高中数学数列习题

高中数学数列习题

一、单选题

1.对于一切实数X,令团为不大于X的最大整数，则函数/（X）=［幻称为高斯函数或取整

函数.若为=呜），“cN”,S〃为数列｛4｝的前。项和，则S3〃=（）

3131

A.—n2——nB.—n2+—n

2222

0923

C.3n~-2nD.-n——n

22

2.2021年是中国共产党建党100周年，某校在礼堂开展"廉续红色精神，发扬优良作风”

的庆祝活动.已知该礼堂共有20排座位，每排比前一排多3个座位数，若前3排座位数

总和为45,则该礼堂共有座位的个数是（）

A.570B.710C.770D.810

3.已知数列｛%｝的前"项和S"=a"-1是不为。的实数），那么｛4｝（）

A.一定是等差数列B.一定是等比数列

C.或者是等差数列，或者是等比数列D.以上均不正确

4.设a>0,b>0,2是4”与4〃的等比中项，则名•的最大值为（）

。+4力

11八21

A.—B.—C.—D.-

109275

2a„,0<a„<|

2

5.设数列｛4｝的前n项和为5"，己知4=《，”,任|=■，则几产()

2a"~l，2<a"-1

A.100B.80C.75D.50

6.已知数列｛4｝中各项为非负数，%=1,%=16,若数列｛阮｝为等差数列，则4=

（）

A.31B.49C.256D.361

7.正项等比数列｛%｝中，6,4%,-2%成等差数列，若/=；，则4%=（）

A.4B.8C.32D.64

8.设等差数列｛q｝的公差为d,若=2"",则"d<0"是"%"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

9.数列｛〃,,｝对任意及eN”都满足a,，且的=3,4=6,”“>。，则4。=

（）

A.2B.4C.12D.24

10.若数列｛《,｝的通项公式是为=苴3-"+2-"+（-1厂（3-"-2-"）］,前"项和为5,,则

，吧S,等于()

,11171925

A.—；B.—；C.—；D.—.

24242424

11.已知数列｛4｝满足々,x“=g(x,i+x“_2)，”=3，4,若我2"“=2,则/等

于()

3

A.-B.3C.4D.5

2

12.已知等差数列｛%｝的前"项和为S"，”=15,S,=99,则等差数列｛4,｝的公差是

()

A.-4B.-3C.-D.4

4

13.下表的数阵有无限多行和无限多列，其特点是每行每列都成等差数列，若记第/行第j

列的数为％有以下说法：①图=65；②数阵中第2行前10个数的和为

120；③数阵中第2021行第2022个数是20222.则其中正确说法的个数为()

A.0B.1C.2D.3

14.已知等比数列｛4｝首项4>1,公比为q,前”项和为5"，前”项积为7；,函数

/(x)=x(x+aj(x+%)…(％+%),若/"(0)=1,则下列结论不正确的是()

A.｛1g%｝为单调递增的等差数列B.0<"1

C.｛s,-言｝为单调递增的等比数列D.使得成立的n的最大值为6

15.孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，最早可见于

中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852年英国来华传教士伟烈亚力将其问题的解

法传至欧洲I,1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解

法的一般性定理，因而西方称之为"中国剩余定理”.这个定理讲的是一个关于整除的问

题，现有这样一个整除问题：将2至2022这2021个整数中能被4除2且被6除余2的数

按由小到大的顺序排成一列构成一数列，则此数列的项数是()

A.165B.166C.169D.170

二、填空题

16.写出一个同时具有下列性质(1)(2)(3)的数列｛%｝的通项公式：%=

(1)数列｛4｝是无穷等比数列；(2)数列｛叫不单调；(3)数列｛|%|｝单调递减.

17.已知等比数列｛4｝中，4・%=3,公比q=G，则%,4=.

18.等差数列｛4｝中，%+见+%+%+%+%=120,则｛%｝的前10项之和,=.

19.若数列｛为｝是等比数列，且，她S，=l,则4的取值范围是.

20.已知等差数列｛叫前n项和为S”，若4+知+。”=9,则E产.

三、解答题

21.已知数列｛4｝满足4=1，%+4用=4几

⑴求数列｛七｝的通项公式；

4〃cosn/r

(2)设“=------，，求数列｛4｝的前n项和S“，并求5”的最大值.

