专升本《高数二》重点资料

成人高考入学考试

高等数学（二）通关资料

一\极限

考点1:极限的四则运算法则

1.利用极限的四则运算法则求极限

如果lim/(x)=A,lim曰

尤—xoX-尤0

1.lim[f(x)±g(x)]=limf(%)±limg(x)=A±J

x-九oXfX0X—>xo

2.lim[/(%).g(x)]=lim/(x：limg(x)=AB

XQX-1()X.x0

limf(x)

3.当limg(x)w0,lim/(工)二X-1o_________=a

x—>%0X—>XQg(x)limg(x)B

X^X0

lim[c./(x)]=c.lim/(x)

X—>X0XX0

n

lim[/(%)]"=Jim。/(%)」

0

一\极限

考点2:无穷小■和无穷大・定义及关系

1.无穷小量概念：

如果当自变量%-%(或%—8)时，函数f(%)的极限值为零，

则称在该变化过程中，f(%)为无穷小量，简称无穷小，记作

limf(x)=(0或limf(%)=0)

X—>X0xf00

在微积分中，常用希腊字母a，氏丫来表示无穷小量.

2.无穷大量概念

如果当自变量%-%(或%一8)时，函数/(%)的绝对值可以

变得充分大(即无限得增大)，则称在该变化过程中，f(x)

为无穷人量.记作lim/(制=8

X一却

两者关系：

在同一变化过程中，如果/⑴为无穷大量，则/%T为无穷小量

反之，如果/⑴为无穷小量，且则7%为无穷大量

一\极限

一\极限

考点4:等价无穷小

1.如果0C1、。2、P1、32都是同一变4匕过程中的无穷小

里，且0C]〜Pu0C2〜

ap

贝Ulim_1=lim1

。2P2

这个定理说明，两个无穷小量之比I勺极限，可以用与

它们等价的无穷小量之比的极限来弋替.以后我们可以

用这个方法来求两个无穷小量之比为极限，此方法可

叫做等价无穷小代替法。I

常用等价无穷小：

­4X

当x-0时，x〜sinx-In(1+x)crcsmx〜arctanx〜e-11

J_2u

~tanx,1-cosx-2x,(1+x)」常数，

一\极限

考点5:两个重要极限

殊极限丘=1

x-oX

特殊极限二:

1x

lim(1+-----)=e

X-00X

1n

lim(1+-----)=e

nfoon

1

lim(1X

x->0

二、连续

考点1:函数在某一点的连续

定义1：设函数y=/(x)在点出的某个邻域内有定义，如果

有自变量Ax(初值为3)趋近于。时，相应的函数改变量Ay

也趋

近于0,即lim"(x()+Ax)-/(xo)］二0

Axf0

则称函数y=/(X)在点出处连续.

定义2：设函数y=/(x)在点X。的某彳・邻域内有定义，如果当

xf和时，函数/(、)的极限值存在，且等于和处的函数值/(和)

即lim/(%)=/(xo),则称函数y=/(x)在点x()处连续.

xf殉

定义3：设函数y=/(x)在点X。的某彳・邻域内有定义，如果当

xf3时，函数/(x)的左右极限存在」工等于函数值/(3)，即

f

二、连续

考点2:函数间断点

定义：如果函数/(X)在点均处不连续，则称点为/(%)

的一个间断点.由函数在某点连续的定义可知，如果函数/(X)

在点均处有下列三种情况之一，则点出是/(X)的一个间断

点：(1)在点出处，f(X)没有定义。

I(2,在点与处，/(%)的极限不存在u，，

(3)虽然点xo处/(%)有定义，且lim/(x)存在，但

xfx。

lim/(x)w/(xo)

%—%0

三、导数

(一)导数定义

设函数＞=/(%)在点刖的某一邻域内有定义，若自变量X

在点刖处的改变量为Ax(X。+Ax仍在该领域内).函数y=

(x)相应地有改变量Ay=/(沏+Ax)(项).如果极限

]imAy=lim/(—0+)-/(工0)

Ax—>oAxA%-oAx

存在，则此极限值为函数y=/(x)在点出处的导数.

，①，

记作y，或/(沏).

