五年级奥数教材

五年级奥数目录

（一）数得整除★★★（被整除也就就是找这个数得倍数）

（二）定义新运算★★★（它得符号不同于课本上明确定义或已经约定得符号,

先求出表示定义规则得一般表达式，方可进行运算。）

（三）列方程解运用题****（一些数量关系较复杂得问或较隐蔽得逆向问

题。用算术方法解答比较困难，如果用方程解就简便得多）

（四）抽屉原理★★★（抽屉原理：将多于n件得物品任意放到n个抽屉中，

那么至少有一个抽屉中得物品不少于2件）

（五）不规则图形面积得计算*****（不规则图形，为了计算面积，常常

要变动图形得位置或对图形进行适当得分割、拼补、旋转等手段使之转化为规

则图形得与、差关系）

（六）逻辑推理★★★（条件增多，考虑得范围增大）

（七）牛吃草★★★（重点就是草得生长速度得得变量）

（八）流水行船★★★（难点在于就是逆水行舟还就是顺水行舟）

（九）奇数与偶数★★★（根据奇数与偶数得定理，求出几个数得与就是什么

数）

（十）周期性问题★★★（找出循环，利用除法算式求出余数，最后根据余数

得大小得出正确得结果，考点）

（-）数得整除

如果整除a除以不为零数b,所得得商为整数而余数为0,我们就说a能被

b整除，或叫b能整除a。如果a能被b整除，那么，b叫做a得约数，a叫做

b得倍数。

数得整除得特征：

（1）能被2整除得数得特征：如果一个整数得个位数字就是2、4、6、8、

0,那么这个整数一定能被2整除。

（2）能被3（或9）整除得数得特征：如果一个整数得各个数字之与能被

3（或9）整除，那么这个整数一定能被3（或9）整除。

（3）能被4（或25）整除得数得特征：如果一个整数得末两位数能被4

（或25）整除，那么这个数就一定能被4（或25）整除。

（4）能被5整除得数得特征：如果一个整数得个位数字就是0或5,那么

这个整数一定能被5整除。

（5）能被6整除得数得特征：如果一个整数能被2整除，又能被3整除,

那么这个数就一定能被6整除。

（6）能被7（或11或13）整除得数得特征：一个整数分成两个数，末三

位为一个数，其余各位为另一个数，如果这两个数之差就是0或就是7（或11

或13）得倍数，这个数就能被7（或11或13）整除。

（7）能被8（或125）整除得数得特征：如果一个整数得末三位数能被8

（或125）整除，那么这个数就一定能被8（或125）整除。

（8）能被11整除得数得特征：如果一个整数得奇数位数字之与与偶数位

数字之与得差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除。

一、例题与方法指导

例1、一个六位数23口56口就是88得倍数,这个数除以88所得得商就是

或、

思路导航:

一个数如果就是88得倍数,这个数必然既就是8得倍数,又就是11得倍数、

根据8得倍数,它得末三位数肯定也就是8得倍数,从而可知这个六位数个位上得

数就是0或8、而11得倍数奇偶位上数字与得差应就是0或11得倍数,从已知

得四个数瞧,这个六位数奇偶位上数字得与就是相等得,要使奇偶位上数字与差

为0,两个方框内填入得数字就是相同得,因此这个六位数有两种可能

23㈤56血或23国56国

又230560-88=2620

238568-88=2711

所以,本题得答案就是2620或2711、

例2、123456789口口，这个十一位数能被36整除,那么这个数得个位上得

数最小就是____、

思路导航:

因为36=9x4,所以这个十一位数既能被9整除，又能被4整除、因为1+2+…+9=45,

由能被9整除得数得特征，（可知口+口之与就是0（0+0）、9（1+8,8+1,2+7,

7+2,3+6,6+3,4+5,5+4)与18(9+9)、再由能被4整除得数得特征:这个数

得末尾两位数就是4得倍数，可知□□就是00,04,…，36,…，72,…96、这样,

这个十一位数个位上有0,2,6三种可能性、

所以,这个数得个位上得数最小就是0、

例3、下面一个1983峥337口44…4中间漏写了一个数字(方框)，已

991个991个

知这个多位数被7整除，那么中间方框内得数字就是、

思路导航:

□44^.14

991个991个

=33-3x10993+3Q4X10叫44…4

'-v->

990个990个

因为111111能被7整除，所以吐火与四口都能被7整除，所以只要

990个990个

3口4能被7整除，原数即可被7整除、故得中间方框内得数字就是6、

例4、有三个连续得两位数,它们得与也就是两位数,并且就是11得倍数、

这三个数就是、

思路导航:

三个连续得两位数其与必就是3得倍数，已知其与就是11得倍数,而3与11

互质，所以与就是33得倍数,能被33整除得两位数只有3个,它们就是33、66、

99、所以有

当与为33时,三个数就是10,11,12；

当与为66时,三个数就是21,22,23；

当与为99时,三个数就是32,33,34、

所以，答案为10,11,12或21,22,23或或，33,34。

［注］“三个连续自然数得与必能被3整除”可证明如下：

设三个连续自然数为n,n+1,n+2,则

n+(n+1)+(n+2)