“Mi+i

22.已知等差数列｛%｝中，%=3,%=6,且或=忙爆2数’

⑴求数列出｝的通项公式及前20项和；

⑵若%=%-也“，记数列｛%｝的前n项和为S“，求5”.

23.已知数列A：4，生，…，*其中机是给定的正整数，且小22.令

4=min｛%,%｝,i=X(A)=max也也，…，或｝,q=max｛%.一”％｝,

i=l,…,加，丫(4)=而11｛4勺/",4｝.这里，max｛｝表示括号中各数的最大值，min｛｝表

示括号中各数的最小值.

(1)若数列A：2,0,2,1,-4,2,求X(A),F(A)的值;

(2)若数列A是首项为1,公比为夕的等比数列，且X(A)=y(A),求夕的值；

⑶若数列A是公差d=l的等差数列，数列8是数列A中所有项的一个排列，求

X(8)-y(8)的所有可能值(用，"表示).

24.①｛2%,｝为等差数列，且％=|；②］奈J为等比数列，且4=；.从①②两个条

件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.

在数列｛4｝中，4=g,.

⑴求｛〃“｝的通项公式；

⑵已知｛4｝的前"项和为5“，试问是否存在正整数p,q,r,使得S“=p-qai?若存

在，求P，q，r的值；若不存在，说明理由.

【参考答案】

一、单选题

1.A

【解析】

【分析】

根据高斯函数的性质以及数列求和公式进行计算.

【详解】

解：由题意，当〃=33n=3k+\,〃=3A+2(&eN+)时，均有g=k,

故可知:

1+(7?-!)

S3n=0+0+1+1+1+2+2+2+3+3+3+・・・+(J7—1)+(〃—1)+(〃—1)+〃=3Xx(n-l)+n

2

321

=-n——n.

22

故选：A

2.D

【解析】

【分析】

根据题意可知是等差数列，然后列出列子，解出｛q｝的基本量4=12和"=3,求前20项和.

【详解】

设从第一排到最后一排的座位数构成一个数列｛凡｝

由"每排比前一排多3个座位数"可知，｛。〃｝是等差数列，且公差d=3,又

4+4+4=34=45,可得《=%-3=12,该礼堂共有座位的个数为

20x10

S.=20x12+---------x3=810,

202

故选:D

3.C

【解析】

【分析】

根据4=:<得到为=(。-1)小,再分。=1和4Hl两种情况讨论，即可得解;

【详解】

解：因为6“=屋-1①,

当〃=1时S[=4=。-1；

当〃之2时，5„_|=优一|一1②，

①一②得S”一ST=(优一1)一(―),即4=/_1)L

因为4H0,

当“=1时4=0为等差数列，

当4H1时％=(4-1)"1,表示以4-1为首项，。为公比的等比数列:

故选：C

4.B

【解析】

【分析】

ab1，

---------—---------4।

由条件可得4+8=1,然后“+你一41,然后利用基本不等式求出之+二的最小值即可.

一+丁ab

ab

【详解】

「2是4"与4"的等比中项，，4"-4"=22,，a+b=L

=-

..z41(41\广a4Z?_\CL4b、1/n/—»、［/

・a+4b41,—+—=—+—(a+Z?)=5+—+—>5+2/-------=9,当且仅当。

一+工ab\ah)ba\ha

ab/

匕=;时取等号，

.ab1

•••

a+4b9

故选：B.

5.D

【解析】

【分析】

先由递推关系式得到数列的周期为4,再计算与。。即可.

【详解】

由题意得，«,=pa2=p%=,，%=:，…，；•数列｛4｝的周期为%

SI00=25x(q+a2+生+4)=50.

故选：D.

6.B

【解析】

【分析】

按照题意求解出等差数列的公差，代等差数列通项公式即可计算出结果.

【详解】

解：由题意的=1必=16,=疯=4,又因为数列｛疯｝是等差数列，

所以公差1=驾・/=1,且也=0满足各项为非负数，

则m=瓦+(8-1)d=7可得4=49

故选：B.

7.D

【解析】

【分析】

依题意内，44，-24成等差数列，可求出公比q,进而由求出%,根据等比中项

求出％%的值.

