2024年艺术生高考数学专题讲义考点4函数的概念及表示

考点四函数的概念与表示学问梳理1．函数的基本概念(1)函数的定义设A，B是两个非空的数集，假如依据某种确定的对应关系f，使对于集合A中的随意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，通常记为f：A→B，或y＝f(x)(x∈A)．(2)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．明显，值域是集合B的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：假如两个函数的定义域和对应关系完全一样，则这两个函数相等，这是推断两函数相等的依据．(5)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．2.分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析式，像这样的函数通常叫做分段函数．分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段上函数值集合的并集．3.映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，假如按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的随意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．4．常见函数定义域的求法(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0．(3)一次函数、二次函数的定义域为R．(4)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx，定义域均为R．(5)y＝tanx的定义域为{x|x≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}．5．基本初等函数的值域(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R．(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a＞0时，值域为；当a＜0时，值域为．(3)y＝eq\f(k,x)(k≠0)的值域是{y|y≠0}．(4)y＝ax(a＞0且a≠1)的值域是{y|y＞0}．(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的值域是R．(6)y＝sinx，y＝cosx的值域是[－1，1]．(7)y＝tanx的值域是R．典例剖析题型一函数的概念例1下列各组函数中，表示同一函数的是________.(填序号)f(x)＝|x|，g(x)＝eq\r(x2)②f(x)＝eq\r(x2)，g(x)＝(eq\r(x))2③f(x)＝eq\f(x2－1,x－1)，g(x)＝x＋1④f(x)＝eq\r(x＋1)·eq\r(x－1)，g(x)＝eq\r(x2－1)答案①解析①中，g(x)＝|x|，∴f(x)＝g(x)．②中，f(x)＝|x|(x∈R)，g(x)＝x(x≥0)，∴两函数的定义域不同．③中，f(x)＝x＋1(x≠1)，g(x)＝x＋1(x∈R)，∴两函数的定义域不同．④中，f(x)＝eq\r(x＋1)·eq\r(x－1)(x＋1≥0且x－1≥0)，f(x)的定义域为{x|x≥1}；g(x)＝eq\r(x2－1)(x2－1≥0)，g(x)的定义域为{x|x≥1或x≤－1}．∴两函数的定义域不同．故选①.变式训练下列四个图象中，是函数图象的是________.(填序号)答案①③④解析由每一个自变量x对应唯一一个f(x)可知②不是函数图象，①③④是函数图象．解题要点1．推断是否是同一函数关键看两点：①定义域相同；2对应关系相同．2.推断是否是函数图象，要看定义域和值域是否在所指定范围，同时每一个自变量应只对应一个因变量．题型二函数解析式求法例2(1)已知f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)，则f(x)＝________.(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________.(3)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)＝f(x)＋2x，求f(x)．答案(1)f(x)＝x2－1(x≥1)，(2)f(x)＝2x＋7，(3)f(x)＝x2－x＋1解析(1)(换元法)设eq\r(x)＋1＝t(t≥1)，则eq\r(x)＝t－1.代入f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)，得f(t)＝t2－1(t≥1)，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)(待定系数法)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，即ax＋5a＋b＝2x＋17不论x为何值都成立，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＋5a＝17，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝7，))∴f(x)＝2x＋7.(3)(待定系数法)∵f(x)是二次函数，∴设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由f(0)＝1，得c＝1.由f(x＋1)＝f(x)＋2x，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝(ax2＋bx＋1)＋2x，整理，得(2a－2)x＋(a＋b)＝0，比较系数得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－2＝0，,a＋b＝0))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1，))∴f(x)＝x2－x＋1.变式训练定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.答案－eq\f(xx＋1,2)解析当－1≤x≤0时，0≤x＋1≤1，由已知f(x)＝eq\f(1,2)f(x＋1)＝－eq\f(1,2)x(x＋1)．解题要点函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要留意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；(4)方程组法：已知f(x)与feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)之间的关系式，可依据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．题型三函数的定义域例3求下列函数的定义域(1);(2)答案(1)，(2)(1，1)∪(1，＋)解析(1)使函数有意义，则且，得或，所以定义域为(2)使函数有意义，则，解得：且.所以定义域为(1，1)∪(1，＋)变式训练函数f()=的定义域为________.答案[0，1)(1，+∞)解析由题意知，所以函数定义域为[0，1)(1，+∞)解题要点抓住常见函数有意义的约束条件是解题的关键，须要留意的是：函数定义域应写成集合或区间的形式．题型四函数的值域例4求下列函数的值域(1)y＝x2＋2x，x∈[0，3]；(2)(3)y＝eq\f(2x－1,x＋1)，x∈[3，5]；(4)f(x)＝x－eq\r(1－2x).解析(1)(配方法)y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，∵y＝(x＋1)2－1在[0，3]上为增函数，∴0≤y≤15，即函数y＝x2＋2x(x∈[0，3])的值域为[0，15]．(2)(换元法)设eq\r(3x－2)＝t，t≥0，则y＝eq\f(1,3)(t2＋2)－t＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(3,2)))2－eq\f(1,12)，当t＝eq\f(3,2)时，y有最小值－eq\f(1,12)，故所求函数的值域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,12)，＋∞)).(3)(分别常数法)由y＝eq\f(2x－1,x＋1)＝2－eq\f(3,x＋1)，结合图象知，函数在[3，5]上是增函数，所以ymax＝eq\f(3,2)，ymin＝eq\f(5,4)，故所求函数的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(3,2))).