,f(x0+Ax)-f(x0)

即/(1o)=lim

Axf0A%

,f(x)-f(x0)

/"Um

X^>XQ

,f(x0+h)-f(x)

f(x0)=lim'

三、导数

（二）基本初等函数的导数公式

1(.c)=0

2(.xa)=axa1

3(.logx)=(a〉0,且awl)

aixIna

4(.Inx)1-x

5(.a")=a"Ina

6(.e")’二e"

7(.sinx)=cosx(/cosx)=-sinx

8(,tanx)=sec2x/(cot%)=-esc2x

三、导数

（二）基本初等函数的导数公式

9(,secx)=secx.tajix/(cscx)=-cscx.cotx

10(.arcsinx)三_____(-1<%<1)

Vl-x

1

(-1<x<1)

11(.arccosx)=-\1-x

12(.arctaiu)=1+x

TC/\T2

三、导数

（三）导数的四则运算公式

1(.U±V)=U±V

!!!

2(.u.v)=u.v+u.v

3(.cu)=cu(c为常数)

)=U.V-2U.V(vwO)

三、导数

(四)复合函数求导

如果函数u=a(%)在点x处可导，函数y=/(u)在对应

点u处也可导，则复合函数y=/[a(x)]在点1处可导,

一d-ydydu

且有dx=du•dx

!!!

yx—yu.ux

{f[ct(x)]}=fQu)u(x)

解题思路：

(1)找出复合框架，y=f(u),u=f(x)

y=/3),》=/⑺,v=/(x)

(2)分别求导相乘

三、导数

(五)参数方程表示的函数求导法则

一般的，如果参数方程

「X=u(t)

<(t为参数)

[y=v(t)

确定了y为x的函数，在计算此类由参数方程

年确定的导数时，不需要先消去参数t后再进行求导.

dy—dt—dydt—u(t)—yt

----・---------1-1

dxdxdtdxv(t)xt

dt

三、导数

六)隐函数的求导

解析法表示函数通常有两种：

(1).y=f(x)来表示的，称之为显函数。

如y=sinwx,y=exIn(x+Jl+x2)

(2).x与y之间的函数关系是由一个方程尸(x,y)=0

来确定这种称之为隐函数，

如2x+y3-1=0,xy-ex+ey=0

对于隐函数的求导通常做法：

可直接在方程尸(x,y)=0的两端同时对x求导，而把y

视为中间变量，利用复合函数求导法即可。

(特殊情况：对数求导法时，先两边同时取对数，再求解)

三、导数

(七)高阶求导

如果函数y=/(x)的导数y=/(x)仍是X的可导函数,

那么就称/(%)的导数为/(%)的二阶导数，相应地/(%)’

称为函数y=/(x)的一阶导数.二阶导数记为

""d2y.2/

y，/⑴，/2或,2

axax2

"-""dyddy

y=(y)9f(x)=[/(x)]或----------="()

四、微分

(一)微分公式和微分法则

微分公式：

(l)d(c)=(0c为常数)(.2)d(xa)=axa1dx

(3)d(a')="*Inadx(a>0,且awl)

“v1

(4)d(eX)=e"dx.(5)dlogax=~~T~~公(〃>0,且awl)

(6)d(Inx)=~dx.(7)d(sin%)=cosxdx

x

(8)d(cos%)=-sinxdx

函数的和、差、积、商微分运算公式

设〃=〃(x),v=v(x)可微分，则

d{cu)=cdu(c为常数)；d{u±v)=dudv

d{uv)=vdu+udv;d(J£)="d"-"dv_(#0)

2

五、导数应用

(-)洛必达求导

如果当XT〃(或XT00)时，函数X

X

都趋于零或都趋于无穷大，则称lim

x-^aF(X)

(Xf8)

0oo

为未定型极限，并分别简记为“一0”或“一00”

洛必达法则是求未定型极限的一种有效方法。

其它类型未定式：0.00；00-00也可以变形

000

为“一()”或“一8”来求解

五、导数应用

(二)曲线的切线方程与法线方程

若函数y=/(x)在点xo处可导，由导数的几何意义，知/(xo)

表示过曲线上点MQo,/国)))的切线斜率，所以，过曲线上点

))的切线方程为：

M(XQ,f(xQ

y-f^Q)=f(xo)(x-X。)

1,法线方程为

法线的斜率为-f(X)

y-fM=-f(%)(x—xo)

五、导数应用

(三)函数单调性判断

设函数/(x)在区间(a,Z?)内可导.

1.如果在区间(〃")内/(x)>0,则函数〃x)在区间(〃")内是递增

的；2.如果在区间(〃")内，(%)<0,则函数/(x)在区间(〃")内是

递减的。注：八元)在个别点处/(%)=()不影响〃；0的单调性.

五、导数的应用

（四）函数的极值

1.极值的第一充分条件

设/（X）在3的某领域内可导.