【详解】

由题意可知，«5,4%,-2%成等差数列，

所以-2q=8a3,即«392-2a3<7=8%，

所以/_2«_8=0,夕=4或q=-2(舍)，

2

所以％=a2q=8,

4%=a：=64,

故选：D.

8.C

【解析】

【分析】

利用指数函数的单调性、数列增减性的定义以及等差数列的定义，结合充分、必要性定义

判断即可.

【详解】

充分性：若d<0,则。“+1-a,=dvO,即1〈a.,；.2%<2%，即%所以充分性

成立；必要性：若％<b„,即2%<2%，，«„+i<4,则a„+i-an=d<0,必要性成立.因

此，"“<()"是"%<包”的充要条件

故选：C.

9.C

【解析】

【分析】

根据递推关系及已知条件依次求出%、为，进而可得4°.

【详解】

由题设，a；=a2a6=lS,而%>0,则4=3五,

36

又d=%%,则为==6近,

•»72

«8=a6aio'则4O=T=12.

O

故选：C

10.C

【解析】

【分析】

由题意，当〃为奇数时，a“=2-=Qj；当”为偶数时，a“=3-"=(j',从而根据数列

极限的性质即可求解.

【详解】

解：因为数列｛4｝的通项公式是4,号3+2-"+㈠厂（二"4"）],

所以当"为奇数时，«„=2-n=W…=({|；

当”为偶数时,

所以臬=|｝+**…卜+

1J_

OQ219

所以1旧5“=-^+\=方

〃tp.1.124

1--71T

2232

故选：C.

11.B

【解析】

【分析】

先求通过归纳猜想数列的通项，并证明x“-x„_,X）,再通过累加法求数列代｝的

通项公式，最后根据!如毛=2,求演.

【详解】

।3|5

解：当九=3时，刍=7（*2+%）=[*1，当〃=4时，X=—（-r2+X3）=

24428

假设当"=正N*）时，x*

那么当〃=%+1时，玉+I-X*=+4_1)-4=-g(4-%)

所以当〃=左+1时等式成立，

综上可知，当”22,〃eN.时，等式成立.

•••数歹式七一%-｝是公比为，首项为-；王的等比数歹U,

，4=玉+（々一%）+（七一々）+-+（4一斗_1）

解得％=3.

故选：B

12.D

【解析】

【分析】

设等差数列｛4｝的公差为,，根据题意可得出关于4、d的方程组，即可解得d的值.

【详解】

设等差数列4的公差为"，由题意可得［mm解得｛蓑1

故选：D.

13.C

【解析】

【分析】

按照等差数列的通项公式和求和公式依次判断即可.

【详解】

由图可知出」=9,第8行的公差为8,故%8=/+7x8=65,①正确；

%=3,第2行的公差为2,故第2行前10个数的和为10x3+^x2=120,②正确；

%02ij=2022,第2021行的公差为2021,故

4O2L2O22=02021,1+2021x2021=2022+20212*20Q22,③错误.

故选：C.

14.A

【解析】

【分析】

令g(x)=(x+4)(x+4)…(x+生)，进而求导并结合了'(0)=1得=1，进而根据等

比数列性质得知=1="4,进而得。<4<1判断B；再对等比数列佃,｝的通项公式取对数判

断A；再根据等比数列的前〃项和求解|s“-言)通项公式判断C；再根据4>1,

0<夕<1,%=1得〃44时，T„>1,再推理可判断D.

【详解】

令g(x)=(x+a1)(x+aj…(x+%),贝lj/(x)=xg(x),

二f'(x)=g(x)+xg，(x),f'(p)=g(6)=ala2-aJ=l,

因为｛%｝是等比数列，所以4生=1，即为=l=q，,

•.•4>1,：.Q<q<\,B正确；

：lgan=1g)=1g4+(〃-1)1gq,

｛Iga,,｝是公差为也4的递减等差数列，A错误；

言（▼-»券/，

是首项为言<。,

公比为q的递增等比数列，C正确;

.,«1>],0<q<l,a4=1,

•・〃<3时，/>1,〃之5时，0<<1,

，・〃W4时，(>1,

:R=I4…%=aj=1，

・・〃28时,7；二4。8。9=1，

又

所以使得4>1成立的"的最大值为6,D正确.