(4)(单调性法)f(x)的定义域为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))，简洁推断f(x)为增函数，所以f(x)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,2)，即函数的值域是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))).题型五分段函数例5(1)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log3x，x>0，,2x，x≤0，))则f(f(eq\f(1,9)))＝________.(2)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x3，x<0，,－tanx，0≤x<\f(π,2)，))则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))))＝________．答案(1)eq\f(1,4)(2)－2解析(1)f(f(eq\f(1,9)))＝f(log3eq\f(1,9))＝f(－2)＝2－2＝eq\f(1,4).(2)∵eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝－taneq\f(π,4)＝－1，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))))＝f(－1)＝2×(－1)3＝－2.变式训练已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x>0，,x＋1，x≤0，))若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于________．答案－3解析(1)由题意知f(1)＝21＝2.∵f(a)＋f(1)＝0，∴f(a)＋2＝0.①当a>0时，f(a)＝2a,2a＋2＝0无解；②当a≤0时，f(a)＝a＋1，∴a＋1＋2＝0，∴a＝－3.解题要点1.分段函数是一个函数，“分段求解”是解决分段函数的基本原则．2.在求分段函数值时，确定要留意自变量的值所在的区间，再代入相应的解析式；自变量的值不确定时，要分类探讨．当堂练习1.函数f(x)＝eq\r(x＋1)＋eq\f(1,2－x)的定义域为________．答案{x|x≥－1且x≠2}2．函数y＝2－eq\r(－x2＋4x)的值域是________．答案[0，2]解析－x2＋4x＝－(x－2)2＋4≤4，0≤eq\r(－x2＋4x)≤2，－2≤－eq\r(－x2＋4x)≤0，0≤2－eq\r(－x2＋4x)≤2，所以0≤y≤2.3．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是________．②③④答案②4．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－b，x＜1，,2x，x≥1.))若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))))＝4，则b等于________．答案eq\f(1,2)解析由题意，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))＝3×eq\f(5,6)－b＝eq\f(5,2)－b.若eq\f(5,2)－b≥1，即b≤eq\f(3,2)时，2eq\f(5,2)－b＝4，解得b＝eq\f(1,2).若eq\f(5,2)－b＜1，即b＞eq\f(3,2)时，3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－b))－b＝4，解得b＝eq\f(7,8)(舍去)．所以b＝eq\f(1,2).5．函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是_________________．答案(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析需满足x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3，所以f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．课后作业一、填空题1．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是__________．①②③④答案①解析汽车加速行驶时，速度变更越来越快，而汽车匀速行驶时，速度保持不变，体现在s与t的函数图象上是一条直线，减速行驶时，速度变更越来越慢，但路程仍是增加的．2．若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是__________． ② ③ ④答案②解析依据函数的概念，随意一个只能有唯一的值和它对应，故解除③；由定义域为解除①、④,选②.3．设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－\r(x)，x≥0，,2x，x＜0，))则f(f(－2))等于__________．答案eq\f(1,2)解析∵f(－2)＝2－2＝eq\f(1,4)＞0，则f(f(－2))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝1－＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).4．函数y＝eq\f(x2,\r(2－x))＋lg(2x＋1)的定义域是__________．答案(－eq\f(1,2)，2)解析x同时满足不等式2－x>0,2x＋1>0，解得－eq\f(1,2)<x<2，故所求函数的定义域是(－eq\f(1,2)，2).5．设A＝{0,1,2,4}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，1，2，6，8))，则下列对应关系能构成A到B的映射的是__________．(填序号)①f：x→x3－1②f：x→(x－1)2③f：x→2x－1④f：x→2x答案③解析对于选项①，由于集合A中x＝0时，x3－1＝－1∉B，即A中元素0在集合B中没有元素与之对应，所以选项①不符合；同理可知②、④两选项均不能构成①到②的映射，选项③符合.6．函数y＝eq\r(16－4x)的值域是__________．答案[0，4)解析∵4x＞0，∴0≤16－4x＜16，∴0≤y＜4.7．若f(2x+1)=6x+3，则f(x)的解析式为f(x)=__________．答案3x解析令t=2x+1，则x=，所以f(t)=6·+3=3t，故f(x)=3x.8．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≤1，,2x＋ax，x＞1，))若f(f(1))＝4a，则实数a等于__________．答案2解析∵f(1)＝2，∴f(f(1))＝f(2)＝4＋2a＝4a，解得a＝2.9．函数y＝eq\f(lg（2－x）,\r(12＋x－x2))＋(x－1)0的定义域是__________．答案{x|－3<x<2且x≠1}解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－x>0，,12＋x－x2>0,x－1≠0))，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<2，,－3<x<4，,x≠1，))所以－3<x<2且x≠1，故所求函数的定义域为{x|－3<x<2且x≠1}．10．已知f(x－eq\f(1,x))＝x2＋eq\f(1,x2)，则f(3)＝______.答案11解析∵f(x－eq\f(1,x))＝(x－eq\f(1,x))2＋2，∴f(x)＝x2＋2(x∈R)，∴f(3)＝32＋2＝11.二、解答题11．(1)已知f(x)是一次函数，且满足f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋3，求f(x)的解析式．(2)若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，求g(x)的解析式．解析(1)设f(x)＝kx＋b(a≠0)，则f(x＋1)－2f(x－1)＝kx＋k＋b－2kx＋2k－2b＝－kx＋3k－b，即－kx＋3k－b＝2x＋3不论x为何值都成立，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－2，,3k－b＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－2，,b＝－9，))∴f(x)＝