=3n+3

=3(n+l)

所以，〃+（〃+l）+（”+2）能被3整除、

二、巩固训练

1.有这样得两位数,它得两个数字之与能被4整除,而且比这个两位数大1

得数,它得两个数字之与也能被4整除、所有这样得两位数得与就是—、

2.一个小于200得自然数,它得每位数字都就是奇数,并且它就是两个两

位数得乘积,那么这个自然数就是、

3.任取一个四位数乘3456,用A表示其积得各位数字之与,用B表示A得

各位数字之与,C表示B得各位数字之与,那么C就是、

4.有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成不同得四位数，如

果把其中能被3整除得四位数从小到大排列起来，第五个数得末位数字就是

_____、

三、拓展提升

1.找出四个互不相同得自然数，使得对于其中任何两个数，它们得与总可

以被它们得差整除，如果要求这四个数中最大得数与最小得数得与尽可能得小，

那么这四个数里中间两个数得与就是多少？

2.只修改21475得某一位数字,就可知使修改后得数能被225整除,怎样修

改？

3.500名士兵排成一列横队、第一次从左到右1、2、3、4、5（1至5）名

报数；第二次反过来从右到左1、2、3、4、5、6（1至6）报数，既报1又报6

得士兵有多少名？

4.试问，能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上，使得在任何5个

相连得数中，都至少有两个数可被3整除？如果回答：“可以”，则只要举出一种

排法；如果回答：“不能”，则需给出说明、

（-）定义新运算

定义新运算通常就是用特殊得符号表示特定得运算意义。它得符号不同于课

本上明确定义或已经约定得符号，例如“+、-、*、+、、＞、心等。表示运算

意义得表达式，通常就是使用四则运算符号，例如a☆b=3a-3b,新运算使用得

符号就是☆，而等号右边表示新运算意义得则就是四则运算符号。

正确解答定义新运算这类问题得关键就是要确切理解新运算得意义，严格按

照规定得法则进行运算。如果没有给出用字母表示得规则，则应通过给出得具体

得数字表达式，先求出表示定义规则得一般表达式，方可进行运算。

值得注意得就是：定义新运算一般就是不满足四则运算中得运算律与运算性

质，所以，不能盲目地运用定律与运算性质解题。

一、例题与方法指导

例1、设ab都表示数，规定aAb表示a得4倍减去b得3倍，即aAb=4

Xa-3Xb,试计算546,6A5O

解5A6-5X4-6X3=20-18=2

6A5=6X4-5X3=24-15=9

说明例1定义得△没有交换律，计算中不得将△前后得数交换。

例2、对于两个数a、b,规定a+b表示3Xa+2Xb,试计算(5^6)☆7,5

☆(6^7)O

思路导航:

先做括号内得运算。

解(5☆6)☆7=(5X3+6X2)☆7=27☆7=27X3+7X2=95

5^(6^7)=5^(6X3+7X2)=5☆32=5X3+32X2=79

说明本题定义得运算不满足结合律。这就是与常规得运算有区别得。

例3、已知2^3=2X3X4,4A2=4X5,一般地，对自然数a、b,aAb表

示aX(a+l)X…(a+bT)、

计算(6A3)-(5A2)O

思路导航:

原式=6X7—5X6

=336-30

规定：aA=a+(a+1)+(a+2)+•••+(a+b-1)，其中a,b表示自然数。

例4、求1ZM00得值。已知xA10=75,求x、

思路导航:

(1)原式=1+2+3+…+100=(1+100)X1004-2=5050

(2)原式即x+(x+l)+(x+2)+…+(X+9)=75,

所以

10X+(l+2+3+-+9)=75

10x+45=75

10x=30

x=3

二、巩固训练

1、若对所有b,aAb=aXx,x就是一个与b无关得常数；a^b=(a+b)4-2,

且(143)☆3=1A(3^3)O

求(1A4)得值。

2.如果规定：③=2X3X4,④=3X4X5,⑤=4X5X6,...,⑨=8X9X10,

求⑨+⑧-⑦+⑥-⑤+④-③得值。

三、能力提升

1.a*b表示a的3倍减去b的;，例如：

1*2=1X3-2X1=2,根据以上的规定，

计算：①10*6②7*(2*1).

2,定义新运算为a(9b=?

b

①求20(304)的值；

②若x(34=1.35,则x=?