故选：A.

15.C

【解析】

【分析】

设所求数列为{4},由题意可知4,-2=12（〃-1）,从而可求通项公式，结合已知

24442022可求〃的范围，进而可求.

【详解】

设所求数列为{%},由题意可知q-2=12（〃-1）,

所以4=12”—10,

^2<an<2022,gp2<12n-10<2022,解得

所以满足14〃4169g的正整数〃的个数为169,所以该数列共有169项.

故选：C.

二、填空题

1;j（答案不唯一）

16.

【解析】

【分析】

根据数列｛/｝需要满足的条件，可写出答案.

【详解】

由题意可得，4,=卜g）满足（1）数列｛q｝是无穷等比数列；（2）数列｛4｝不单调;

（3）数列｛|为|｝单调递减，

故答案为：an

17.27

【解析】

【分析】

利用等比数列的通项公式求解.

【详解】

解：等比数列｛4｝中，4々5=3,且4=6，

所以4q=/必■/=3x（6）=27,

故答案为：27

18.200

【解析】

【分析】

利用等差数列的下标和公式，求出4+4。的值，再代入前〃项和公式即可.

【详解】

%+%+%+%+%+/=120

,3（4+%J=120解得：4+%）=40

.•.%=1°'（《+4。）=吆丝=200

io22

故答案为：200.

19.（O,1）U（1,2）

【解析】

【分析】

由等比求和公式结合极限求解即可.

【详解】

设公比为4,因为，%S,,=l,所以-1＜夕＜1且“WO

limS=lim--------=—―=1,则4=l-qw(O,l)51,2)

>+oo/»—>+<x>]—q]—q

故答案为：（O』）U（1,2）

20.51

【解析】

【分析】

先利用等差数列的通项公式求出为=3,再利用等差数列前n项和公式进行求解.

【详解】

设等差数列｛q｝的公差为d，

因为4+%+43=9,

所以〃9-6d+4+2。+%+4d=9,

即3%=9,即佝=3,

所以$7=^^122=17%=17x3=51.

故答案为：51.

三、解答题

21.⑴〃“=2〃-1

（2）5=一1_上近，最大值

【解析】

【分析】

（1）由递推公式求出生,再可得%+*2=4〃+4,作差得到“-2-%=4,即可得到数列

｛%-J和数列｛的）都是公差为4的等差数列，分奇偶项求出数列的通项公式，即可得解；

（2）由（1）可得h=E1£_（T）'"：,利用裂项相消法求出5,,再对〃分奇偶，求出S,的

"2n-l2〃+1

最大值；

⑴

解：由%+4用=4〃得4+4=4,

又4=1,所以4=3,

由%+%=4〃得%+/+2=4〃+4

从而4+2-%=4，

因此数列｛%-｝和数列｛%“｝都是等差数列，它们的公差都等于4.

所以%-=1+4（〃_1）=4〃_3=2（2〃_1）_1

即当"为奇数时，an=2n-\.

«2（1=3+4（〃-1）=4"一1=2*2〃-1

即当"为偶数时，an=2n-\

综上，数列｛%｝的通项公式为4=2〃-1

⑵

门,/八—r/R,4/icos=（7）111

解：由(1)可得力=------------H-------

(2n-l)(2/i+l)

44+12/t-l2〃+1

j-iy,(-ifj-iy-(-C

2/t-l2〃+12/7-12n+\

所以S"=4+仿+…+2

223Hn+,

-1(-1)(-1)(-1)+(-l)(-l)

13352"一1+1

itr

2/2+1

—^―<-1

当0为奇数时,

2〃+1

T-5—>-1,且随着”的增大，$,在减小,

当n为偶数时,S〃=T+

2〃+1

4

所以当〃=2时,5”取得最大值

〃+1,〃为奇数々）

22.⑴2=2"/为偶数13（）

【解析】

【分析】

（1）结合％=3,4=6求得等差数列｛%｝的通项公式，即可得｛〃,｝的通项公式，利用分

组求和的方法，根据等差数列和等比数列的前〃项和公式求解即可；

（2）由（1）可知%=2〃-4",利用错位相减法求解即可.

