新教材高中数学第五章三角函数质量评估B含解析新人教A版必修第一册

第五章质量评估（B）

（时间：120分钟分值：150分）

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.sin1110°=（）

A.iB.-iC.—D.--

2222

解析：sin1110°=sin(3X360°+30°)=sin30°三，故选A-

答案:A

2.若弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2,则这个圆心角所对的弧长是（）

2

A.2B.—C.2sin1D.sin2

sinl

解析:如图，由题意知”1,小1,圆的半径r满足sin”sin1三,所以广焉，⑪的

2

长为2夕•尸-----.

sinl

答案:B

3.若角，的终边经过点（-当。则tan8=（）

A-1B--T。,8D-v

解析:因为角0的终边经过点（日,|）-,所以根据正切的概念,知tan9七故选

D.

答案:D

4.函数尸l-2sin5了的最小值和最大值分别是（）

A.-1,3B,-1,1C.0,3D.0,1

解析:因为xGR,所以sin[-1,1],

所以当sin时，％m=T,

当sin女=T时,m*=3,故选A.

答案:A

5.车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数,单位为辆份.上班高峰期某十

字路口的车流量由函数6"）=50+4sin]（0WtW20）给出，尸（。的单位是辆为"的单位是分,

则下列时间段内，车流量是增加的为（）

A.[0,5]B.[5,10]

C.[10,15]D.[15,20]

解析：由2kn+-,jtGZ可知函数F(t)的增区间为m,4-n+n],4G

Z.当心1时，大G[3n,515]c[3n,5Jt],故选C.

答案:C

6.(全国卷III)函数/'(x)=2sinx-sin2x在区间[0,2m]上的零点个数为()

A.2B.3C.4D.5

解析：由f(x)=2sinksin2A=2sin『2sinxcos^=2sinx(l-cosx)=0,得sinA=0

或cosA=1.因为xC[0,2m],所以A=0,Ji或2n.

所以/1(x)在区间[0,2■上的零点个数是三个.故选B.

答案:B

7.(2020年新课标全国I卷•理科)设函数F(x)=cos(3久+匀在[-”，n]的图象大致

如下图,则F(x)的最小正周期为()

9632

答案:C

8.若cos4=-|,4£§兀)，sin£二—|,£是第三象限角，则cos(£-。)=()

A.--B.—

6565

C.—D.--

6565

解析：由题意，知。£§兀)，故sin。＞0,所以sin。=同理，由sin

£二-1|,£是第三象限角，得cos£=谭.由两角差的余弦公式可得cos(£-q)=cos6cos

a+sin£sina=~^X(-|)+(-i|)X^=-H，A.

答案:A

二、选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合

题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.若sin。三,且。为锐角，则下列选项中正确的有()

43

A.tana--B.cosa--

35

C.sina+cos^=-D.sin"cosa=--

55

答案:AB

10.下列选项中，值为1的是（）

1V3

A.+B-sin券in571

sin5O°cos50°12

C.cos72°cos36°D-HCOS

答案:BC

11.下列关于函数尸tan（吗）的说法正确的是)

A.在区间（-管白上单调递增

B.图象关于G，0）成中心对称

C.最小正周期是兀

D.图象关于直线下f寸称

6

答案:AC

12.（2020年新高考全国I卷）右图是函数尸sin（3x+0）的部分图象,则sin（GX+。）二

)

A.sin(%+

B.sin鲁-2%)

C.cos(2%+

D.cos管-2%)

答案:BC

三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.若扇形的周长为4cm,半径为1cm,则其圆心角的大小为

解析:设扇形的周长为C,弧长为1,圆心角为。，根据题意可知周长俏2+片4,所以1=2,

而/=|a|尸aXI,所以a=2.

14.若sin。=三，ae(-,n),则tana---.

52F

解析:因为sina=|,n),

所以cosQ=-Vl-sin2a=-^,

r-r以rut,ana=-si-n-a——3.

cosa4

15.(本题第一空2分,第二空3分)已知函数f(x)=sin(2x+?,g(x)=sinx,要得到函

数g(x)的图象,只需将函数/1(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,再向右平移三个

单位长度.

解析:把函数f(x)=sin(2对序的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,得到

尸sin(x+a的图象,再向右平移方个单位长度得到g(x)=sinx的图象.

16.如图,扇形小8的半径为1,圆心角为全若尸为弧前上异于48的点,且PQLOB,交

出于点Q,当△尸。。的面积大于,时，N/W的大小范围为用.

解析：设/?叱9,贝ijM=sinQ,给cos9,0<

所以6A/>W=|Sin9cos«=[sin20,

由二sin2”玄，得sin2e>—.