3.有一个数学运算符号。，使下列算式成立：

1234711516.34小法

—O——=————O—=-O-------------尔O一时才自

236*5945*6742,115

(三)列方程解应用题

同学们在解答数学问题时，经常遇到一些数量关系较复杂得，或较隐蔽得逆

向问题。用算术方法解答比较困难，如果用方程解就简便得多。它可以进一步培

养我们分析问题与解决问题得能力，抽象思维能力，列方程解应用题一般分为五

步：

（一）审题；（弄清已知数与未知数以及它们之间得关系）

（-）用字母表示未知数；（通常用“X”表示）

（三）根据等量关系列出方程；

（四）解方程求出未知数得值；

（五）验算并答题。

一、例题与方法指导

例1、金台小学学生参加申奥植树活动，六年级共植树.252棵，比五年级

1-

植树总数得4倍少8棵，五年级植树多少棵？

思路导航:

J11

六年级比五年级植树总数得4倍少8棵，就就是六年级得4倍得数少8,

1-

等于六年级植树得总数。等量关系就是：五年级得4倍一8=六年级得植树总数。

解：设五年级植树x棵，根据题意列方程，得

l-x-8=252

4

l-x=252+8

4

l-x=260

4

x=260+J

4

x=208

验算：把X=208代入原方程

右边=252

左边=右边

x=208就是原方程得解。

答：五年级植树208棵。

例2、一瓶农药700克，其中水比硫磺粉得6倍还多25克，含硫磺粉

得重量就是石灰得2倍，这瓶农药里，水、硫磺粉与石灰粉各多少克？

思路导航:

这就是道比较复杂得“与倍应用题”，硫磺粉与水有直接关系，硫磺粉与石

灰也有直接关系，因此应设未知数硫磺粉为x克。水得重量就是硫磺得6倍还多

25克，也就就是（6x+25）克，石灰得重量就就是硫磺粉得重量除以2,也就就

1

——X

是2克。等量关系式表示为：

水+硫磺粉+石灰=农药重量

解：设硫磺粉得重量就是x克，那么，水得重量就是（6x+25）克，石

1

-X

灰重量就是2克。根据题意列方程，解。

6x+25+x+—x=700

2

7-^=700-25

2

75x=675

x=90

验算：把％=90代入原方程

=6x90+25+90+-x90=700

左边2

右边=700

左边=右边

%=90就是原方程得解。

例3、两袋米同样重，第一袋吃去18千克，第二袋吃去25千克，余下

得第一袋刚好就是第二袋得2倍，两袋原来各有多少千克？

思路导航:

题中告诉我们原来两袋大米同样重，解答时可以设两袋大米原来各重x千克,

第一袋剩下得则就是口一18）千克，第二袋剩下得则就是（x-25）千克。根据题意,

第一袋剩下得大米就是第二袋剩下得2倍，也就就是说，如果把第二袋剩下得扩

大2倍就与第一袋剩下得相等。

解：设两袋大米原来得重量各为x千克，根据题意，列方程得

(x-25)x2=x-18

2x—50=x—18

2x—x—50—18

x=32

验算：左边=。2-25)x2=14

右边=32—18=14

左边=右边

x=32就是原方程得解

答：两袋大米原来各重32千克。

二、巩固训练

7

1、李红瞧一本小说，上午瞧了60页，相当于下午瞧得页数得F又4页，李

红这天共瞧了多少页小说？

2、已知一个长方形得长就是20米，如果把它得宽减少4米，新得到一

5

个长方形，它得面积想法于原来长方形得面积得亍，原来长方形得周长就是多

少？

2]_

3、两根绳共长90米，已知第一根绳长得二等于第二根绳长得万，求两根绳各

长多少米？

三、拓展提升

3

1、甲乙两个粮仓共有粮食55万千克，如果甲仓运出二，乙仓运出6万

千克，则甲乙两仓存粮相等，甲、乙两仓原来各存粮多少万千克？

2、用5千克含盐20%得盐水，如果把它稀释为含盐1596得盐水，需要加

水多少千克?

