2024年高中数学专题1-11大题专项训练空间角的向量求法30道教师版新人教A版选择性必修第一册

专题1.11空间角的向量求法姓名：___________班级：___________考号：___________1．在三棱锥A﹣BCD中，已知CB＝CD=5，BD＝2，O为BD中点，AO⊥平面BCD，AO＝2（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；（2）若点E、F分别为AC、BC的中点，求直线AD与平面DEF所成角的大小．【解题思路】（1）先求出底面积S△BCD＝2，证明出AO⊥平面BCD，即可求体积；（2）以OB，OC，OA所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．用向量法求解．【解答过程】解：（1）连接OC，在△BCD中，因为CB＝CD=5，BD＝2，O为BD所以OC⊥BD，所以OC=CB2-BO2=因为AO⊥平面BCD，且AO＝2，即三棱锥A﹣BCD的高为2，所以三棱锥A﹣BCD的体积为V=1（2）由（1）知，OC⊥BD且AO⊥平面BCD，以OB，OC，OA所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．如图所示，可得A（0，0，2），B（1，0，0），C（0，2，0），D（﹣1，0，0）．因为点E，F分别为AC，BC的中点，所以E（0，1，1），F（12，1，0所以DA→=(1，0，设平面DEF的法向量为n→=(x取y＝﹣3，可得x＝2，z＝1，即n→设直线AD与平面DEF所成角为θ，可得sinθ=|所以直线AD与平面DEF所成角为arcsin2702．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝22，BC＝CD＝4且AB⊥AD，△BCD沿着BD翻折，当三棱锥C﹣ABD体积最大值时．（1）求此时三棱锥C﹣ABD的体积；（2）求此时直线AD与平面ABC夹角的正弦值．【解题思路】（1）当平面ABD⊥平面BCD时，体积最大，取BD中点O，依据面面垂直的性质可证AO⊥平面BCD，依据长度关系计算可得体积；（2）依据已知条件建立空间直角坐标系，将问题转化为向量夹角问题求解．【解答过程】解：（1）△BCD沿BD折叠，当平面ABD⊥平面BCD时，体积最大，由平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，取BD中点O，AO⊥BD，则AO⊥平面BCD，又AB=AD=22，则BD＝4，则△BCD为正三角形，在△BCD中，BD边上的高为23则三棱锥C﹣ABD体积最大值时，高为23VC（2）由（1）可知AO⊥平面BCD，可建立如图所示的空间直角坐标系，A（2，0，0），D（0，2，0），B（0，﹣2，0），C（0，0，23则AD→=(-设平面ABC的法向量为n→则n→⋅AB令z=3，则则n→设直线AD与平面ABC夹角为θ，则sinθ=|3．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，ED⊥平面ABCD，平面FBC⊥平面ABCD，BF⊥CF，DE＝AD＝2．（1）求多面体ABCDEF体积的最大值；（2）当多面体ABCDEF体积取最大值时，求直线DF与平面EBC所成角．【解题思路】（1）由已知可求四棱锥E﹣ABCD的体积为V=83，进而可求得VE﹣BCF的最大值，再求出多面体（2）以D为原点，DA，DC，DE所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面EBC的法向量与直线DF的方向向量，再求出直线DF与平面EBC所成角．【解答过程】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，ED⊥平面ABCD，∴四棱锥E﹣ABCD的体积为V=13×2×2×过点F作FH∥BC交BC于点H，如图所示，∵平面FBC⊥平面ABCD，平面FBC∩平面ABCD＝AC，∴FH⊥BC，FH⊂平面FBC，∴FH⊥平面FBC，∴ED∥FH，又FH⊂平面FBC，ED⊄平面FBC，∴ED∥平面FBC，而DC⊥BC，FH∩BC＝C，FH，BC⊂平面FBC，∴DC⊥平面FBC，∴VE﹣BCF＝VD﹣BCF=23S△BCF=13在Rt△BCF中，BF2+CF2＝BC2＝4≥BF×CF，∴当且仅当BF＝CF＝2时，有最大值2，VE﹣BCF有最大值，∴多面体ABCDEF体积有最大值为103（2）以D为原点，DA，DC，DE所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可知D（0，0，0），E（0，0，2），B（2，2，0），C（0，2，0），当BF＝CF时，F（1，2，1），设平面EBC的法向量为n→=（x，y，EB→=（2，2，﹣2），CB→=（2，0，0），DF→=（则n→⋅CB→=2x=0n→⋅EB→=2x+2y-2z=0设直线DF与平面EBC所成角为θ，∴sinθ＝|cos＜n→，DF→故直线DF与平面EBC所成角为π34．