（1）若X<Xo时，/（x）〉。，x>XQ,f（X）<0时则称Xo为极大值点，/（X0）为

极大值⑵若x<xo时，/（%）<0,x>/（%）〉0时则称为0为极小值点，j

（3）为极小值（3）如果/（x）在和两侧的符号相同，那么xo不是极值点。

2.极值的第二充分条件

设函数y=/（x）在出处存在二阶导数，且/（的=0,则

（1）若/（xo）<0,/（xo）为极大值，xo为极大值点；

（2）若/（%o）>0,/（沏）为极小值，沏为极小值点；

（3）若/（%0）=0,此方法不能判定出是否为极值点，而

改用极值第一充分条件来判定。

五、导数的应用

（四）函数的极值

极值存在的必要条件：

设函数/⑴在3可导，且在点3处取得极值，则

必有/的）=。，称满足/的）=。的点为函数/④

的驻点，由此可知，可导函数的极值点必为驻点。

五、导数的应用

(五)曲线的凹凸性及拐点

曲线凹凸性的判别法：

设函数y=/(x)在&/上连续，在内具有一阶和二阶导

数，那么

!!

(1)若在(〃")内，/⑴>0,则/则“X)在口，封上的图形

!!

是凹的(2)若在(")内，/(x)<0,则/则/⑶在口，口上

的图形是凸的曲线的拐点：

在连续的曲线上的凹弧与凸弧之间的分界点称为曲线的拐点。

五、导数的应用

曲线的水平渐近线与铅直渐近线

定义：

若lim于(x)=A或limf(x)=A或lim/(x)=A,则

%—+oo%-

称直线y=A是曲线y=/(x)的水平渐近线.

若limf⑴=00或lim/(x)=00或lim/(x)=oo,贝！)

xfax—a*%-a

称直线x=a是曲线y=/⑴的铅直渐近线.

六、不定积分

(一)原函数

区间上了(%)的原函数的全体，称为/(%)在/上的不定积

分

如果尸(X)为/(%)的一个原函数，则有

Ir/\1c-bk।Itc、),/-r^

六、不定积分

(二)不定积分

区间上了(%)的原函数的全体，称为/(%)在/上的不定积

分

如果尸(X)为/(%)的一个原函数，则有

Ir/\1c-bk।Itc、),/-r^

六、不足积分

（三）不定积分的性质

1(1)[Jf(x)dx]=f(%),d\f(x)dx=f

(x)dx(2)\dF{x}=F(x)+C,fF(x)dx=F

(x)+C(3)J4(x)公=%J/((左为常数

(4)

六、不足积分

（四）基本积分公式

1

X&dx=a+]Xa+1+C(〃w-1)

(2)f~x^x=求)+c

⑶Jx_0_

a公=I”+C(〃>0,1)

(4)1

exdx=ex+C

(5)1

sinxdx=-cosx

(6)f

cosxdx=si

六、不定积分

（四）基本积分公式

（7）Jl+X2dx-arctanx+C

1

（8）dx=arcsinx+C

六、不定积分

（五）求不定积分的两种常用方法:

一、换元积分法（凑微分法）

设/（U）有原函数尸（U）,且U=v（x）,则尸w（x）］是

（X）

的原函数，即有：

Jf［v（x）］v（x）dx=F［v（x）］+C

二、分部积分法

设〃、V都是X的可微函数，则有

七、定积分

(-)定积分的定义

\a/(

称/(X)在区间口,切上可积.

其中/(x)称为被积函数，/(x)dx称为被积表达式，

X称为积分变量，〃口称为积分区间，。称为积分下

限，》称为积分上限.

七、足积分

(二)定积分的注意点

注意：

(1)定积分若存在，它只是一个确定的常数，它只

与被积函数/⑴及积分区间口有关，而与积分变

量的符号无关，即应有L/7(x)dx=L/7⑺流.

(2)定积分£/7(x)dx中，上下限的大小没有限制，但若

颠倒积分上下限，必须改变定积分的符号，即

ba

\af(x)dx=-\bf(x)dx

af(x)dx=0

七、定积分

(三)定积分的性质

1.常数可以提到积分号之外，即若左为常数，则有

\akf(x)dx=k\af(x)dx

2.两函数代数和的定积分等于它们的定积分的代数

和即有

\at/W±g(x)"x=\af^dx±\ag(x)dx

可以推广到有限个函数的代数和的情况.

