函数对称性可知关于对称，且令，代入可得，由奇函数性质可知，所以令，代入可得，所以是以4为周期的周期函数，则当时，所以，所以，故答案为：.【点睛】本题考查了函数奇偶性与对称性的综合应用，周期函数的判断及应用，属于中档题.16、；【解析】试题分析：如图：此几何体是四棱锥，底面是边长为的正方形，平面平面，并且，，所以体积是，解得，四个侧面都是直角三角形，所以计算出边长，表面积是考点：1．三视图；2．几何体的表面积．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、,；，证明见解析【解析】

对函数进行求导,并通过三角恒等变换进行转化求得的表达式,对函数再进行求导并通过三角恒等变换进行转化求得的表达式;根据中，的表达式进行归纳猜想,再利用数学归纳法证明即可.【详解】（1），其中，[，其中，（2）猜想，下面用数学归纳法证明：①当时，成立，②假设时，猜想成立即当时，当时，猜想成立由①②对成立【点睛】本题考查导数及其应用、三角恒等变换、归纳与猜想和数学归纳法;考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力;熟练掌握用数学归纳法进行证明的步骤是求解本题的关键;属于中档题.18、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（1）由抛物线的性质，当轴时，最小；（2）设点，，分别代入抛物线方程和得到三个方程，消去，得到关于的一元二次方程，利用判别式即可求出的范围.【详解】解：（1）由抛物线的标准方程，，根据抛物线的性质，当轴时，最小，最小值为，即为4.（2）由题意，设点，，其中，.则，①，②因为，，，所以.③由①②③，得，由，且，得，解不等式，得点纵坐标的范围为.【点睛】本题主要考查抛物线的方程和性质和二次方程的解的问题，考查运算能力，此类问题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等，易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解.19、（1）；（2）估计此次活动可能赠送出100000元话费【解析】

（1）根据正态分布的性质可求的值.（2）设某家长参加活动可获赠话费为元，利用题设条件求出其分布列，再利用公式求出其期望后可得计此次活动可能赠送出的话费数额.【详解】（1）根据题中所给的统计表，结合题中所给的条件，可以求得又，，所以；（2）根据题意，某家长参加活动可获赠话费的可能值有10，20，30，40元，且每位家长获得赠送1次、2次话费的概率都为，得10元的情况为低于平均值，概率，得20元的情况有两种，得分低于平均值，一次性获20元话费；得分不低于平均值，2次均获赠10元话费，概率，得30元的情况为：得分不低于平均值，一次获赠10元话费，另一次获赠20元话费，其概率为，得40元的其情况得分不低于平均值，两次机会均获20元话费，概率为.所以变量的分布列为：某家长获赠话费的期望为.所以估计此次活动可能赠送出100000元话费.【点睛】本题考查正态分布、离散型随机变量的分布列及数学期望，注意与正态分布有关的计算要利用该分布的密度函数图象的对称性来进行，本题属于中档题.20、（1）；（2）吨，理由见解析【解析】

（1）设“市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件，，，“市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件，，，由题可得，，，，，，代入，计算可得答案；（2）可取180，190，200，210，220，求出吨和吨时的期望，比较大小即可.【详解】（1）设“市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件，，，“市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件，，，则，，，，，，；（2）可取180，190，200，210，220，当时，当时，.，时，平均利润大，所以下个销售周期内生产量吨.【点睛】本题考查离散型随机变量的期望，是中档题.21、（1）（2）【解析】

（1）设，根据直线的斜率公式即可求解；（2）设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，由韦达定理得，，结合直线的斜率公式得到，换元后讨论的符号，求最值可求解.【详解】（1）设，因为，即直线的斜率为1.（2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为.联立方程组，可得则，令，则则当时，；当且仅当，即时，解得时，取“=”号，当时，；当时，综上所述，当时，取得最大值，此时直线的方程是.【点睛】本题主要考查了直