3、有甲、乙两筐苹果，如果从甲筐取10千克放入乙筐，则两筐相等；如

31

果从两筐中各取出10千克，这时甲筐余下得10比乙筐余下得3多5千克。求两

筐苹果原来各多少千克？

4、同学们到郊区野炊。一个同学到老师那里去领碗，老师问她领多少，

她说领55个。又问“多少人吃饭”，她说：“一人一个饭碗，两人一个菜碗，三

人一个汤碗。”算一算，有多少人吃饭。

（四）抽屉原理

如果将5个苹果放到3个抽屉中去，那么不管怎么放，至少有一个抽屉中放

得苹果不少于2个。道理很简单，如果每个抽屉中放得苹果都少于2个，即放1

个或不放，那么3个抽屉中放得苹果得总数将少于或等于3,这与有5个苹果得

已知条件相矛盾，因此至少有一个抽屉中放得苹果不少于2个。

同样，有5只鸽子飞进4个鸽笼里，那么一定有一个鸽笼至少飞进了2只鸽

子。

以上两个简单得例子所体现得数学原理就就是“抽屉原理”，也叫“鸽笼原

理”。

抽屉原理L将多于n件得物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中得

物品不少于2件。

说明这个原理就是不难得。假定这n个抽屉中，每一个抽屉内得物品都不到

2件，那么每一个抽屉中得物品或者就是一件，或者没有。这样，n个抽屉中所

放物品得总数就不会超过n件，这与有多于n件物品得假设相矛盾，所以前面假

定“这n个抽屉中，每一个抽屉内得物品都不到2件”不能成立，从而抽屉原理

1成立。

从最不利原则也可以说明抽屉原理1。为了使抽屉中得物品不少于2件，最

不利得情况就就是n个抽屉中每个都放入1件物品，共放入n件物品，此时再放

入1件物品，无论放入哪个抽屉，都至少有1个抽屉不少于2件物品。这就说明

了抽屉原理io

一、例题与方法指导

例1、某幼儿园有367名1996年出生得小朋友，就是否有生日相同得小朋

友？

分析与解：1996年就是闰年，这年应有366天。把366天瞧作366个抽屉，将

367名小朋友瞧作367个物品。这样，把367个物品放进366个抽屉里，至少有

一个抽屉里不止放一个物品。因此至少有2名小朋友得生日相同。

例2、在任意得四个自然数中，就是否其中必有两个数，它们得差能被3

整除？

分析与解：因为任何整数除以3,其余数只可能就是0,1,2三种情形。我们将

余数得这三种情形瞧成就是三个“抽屉”。一个整数除以3得余数属于哪种情形,

就将此整数放在那个“抽屉”里。

将四个自然数放入三个抽屉，至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就就是

说至少有两个数除以3得余数相同。这两个数得差必能被3整除。

例3、在任意得五个自然数中，就是否其中必有三个数得与就是3得倍数？

分析与解：根据例2得讨论，任何整数除以3得余数只能就是0,1,2。现在，

对于任意得五个自然数，根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有两个或两个以上得

数，于就是可分下面两种情形来加以讨论。

第一种情形。有三个数在同一个抽屉里，即这三个数除以3后具有相同得余

数。因为这三个数得余数之与就是其中一个余数得3倍，故能被3整除，所以这

三个数之与能被3整除。

第二种情形。至多有两个数在同一个抽屉里，那么每个抽屉里都有数，在每

个抽屉里各取一个数，这三个数被3除得余数分别为0,1,2。因此这三个数之

与能被3整除。

综上所述，在任意得五个自然数中，其中必有三个数得与就是3得倍数。

二、巩固训练

1、有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子得布袋中任意摸出3枚棋

子、请您证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出得棋子得颜色得配组就是一样

得。

2.一副扑克牌（去掉两张王牌），每人随意摸两张牌，至少有多少人才能保

证她们当中一定有两人所摸两张牌得花色情况就是相同得?

3、从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个

数之与就是34o

（五）不规则图形面积计算（1）

我们曾经学过得三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆与

扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形、我们得面积及周长都有相应得公式

直接计算、如下表：

名称图形周长公式面积公式

长方形周长=2(a+b)面积二ab

面枳=£

正方形口周长二4a

三角形周长=a+b+c面积=/ah

平行四边形周长=2Ca+b)面积=ah

Za

b

饶形必h7周长=a+b+c+d面积=*{a+b)•h

a_

蒸形周长二4a面积=/AC,BD

j

G__

三k

圆周长=2人r面积=蜃"/

弧长=蹄

扇形面积=嗤钾,

3周长=2"弧长cL

阴影部分得面积等于甲、乙两个正方形面积之与减去三个“空白”三角形（△

ABG、ABDE,AEFG）得面积之与。

例2如右图，正方形ABCD得边长为6厘米，AABE、AADF与四边形AECF

得面积彼此相等，求三角形AEF得面积、

思路导航:

•.•△ABE、aADF与四边形AECF得面积彼此相等,

，四边形AECF得面积与aABE、aADF得面积都等于正方形ABCD得上。

3

在4ABE中，因为AB=6、所以BE=4,同理DF=4,因此CE=CF=2,

AECF得面积为2X2+2=2。

所以S4AEF=S四边形AECF-SZ\ECF=12-2=10（平方厘米）。

例3两块等腰直角三角形得三角板，直角边分别就是10厘米与6厘米。

如右图那样重合、求重合部分（阴影部分）得面积。

思路导航:

在等腰直角三角形ABC中

VAB=10

VEF=BF=AB-AF=10-6=4,

阴影部分面积=SAABG-S4BEF=25-8=17（平方厘米）。

例4如右图，A为4CDE得DE边上中点，BC=CD,若AABC（阴影部分）

面积为5平方厘米、

求AABD及AACE得面积、

思路导航:

取BD中点F,连结AF、因为aADF、4ABF与aABC等底、等高,

所以它们得面积相等，都等于5平方厘米、

.,.△ACD得面积等于15平方厘米，^ABD得面积等于10平方厘米。

又由于aACE与aACD等底、等高，所以4ACE得面积就是15平方厘米。

二、巩固训练

1、如右图，在正方形ABCD中，三角形ABE得面积就是8平方厘米，它就是

三角形DEC得面积得*,求正方形ABCD得面积。

5

E

2

2、如右图，已知：SAABC=1,AE=ED,BD=-BC,求阴影部分得面积。

3

3、如右图，梯形ABCD得面积就是45平方米a积就

是5平方米，BC=10米，求阴影部分面积、

4、如右图，四边形ABCD与DEFG都就是平行四边形，证明

它们得面积相等、

（六）不规则图形面积计算（2）

不规则图形得另外一种情况，就就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、

长方形等规则图形组合而成得，这就是一类更为复杂得不规则图形，为了计算它

得面积，常常要变动图形得位置或对图形进行适当得分割、拼补、旋转等手段使

之转化为规则图形得与、差关系，同时还常要与“容斥原理”（即：集合A与集

合B之间有：SA“=SA+S「SACB）合并使用才能解决。

一、例题与方法指导

例1、如右图，在一个正方形内，以正方形得三条边为直径向内作三个

半圆、求阴影部分得面积。

解法1：,得到右图、这

样，因此它们得

面积相等、所以上图中阴影部分得面积等于正方形面积得一半。

解法2：将上半个“弧边三角形”从中间切开，分别补贴在下半圆得上侧边上,

如右图所示、阴影部分得面积就是正方形面积得一半。

解法3：将下面得半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形得两侧，如右图

所示、阴影部分得面积就是正方形得一半、

例2、如右图，正方形ABCD得边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘

米为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积。

解：由谷片原理S阴影=S理形ACB+S扇形ACD~S正方形ABCD

=-xAB2x2-AB

=—x4Jx2-42

4

例3如右图，矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=4厘米，扇形ABE半径

AE=6厘米，扇形CBF得半CB=4厘米，求阴影部分得面积。

解'S店t+

例4、如右图，

aJ

ABC中，AB就是圆得=lxxx6+—xxx4-6x4

44

20厘米，如果阴影

比阴影（II）得面积=兀(36+16)-24大7平方厘

4

米，求BC长。

=13k24=15（平方厘米）（取x3）o

分析已知阴影（I）比阴影（II）得面积大7平方厘米，就就是半圆

面积比三角形ABC面积大7平方厘米；又知半圆直径AB=20厘米，可

以求出圆而积、半圆面积减夫7平方厘米.就可束出二角形ABC得面积,

20

进而求解，BC的长=（3.14X（―）-2-7]X2+20

=(157-7)X2-20

=15（厘米）.

二、巩固训练

1、如右图，两个正方形边长分别就是10厘米与6厘米，求阴影部分得面积。

2.如右图，将直径AB为3得半圆绕A逆时

60°,此时AB到达AC得位置，求阴影部分得面

=3）、

3、如右图，ABCD就是正方形，且FA=AD=DE=1,求阴影部分得面积、

4、如下页右上图，ABC就是等腰直角三角形，D就是半圆周

上得中点，BC就是半圆得直径，且AB=BC=10,求阴影部分面积（

取3、14)o

总结：对于不规则图形面积得计算问题一般将它转化为若干基本

规则图形得组合，分析整体与部分得与、差关系，问题便得到解决、常用

得基本方法有:

一、相加法：

这种方法就是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们

得面积，然后相加求出整个图形得面积、例如，右图中，要求整个图形得面积,

只要先求出上面半圆得面积，再求出下面正方形得面积，然后把它们相加就可

以了、

二、相减法：

*

这种方法就是将所求得不规则图形得面积瞧成就是若干个基本规则图kJ

形得面积之差、例如，右图，若求阴影部分得面积，只需先求出正方形面积

再减去里面圆得面积即可、

三、直接求法：

这种方法就是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积、

如下页右上图，欲求阴影部分得面积,通过分析发现它就就是一个底就是2,

高为4得三角形，面积可直接求出来。

四、重新组合法：

这种方法就是将不规则图形拆开，根据具体情况与计算上得需要，重新组合

成一个新得图形，设法求出这个新图形面积即可、例如，欲求右图中阴影部分面

积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形得4个角处，这时采用相减法就可求

出其面积了、

五、辅助线法：

这种方法就是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则一

图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可、如右

图，求两个正方形中阴影部分得面积、此题虽然可以用相减法解决，但不如

添加一条辅助线后用直接法作更简便、

六、割补法：

这种方法就是把原图形得一部分切割下来补在图形中得另一部分使之■

成为基本规则图形，从而使问题得到解决、例如，如右图，欲求阴影部分得IL

面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰就是正方形

面积得一半、

七、平移法：

这种方法就是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使

之组合成一个新得基本规则图形，便于求出面积、例如，如右图，欲求阴

影部分面积，可先沿中间切开把左边正方形内得阴影部分平行移到右边正方形

内，这样整个阴影部分恰就是一个正方形。一?