3.定积分的可加性：如果积分区间口勿被点。分成

两个小区间与匕b\,则有

\af3dx=\af(Qdx+\cf(x)dx

4.如果在区间［d勿上，总有/(x)Kg),则有

bb

\a于。)去<\ag(X)dx

七、足积分

(四)牛顿一一莱布尼茨公式

如果尸⑴是连续函数/⑴在区间力

上任意一个原函数则有

yf(x)dx=F(x)b=F(b)-F(a)

(五)定积分的几何意义

(1)当/(x)20时，定积分/(x)dx表示由连续曲

线

y=/(%),直线x-a,x-b(a<Z?)和x轴所围

成的曲边梯形9的面积s,即S=£/7

(x)dx

⑵当尔的运。时=的边梯形源加的面积s如

:I-Av<>

图2.即*静廿］自笊减枕Eg2也*开—4

y=f(x)>O

yy

abx

七、足积分

(五)定积分的几何意义——求平面图形面积

(1)由,=/(%),%=〃,x=6(〃<6)及％轴所围成的封闭平面图形的面积S:

(2)由)=力(％),j=f2(x),%=〃,X=6(Q<6)所围成的封闭平面图形的面积S:

SJo叶力(%)-力(%)L

(3)由X=S(y),y=c,y=d(c<d)及y轴所围成的封闭平面图形的面积S:

(4)由j=Si(y),x=S2(y),y=c,y=4(°<〃)所围成的封闭平面图形的面积S:

S="S2(y)-也(力办

(5)由丁=力(％)，,=力(％)所围成的封闭平面图形的面积S:

先求两条曲线的交点，只需求解方程组：1，得出交点中％的最小值，

b=%(%)

记为尹，及交点中％的最大值，记为。，则

s=Lzk(x)-fl(x)\dx

七、定积分

(五)定积分的几何意义一一求旋转体体积

(1)曲线段y=/(1),〃绕Ox轴旋转所得旋转体体积匕:

匕=71\af2(X)dx

⑵曲边梯形y=/(x),x=a,x=b(a<b)及Qx轴所围成的图

形绕3轴旋转所得旋转体体积匕：

匕=K\af2(X)dx

(3)曲线段x=S(y),cVxVd(c<d)绕0y轴旋转所得旋转体体积峰：

Vy=兀J/S2(y)dy

(4)曲边梯形x=S(y),y=c,y=d(c<d)及Oy轴所围成的图

形绕何轴旋转所得旋转体体积峰：

Vy=兀S2(y)dy

七、定积分

(五)定积分的几何意义一一求旋转体体积

(5)由丁=力(％),y=fz(x),%=",v=/?(“</?)所围成的封闭图

形绕Qx轴旋转所得旋转体体积匕：

匕=兀L"力2(X)—力2(x)dx

⑹由x=9i(y),x=S2(>),>=c,y=d(c<d)所围成的

图形绕Oy轴旋转所得旋转体体积峰：

匕；=兀比2(y)—sj(y)dy

八、多元函数

(-)多元函数定义

定义：设。为xOy平面上的一个区域，如果对于。上的每

一占八、、

P(x,y),变量z依照某一规律/有唯一确定的数值与之对

应,则称Z为1，/的函数,记作Z=/(%,〉)

类似的可以定义三元函数，记作〃=/(%,y,z)

八、多元函数

(二)偏导数

偏导数的求法：

求二元函数z=/(x,y)对x和y的偏导数，并不需要新的

方法，当求/(x,y)对x的偏导数时，只要将二元函数中

的y看成是常数，而对％求导数就行了.

同理，求/(x,y)对y的偏导数时，只要将二元函数中

的x看成是常数，而对y求导数就行了.

如果要求/(九y)在点(xo,yo)处的偏导数，只需在偏

导函数中将X=XO,>=比带入即可。

八、多元函数

（三）二阶偏导数

!!

xx(%,y)

If

孙（羽y）

7"

=dZ=Zyx"(x,y)

dydx

ddz铲2„!!

-)=9—»(x,y)

八、多元函数

（四）二元函数极值

解题思路：设函数z=/（羽y）在点（3,比）的某邻域

内连续，有一阶和二阶连续偏导数，且

/%（3,>0）=0Jy（工0,>0）=。

又设

!!!!!!

f*（xo,yo）=AJ孙（x（）,yo）=BJ»（x（）,yo）二C

则（1）^B2-AC<0^,函数/（x,y）在点（和，光）处

取得极值，且当A<。时时有极大值，当A>。时有极小

值.

（2）B2-AC>0时，函数/（x,y）在