⑴

设等差数列｛/｝的公差为d,则"=与二察=1

6—3

〃+1,"为奇数,

所以q=%+("-3"=",从而仇,=

2",〃为偶数,

4+仿+4+…+九+%=(2+4+…+20)+(2?+24+…+220)

=1OX(2+2O)+4X(1-4-)=IIO+4(4，(1_1)

21-43、'

(2)

b2

,•*%=2n-\-b2„=2nx2"=2n-4",

：.S„=2x4'+4x4?+6x4'+…+2”-4”,

4s“=2x4?+4x43+6x44+-+2(n-l)-4"+2n-4,,+l,

相减得,-3S=2x4'+2x42+2x43+---+2x4n-2n-4"+l,

所以-3S„=8(；：)-2〃.4""=-2〃)-1,

即S=(2〃_2]4向+§.

"U9)9

23.⑴X(A)=1,Y(A)=2；

(2)4=1；

(3)所有可能值为-1』,2,…,2加一3.

【解析】

【分析】

(I)根据函数定义写出x(A),义4)即可.

(2)讨论数列A的项各不相等或存在相等项，当各项都不相等，根据题设4,。定义判断

{配4，...的“}C{C”C2，...,%,}=0,当存在相等项，由等比数列通项公式求q,进而确定夕的

值；

(3)利用数列A的单调性结合(2)的结论求X(8)-y(B)的取值范围，估计所有可能取

值，再应用分类讨论求证X(8)-y(8)对应所有可能值均可取到，即可得结果.

(1)

由题设，伪=o,b2=\,b}=-4,贝ljX(A)=max{0,l,-4}=1,

C]=2,c2=2,c3=2,则y(A)=min{2,2,2}=2,

所以X(A)=1,y(A)=2.

(2)

若数列A任意两项均不相等，

当，=1,…,Mi时4片J；

当i,/e{1,且iHJ时，{%-i，a2i}c{a2._,,a2j}=0,

又々=01出{421，a2』《{。21，%}，J=max{a2,T，a”}e{电H，a“},

此时

综上，{&也，…也Jc{q,C2，...,%}=0,故X(A)"(A),不合要求；

要使X(A)=y(A),即存在i#j且i,Je{1,…,2叫使a.=a.,即武=,

又4*。，则q=±1,

当4=-1,则X(A)=-l,y(A)=l,不合要求；

当<7=1,贝i」X(A)=y(A)=1,满足题设；

综上，q=L

⑶

由题设数列A单调递增且4<%=4+1<……<a2„,=a,+2m-1,

由(2)知:X(B)wY(B),

根据题设定义，存在iwj且X(B)=a“Y(B)=%,

则X(B)-Y(B)=―—,

由x(8)比数列A中m-1个项大，X(B)>am,同理Y(B)4q向，

所以*(8)-丫(8)±%-勺”=-1；

又至少比数列中一项小，同理分，

X(B)AX(B)<a2m_lt«8)2

所以丫(

X(8)-8)4a2m_x-a2=lm-?>.

综上，.

令数列8:孙孙...,七,下证T」,2,…,2加-3各值均可取到,

i、当=%,芍=4+篦=1,2,...,»1,而数列A递增，

•且

瓦=min{x2(.,1,x2,.}=min{a;,am+,.}=q,q=maxfx^pX^.}=max{a,,,am+,.}=i=,

此时，么

X⑻=max{，…,/?,„}=max，…,am}=am,

y(B)=min{j,...,q,J=min{am+1,...,«2,„}=a„,+l,

则X(3)-y(B)=-l：

、当左=时，则

iix2k_,=ak,x2k=am,xlm_,=am+k,x2m=a2m,

4=%，Ck=bm=am+k,cm=a2m,

当且时,令则

i=1,...,mi#mx2/,,=4,x2i=4+,,瓦=a,<am_,,q=am+l>am+l,

所以〃,…也}=

X(B)=max{max{a1,...,a,„.l,am+J=j,

「…,

Y(8)=min{ccm]=mm{a„^,...,am+k.vam,am^a2m]=a,„,

此时X(B)-y(8)=%,+*-4=&w{1,2,...,〃?-1}；

iii>给定tw{l,2,...,/n-2},

令且