482

又因为2咤(0,n),所以$29年

则会飞.

所以/户。0的大小范围为G5).

63

四、解答题:本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知tan^=2.

⑴求tan1。+与的值;

4

⑵求:6sinct+cosct的值.

3sinct-2cosa

解：⑴因为tan|=2,

2tanf2X24

所以tan

TT4

tana+tanitana+l二/二

所以tan(a+£)

1-tanatan-1-tanai+-7

43

(2)由(1),知tanci

4

er6sina+coscr6tana+l6x(-7)+17

所以—-------=------=——\—二一.

3sina_2cosa3tana-23x(--)-26

sin(a-^)cos(等+a)tan(n-a)

18.(12分)已知f(a)=.，其中aW/rJi(A£Z).

tan(-a-Tt)sin(-a-ir)

⑴化简f(a)；

(2)若/(：+£)=-/，£是第四象限角，求sin(2£+e的值.

sin(a--)cos(—+a)tan(Tt-a)

解：(1)/(a)=----z----2---------

tan(-a-ir)sin(-a-ir)

(-cosa)•sina,(-tana)

(-tana)-sina-C°Sa.

(2)由A=+£)=-cosq+£)=*得

.oV3

sin

P--——3.

又因为£是第四象限角，

所以cos一号2等

所以sin2£=2sinfcos

cos2£=2cos?

3

=12

所以sin(2£+])=sin2£cos^+cos2ssinX-^+|x|6^»

19.(12分)已知函数F(x)=sinx+sin(x+：),x£R.

⑴求Hx)的最小正周期；

⑵求Ax)的最大值和最小值；

(3)若/(。)芸,求sin2a的值.

4

解：(1)因为/'(x)=sinx+sin(田?)=sinx+cosV2sin(^+^),

所以函数_f(x)=sinx+sin(x+5)的最小正周期是2兀.

(2)因为x£R,TWsinxWl,

_f(x)=V2sin(x+孑),

所以Hx)的最大值为V2,最小值为-V2.

⑶因为H。)=sina+sin(a+1)=sin〃+cos

所以(sina+cosa/'sir?a+cos?a+2sinacos^=l+sin2a--,

16

所以sin2a^--1=--.

1616

20.(12分)已知函数尸/sin(ox+0)(4>0,®>0,2「(0,Jt))的一段图象如图所示.

⑴求此函数的解析式；

(2)求此函数的递增区间.

解：⑴由题图可知A=2,由--詈”,得及2m,

所以口=1,此时函数解析式为广2sin(x+0).

因为点(号,0)在函数尸2sin(x+0)的图象上，

所以2sin年+0)=0,所以乎+0="(AGZ).

所以O二4打-史(A《Z).

4

又因为0G(0,“)，所以6吟,

故所求函数的解析式为尸2sin(x+?).

4

(2)由24n4Wx+EW24n+2("GZ),

242

得—巴+24兀2A兀(4£Z),

44

所以函数尸2sin(x+9的递增区间是［-亨+20,3+20］(右Z).

21.(12分)为迎接夏季旅游旺季的到来,某景区设置了一个专门安排游客住宿的旅馆.

景区的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少,浪费很严重,为了控制经营

成本,减少浪费,就想适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月

来旅馆入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律：

①每年相同的月份,入住旅馆的游客人数基本相同；

②入住旅馆的游客人数在2月最少,在8月最多,相差约400人；

③2月入住旅馆的游客约为100人,随后逐月递增,直到8月达到最多.

(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住旅馆的游客人数与月份之间的关系.

(2)请问哪几个月要准备400份以上的食物？

解：(1)设该函数解析式为/tx)=Zsin(3x+0)+8(冷0,3>0,I0|〈兀)，

根据①可知,该函数的周期是12,所以生二12,

3

所以。小

6

根据②可知，/'(2)最小，/<8)最大,且/"(8)-『(2)=400,故力=200;

根据③可知，/'(x)在区间⑵8］上单调递增，且/"(2)=100,所以/'(8)=500.可得加后500,

所以户500-200=300.

可知函数F(x)=200sinCx+0)+300.

因为当户8时，f(x)取得最大值,

所以2X8+0=24n+三,"GZ,

62

所以d>^2k^~—,AEZ.

6

又因为I0|〈"，所以。=

6

所以f(x)=200sinCx-§+300,xdN*,1WK12.

(2)由题知,200sin(Vy)+3002400,

化简，得sin&^)芸,

662

所以2An+工忘与-空・2次加+—,k^Z,

6666