旋转法:

这种方法就是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某

一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形得一侧，从而组合成一个新得基本规

则得图形，便于求出面积、例如，欲求图（1）中阴影部分得面积，可将左半图

D

形绕B点逆时针方向旋转180°,使A与C重合，从而构成如右图（2）得样子,

此时阴影部分得面积可以瞧成半圆面积减去中间等腰直角三角形得面积、

九、对称添补法:

这种方法就是作出原图形得对称图形，从而得到一个新得基本规则图形、原

来图形面积就就是这个新图形面积得一半、例如，欲求右图中阴影部分得面积，

沿AB在原图下方作关于AB为对称轴得对称扇形ABD、弓形CBD得面积得一半就

就是所求阴影部分得面积。

十、重叠法：

这种方法就是将所求得图形瞧成就是两个或两个以上图形得重叠部分，然S

后运用“容斥原理”（SAUB=SA+SB-SAAB）解决。例如，欲求右图中阴影部

分得面积，可先求两个扇形面积得与，减去正方形面积，因为阴影部分得面积恰

好就是两个扇形重叠得部分、

（七）逻辑推理

曾经爱因斯坦出过一道测试题，她说世界上有98%得人回答不出！！让我们一

起来瞧瞧就是什么题呢。

在一条街上有5座颜色不同得房子，住着5个不同国家得人，她们抽着5种

不同得烟，喝着5种不同得饮料，养着5种不同得宠物。有下面15个已知条件,

求解。

1、英国人住红色房子。

2、瑞典人养狗。

3、丹麦人喝茶。

4、绿色房子在白色房子左面。

5、绿色房子主人喝咖啡。

6、抽PallMall香烟得人养鸟。

7、黄色房子主人抽Dunhill香烟。

8、住在中间房子得人喝牛奶。

9、挪威人住第一间房。

10、抽Blends香烟得人住在养猫得人隔壁。

11、养马得人住抽Dunhill香烟得人隔壁。

12、抽BlueMaster得人喝啤酒。

13、德国人抽Prince香烟。

14、挪威人住蓝色房子隔壁。

15、抽Blends香烟得人有一个喝水得邻居。

问：哪个国家得人养鱼？

这道题为什么会难倒这么多人呢，首先，我们就来研究一下关于她得最基本

得逻辑问题吧。

一、例题与方法指导

例1、某地质学院得学生对一种矿石进行观察与鉴别：

甲判断：不就是铁，也不就是铜。

乙判断：不就是铁，而就是锡。

丙判断：不就是锡，而就是铁。

经化验证明：有一个人得判断完全正确，有一个人说对了一半，而另一个人

完全说错了。您知道三人中谁就是对得，谁就是错得，谁就是只对一半得吗？

思路导航:

丙全说对了，甲说对了一半，乙全说错了。先设甲全对，推出矛盾后，再设

乙全对，又推出矛盾，则说明丙全对，甲说对了一半，乙全说错了。

例2、数学竞赛后，小明、小华与小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌,

一人得银牌，一人得铜牌。老师猜测：“小明得金牌，小华不得金牌，小强不得

铜牌。”结果老师只猜对了一个，那么谁得金牌，谁得银牌，谁得铜牌？

思路导航:

小华得金牌，小强得银牌，小明得铜牌。

(1)若小明得金牌，小华一定“不得金牌”，这与“老师只猜对了一个“相矛盾，

不合题意。

(2)若小华得金牌，那么“小明得金牌”与“小华不得金牌”这两句都就是错

得，那么“小强不得铜牌”应就是正确得，那么小强得银牌，小明得铜牌。

例3、一位法官在审理一起盗窃案中，对涉及到得四名嫌疑犯甲、乙、丙、

丁进行了审问。四人分别供述如下：

甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中。”

乙说：“我没有做案，就是丙偷得。”

丙说：“在甲与丁中间有一人就是罪犯。”

丁说：“乙说得就是事实。”

经过充分得调查，证实这四人中有两人说了真话，另外两人说得就是假话。

同学们，请您做一名公正得法官，对此案进行裁决，确认谁就是罪犯？

思路导航:

乙与丁就是盗窃犯。如果甲说得就是假话，那么剩下三人中有一人说得也就

是假话，另外两人说得就是真话。可就是乙与丁两人得观点一致，所以在剩下得

三人中只能就是丙说了假话，乙与丁说得都就是真话。即“丙就是盗窃犯二这

样一来，甲说得也就是对得，不就是假话。这样，前后就产生了矛盾。所以甲说

得不可能就是假话，只能就是真话。同理，剩下得三人中只能就是丙说真话。乙

与丁说得就是假话，即丙不就是罪犯，乙就是罪犯。又由甲所述为真话，即甲不

就是罪犯。再由丙所述为真话，即丁就是罪犯。

二、巩固训练

1、小王、小张、小李三人在一起，其中一位就是工人，一位就是战士，一

位就是大学生。现在知道：小李比战士年龄大，小王与大学生不同岁，大学生比

小张年龄小。那么三人各就是什么职业？

解：小李就是大学生，小王就是战士，小张就是工人、

2、甲、乙、丙分别就是来自中国、日本与英国得小朋友。甲不会英文，乙

不懂日语却与英国小朋友热烈交谈。问：甲、乙、丙分别就是哪国得小朋友？

解：甲就是日本人，乙就是中国人，丙就是英国人。

3、徐、王、陈、赵四位师傅分别就是工厂得木工、车工、电工与钳工，她

们都就是象棋迷。

（1）车工只与电工下棋；

（2）王、陈两位师傅经常与木工下棋；

（3）徐师傅与电工下棋互有胜负；

（4）陈师傅比钳工下得好。

问：徐、王、陈、赵四位师傅各从事什么工种？

（八）牛吃草

牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，就是17世纪英国伟大得科学家牛

顿提出来得。典型牛吃草问题得条件就是假设草得生长速度固定不变，不同头数

得牛吃光同一片草地所需得天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少

天。

由于吃得天数不同，草又就是天天在生长得，所以草得存量随牛吃得天数不

断地变化。解决牛吃草问题重点就是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有

得草就是不变得，新长得草虽然在变化，但由于就是匀速生长，所以每天新长出

得草量应该就是不变得。这类问题常用到四个基本公式，分别就是：

（1）草得生长速度=（对应得牛头数X吃得较多天数一相应得牛头数X吃

得较少天数）土（吃得较多天数一吃得较少天数）；

（2）原有草量=牛头数X吃得天数一草得生长速度X吃得天数；

（3）吃得天数=原有草量+（牛头数一草得生长速度）；

（4）牛头数=原有草量+吃得天数+草得生长速度。

这四个公式就是解决牛吃草问题得基础。一般设每头牛每天吃草量不变，设

为"1”,解题关键就是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草得

数量，再求出草地里原有草得数量，进而解答题总所求得问题。

一、例题与方法指导

例1、

青青一牧场

青青一牧场，牧草喂牛羊；放牛二十七，六周全吃光。

改养廿三只，九周走她方；若养二十一，可作几周粮？

（注：“廿”得读音与“念”相同。“廿”即二十之意。）

【解说】这道诗题，就是依据闻名于世界得“牛顿牛吃草问题”编写得。牛顿就

是英国人，她得种种事迹早已闻名于世，这里不赘述。她曾写过一本书，名叫《普

遍得算术》，“牛吃草问题”就编写在这本书中。书中得这道题目翻译过来就是：

一牧场长满青草，27头牛6个星期可以吃完，或者23头牛9个星期可以吃

完。若就是21头牛，要几个星期才可以吃完？（注：牧场得草就是不断生长得。）

解答这一问题，首先必须注意牧场里得草就是不断生长增多得，而并非一个

固定不变得数值。这虽然大大地增加了解题得难度，但我们不要害怕。只要依据

下面得思路，就一定会找到问题得答案。

思路导航:

因为27头6星期草料=（27X6=）162头一星期草料

23头9星期草料=（23X9=）207头一星期草料

而这一牧场6星期吃完与9星期吃完，草料数量要相差207—162=45（头牛

吃一星期得草料）

这多出得草料，便就是9-6=3（个星期之内新长出得草料）

所以，一个星期新长出得草料便就是

454-3=15（头牛吃一星期得草料）

进而可知，这牧场最初得草料数量就就是

（27—15）义6=72（头牛吃一个星期得草料）

现在，有21头牛来吃这牧场里得草，其中必须拿出15头牛来吃每个星期新

长出来得草料，这就只剩下：21-15=6（头牛）

去吃最初已经长成得草料了。所以，21头牛来吃这牧场得草料，全部吃光

所需要得时间就就是

724-6=12（个星期）

列成综合算式，就就是：

[27-（23X9—27X6）+（9—6）]X64-[21-（23X9—27X6）+（9-6）]

=[27-454-3]X64-[21-454-3]

=12X64-6

=12（个星期）

答：21头牛要12个星期才可以吃完。

例2、一个牧场长满青草，牛在吃草而草又在不断生长，已知牛27头，6

天把草吃尽，同样一片牧场，牛23头，9天把草吃尽。如果有牛21头，几天能

把草吃尽？

摘录条件：

27头6天原有草+6天生长草

23头9天原有草+9天生长草

21头？天原有草+?天生长草

解答这类问题关键就是要抓住牧场青草总量得变化。设1头牛1天吃得草为

"l",由条件可知，前后两次青草得问题相差为23X9-27X6=45。为什么会多出

这45呢？这就是第二次比第一次多得那（9-6）=3天生长出来得，所以每天生

长得青草为45+3=15

现从另一个角度去理解，这个牧场每天生长得青草正好可以满足15头牛吃。

由此，我们可以把每次来吃草得牛分为两组，一组就是抽出得15头牛来吃当天

长出得青草，另一组来吃就是原来牧场上得青草，那么在这批牛开始吃草之前，

牧场上有多少青草呢？

（27-15）X6=72

那么：第一次吃草量27X6=162第二次吃草量23X9=207

每天生长草量454-3=15

原有草量（27T5）义6=72或162-15X6=72

21头牛分两组，15头去吃生长得草，其余6头去吃原有得草那么72+6=12（天）

例3、一水库原有存水量一定，河水每天入库。5台抽水机连续20天抽干,

6台同样得抽水机连续15天可抽干，若要6天抽干，要多少台同样得抽水机？

摘录条件:

5台20天原有水+20天入库量

6台15天原有水+15天入库量

?台6天原有水+6天入库量

设1台1天抽水量为"1”,第一次总量为5X20=100,第二次总量为6X15=90

每天入库量（100-90）4-（20-15）=2

20天入库2X20=40,原有水100-40=60

60+2X6=72724-6=12（台）

二、巩固训练

1、某车站在检票前若干分钟就开始排队了，每分钟来得旅客一样多，从开始检

票到队伍消失（还有人在接受检票），若开5个检票口，要30分钟，开6个检

票口，要20分钟。如果要在10分钟消失，要开多少个检票口？

2、画展9点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来

得观众一样多，如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队；如果开5个入

场口，9点5分就没有人排队。求第一个观众到达得时间。

3、由于天气逐渐变冷，牧场上得草每天匀速减少。经过计算，牧场上得草可供

20头牛吃5天，或者供16头牛吃6天，那么这片牧场上得草可供11头牛吃几

天？

4、由于天气逐渐冷起来，牧场上得草不仅不长大，反而以固定得速度在减少。

如果牧场上得草可供20头牛吃5天，或者供15头牛吃6天，那么可供多少头牛

吃10天?

三、拓展提升

1、自动扶梯以均匀得速度由上往下行驶，小明与小红要从扶梯上楼，小明每分

钟走20梯级，小红每分钟走14梯级，结果小明4分钟到达楼上，小红用5分钟到

达楼上，求扶梯共有多少级？

2、两只蜗牛由于耐不住阳光得照射，从井顶走向井底，白天往下走，一只蜗牛

一个白天能走20分米，另一只只能走15分米；黑夜里往下滑，两只蜗牛下滑速度

相同，结果一只蜗牛5昼夜到达井底，另一只却恰好用了6昼夜。问井深就是多少？

3、有三块草地，面积分别就是5公顷，15公顷与24公顷。草地上得草一样厚

而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天；第二块草地可供28头牛吃45

天。那么第三块草地可供多少头牛吃80天？

4、12头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可以吃完30

公亩牧场上全部牧草。多少头牛126天可以吃完72公亩牧场上全部牧草（每公

亩牧场上原有草量相等，且每公亩牧场上每天生长草量相等）？

（九）流水行船

船在流水中航行得问题叫做行船问题o行船问题就是行程问题中比较特殊得

类型，它除了具备行程问题中路程、速度与时间之间得基本数量关系，同时还涉

及到水流得问题，因船在江、河里航行时，除了它本身得前进速度外，还会受到

流水得顺推或逆阻。

行船问题中常用得概念有：船速、水速、顺水速度与逆水速度。船在静水中

航行得速度叫船速；江河水流动得速度叫水速；船从上游向下游顺水而行得速度

叫顺水速度；船从下游往上游逆水而行得速度叫逆水速度。

除了行程问题中路程、速度与时间之间得基本数量关系在这里要反复用到

外，行船问题还有几个基本公式要用到。

顺水速度=船速+水速

逆水速度=船速一水速

如果已知顺水速度与逆水速度，由与差问题得解题方法，我们可以求出船速

与水速。

船速=（顺水速度+逆水速度）4-2

水速=（顺水速度一逆水速度）4-2

一、例题与方法指导

例1、船在静水中得速度为每小时13千米，水流得速度为每小时3千米，

船从甲港顺流而下到达乙港用了15小时，从乙港返回甲港需要多少小时？

思路导航:

根据条件，用船在静水中得速度+水速=顺水速度，知道了顺水速度与顺水时

间，可以求出甲乙两港之间得路程。因为返回时就是逆水航行，用船在静水中得

速度-水速=逆水速度，再用甲乙两港之间得全长除以逆水速度即可求出乙港返回

甲港所需时间。

解：顺水速度：13+3=16（千米/小时）

逆水速度：13-3=10（千米/小时）

全程：16X15=240（千米）

返回所需时间:2404-10=20（千米/小时）

答：从乙港返回甲港需要24小时。

例2、一艘小船往返于一段长120千米得航道之间，上行时行了15小时，

下行时行了12小时，求船在静水中航行得速度与水速各就是多少？

思路导航:

求船在静水中航行得速度就是求船速，用路程除以上行得时间就就是逆行速

度，路程除以下行时间就就是顺水速度。顺水速度与逆水速度得与除以2就就是

船速，顺水速度与逆水速度得差除以2就就是水速。

解:逆水速度：120+15=8（千米/小时）

顺水速度：120+12=10（千米/小时）