初中数学-旋转难题

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的两条边分别重合1,一等腰直角三角尺的两条直角边与正方形1.如图13-

ABCDGEFEFOOBD中点、）保持不动，将三角尺（点绕斜边也是的中点在一起.现正方形按顺时针方

向旋转.

EFABMGFBDNBM,,相交于点如图1）13—2,当与与时，通过观察或测量相交于点（制引火¥满足的

数量关系，并证明你的猜想；，的长度，猜想诙E46的延长线的延长线与一旋转到如图133

（2）若三角尺所示的位置时，线段,MBDGFN,此时，（1的延长线与）中的猜想相交于点的延长线

相交于点，线段还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

FN)(FD

NF00

OGEABMA)G(A)B(EBMEG

图13图-113—3-13图

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ABCABACCGBABAG.一等腰直角三角尺按如=交，2.（10河北|）在△的延长线于点中，边在

一条直线上，所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为，一条直角边与图15-18.另一条直角

边恰好经过点GF

CGBA的与（1）在图15-1中请你通过观察、测量口新满足的数量关系，与长度，猜想并写出

然后证明你的猜想aC

AC（2）当三角尺沿所示的位置时，方向平移到图15-251

图力「边在同一直线上，另一条一条直角边仍与G

产的。龙及力作边于点于，过点，直角边交力

CGEDEDF与.此时请你通过观察、测量、点E

CGDEDF与的长度,猜想并写出+之间满足C6。的数量关系，然后证明你的猜想;15-2图2

（3）当三角尺在（）的基础上沿方向继续平力做7上，移到图15-3所示的位置（点在线段

ACF）中的猜想是否且点2与点不重合）时，（EF

仍然成立？（不用说明理由）C

DB

15-3图

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CDFEABCDABEF,把一个足够大和3.（2010梅州）用两个全等的正方形拼成一个矩形

按逆的中点的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边重合,且将直角三角尺绕点时针方

向旋转.HEFG,BE,4BE尸时,如的两边相交于点（1）当直角三角尺的两直角边分别与矩

形BGEH图甲，通过观察或测量的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论.与EFBE

时（如的延长线，）当直角三角尺的两直角边分别与（2的延长线相交于点图乙），你在图甲中

得到的结论还成立吗？简要说明理由.H

DFAD

AFH

BB

G

E

GCE

C

图甲图乙

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（09烟台市）如图，菱形ABCD的边长为2,BD=2,4.E、F分别是边AD,CD上的两个动AE+CF=2.

点，且满足（1）求证：Z\BDE名ZXBCF；

（2）判断4BEF的形状，并说明理由;

D

E

(3)设ABEF的面积为S,求S的取值范围.

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a2bb》,AEFGABCDa),且和(都是正方形，它们的边长分别为5.如图①，四边形b,aADF

在的代数式表示）.点上（以下问题的结果均可用S）求；（IDBFASAEFGA；绕点按逆时针方

向旋转45°得图②，求图②中的（2）把正方形“必£4后/64是否存在最大值、最小绕点）把

正方形旋转一周，在旋转的过程中，（3。8必值？如果存在，直接写出最大值、最小值；如果不

存在，请说明理由.DDCCF

E

FGEBBG

AA①②28题）（第

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〃8。94。。尸氏48/75于上从交6.如图，在边长为4的正方形中，点向在运动，连接。.点

ADQABQABP；（1）试证明：无论点△运动到△上何处时，都有/OQ480的面积是正△

DC

2()当点上运动到什么位置时，在'尸B

\ABCD方形；面积的_6CBCBAP,运动到点从点，再继续在上运动到点3()若点/OQP

△运动到什么位置时，在整个运动过程中，当点

恰为等腰三角形.精品资料分享

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)BM=FNO解：(1.1是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，证明：•「△GEFOB=OF,

z/.zABD=F=450zFON，又.NBOM二n拦△「.△OBMOFN;.-.BM=FN仍然成立。J2BM=FN

ABCDGEF是等腰直角三角形，四边形是正方形，证明：•・・△OB=OFz°//.zDBA=zGFE=45°,

NFO=135/.zMBO=z,又.NMOB=/NOF2△OFN，OBM."e/.BM=FN精品资料分享

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2.

解：(1)BF=CG；

证明：在-ABF和-ACG中，

vzF=zG=90°,zFAB=zGAC,AB=AC,

.-.-ABFs-ACG(AAS),

.-.BF=CG;

(2)DE+DF=CG；

证明：过点D作DHJ_CG于点H(如图)

•••DE_LBA于点E,/G=90。，DH±CG,

.♦,四吠EDHG为期,

.-.DE=HG,DHnBG,

.-.zGBC=zHDC,

vAB=ACr

.-.zFCD=zGBC=zHDC,

又•ZF=NDHC=90。，CD=DC,

.-.-FDCs-HCD(AAS),

.-.DF=CH,

.-.GH+CH=DE+DF=CG,即DE+DF=CG;

(3)仍然成立.

.3.解：(1)BG=EHABCD•.四边形和CDFE都呈TF方形,FDC=90°,z,z/.DC=DFDCG=

zDFH=FDH=90CDH=vzCDG+zzCDH+z°,.-.zCDG=zFDH,,FDHCDG^，二

CG=FH,BC=EF/.-.BG=EH.精品资料分享

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仍然成立.BG=EH(2)结论，同理可证ACDG要AFDHCG=FH/.,;BC=EF,

(1)证明：

♦.—ABCD的边长为2,BD=2,

;.-ABD和-BCD都为正三角形，

.-.zBDE=zBCF=60°,BD=BC,

vAE+DE=AD=2,而AE+CF=2,

/.DE=CF,

A-BDES-BCF;

(2)解：&BEF为正三角形.理由：

,.-BDEs-BCF,

.-.zDBE=zCBF,BE=BF,

vzDBC=zDBF+zCBF=60o,

.♦.NDBF+NDBE=60°即NEBF=60°,

.•.-BEF为角形;

(3)解：设BE=BF=EF=x,

贝US=&csin60°=近x2,

24

当BE_LAD时,x最小=2xsin6(T=V5，

.•.S最小=¥><(V3)2=乎，

当BE与AB重合时，煽大=2r

.•.S§^=—*22=V3r

答.

BC+CG=EF+FH,BG=EH./.4,

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5.

(1).点F在AD上f

222即丘，

,-.AF=4+4rAF=4

/.DF=12-4N2,

11_—

•••S^DBF=-DFXAB=-X(12-4N2)X12=72-24N2；

(2)连接DF,AF.

•.,由题意易知AF〃BD,

二.四瑚AFDB是梯形，

・•.-DBF与-ABD等高同底，即BD为两三角形的底r

由AF"BD,得到平行线间的距离相等,即高相等，

・・・SADBF=SAABD=72；

(3)正方形AEFG在绕A点旋转的过程中,F点的轨迹是以点A为园心fAF为半径的园，

因为-BFD的边BD=12日,故当F点到BD的距离取得最大、最小值时，S’BFD取得最大、最小值.

1———

如图②&fu^DF2_LBD时，S_BFD的最大值二S工BF2D=5X12N2・(6N2+4N2)=120,

1———

S-BFD的最小值二S-BF2D=5X12'2・(6、2-472)=24;

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6.

癣：(1)在正方形ABCD中,无论点P运动到AB上何处时，

都有AD=AB,/DAQ:/BAQ,AQ=AQ

・・・-ADQ斗ABQ;

(2)-ADQ的面积恰好是正方形ABCD面积的L时,

6

过点Q作QE，AD于E,QF，AB于F,

则QE=QF

11O

2A