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，PD＝3FD，BE＝3EP．（1）求证：AE⊥FC；（2）求AE与平面ACF所成角的余弦值．【解题思路】（1）建系，将线线垂直的证明转化成两直线的方向向量垂直的证明，然后再转化成证明向量数量积等于零；（2）建系，将线面角转成直线的方向向量与平面的法向量所成角，然后再利用空间向量的夹角公式即可求解．【解答过程】解：建立如图的空间右手直角坐标系，设PA＝AB＝12，则依据题意可得A（0，0，0），E（3，0，9），C（12，12，0），F（0，8，4），∴AE→=（3，0，9），FC→=（12，4，﹣4），AC→=（（1）证明：∵AE→⋅FC→=3×12+0×4+9×（∴AE⊥FC；（2）设平面ACF的法向量为n→则n→设x＝1，则y＝﹣1，z＝2，∴n→设AE与平面ACF所成角为θ，又AE→=（3，0，∴sinθ＝|cos＜AE→，∴cosθ=1故AE与平面ACF所成角的余弦值为165305．在六面体PABCDE中，PA⊥平面ABCD，ED⊥平面ABCD，且PA＝2ED，底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°．（1）求证：BD⊥平面PAC．（2）若PA＝AC，求直线BD与平面ACE所成的角是多少．【解题思路】（1）连接BD，交AC于点O，进而PA⊥BD．再求出BD⊥AC，从而BD⊥平面PAC．（2）以点O为原点，OB，OC，OF分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法求出直线BD与平面ACE所成角的正弦值．【解答过程】证明：（1）连接BD，交AC于点O，∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．（2）解：设AC＝PA＝2．∵底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°．∴△ABC为等边三角形．因为PA⊥平面ABCD，OB⊥OC，故以点O为原点，OB，OC分别为x，y轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz（如图）．则O（0，0，0），P（0，﹣1，2），C（0，1，0），D（-3，0，0），E（-3，0，1），B（3，0，则OC→=（0，1，0），OE→=（-3，0，1），BD→=（﹣设平面ACE的法向量为n→=（x，y，则n→⋅OE→=-3x+z=0n设直线BD与平面ACE所成为θ，∴sinθ＝|cos＜n→，BD→＞|＝|∴直线BD与平面ACE所成角的正弦值为126．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥DC，E为线段PD的中点，已知PA＝AB＝AD＝CD＝2，∠PAD＝120°．（1）证明：直线PB∥平面ACE；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．【解题思路】（1）连接BD交AC于点H，连接HE，可证HE∥PB，从而可证PB∥平面ACE，（2）作Ax⊥AP，建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面PCD的一个法向量，利用向量法求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．【解答过程】（1）证明：连接BD交AC于点H，连接HE，∵AB∥DC，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴H是AC的中点，又E为线段PD的中点，∴HE∥PB，又HE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，∴直线PB∥平面ACE，（2）解：∵AB⊥平面PAD，作Ax⊥AP，建立如图所示的空间直角坐标系，由已知PA＝AB＝AD＝CD＝2，∠PAD＝120°，得B（0，0，2），P（0，2，0），D（3，﹣1，0），C（3，﹣1，2），∴PB→=（0，﹣2，2），PD→=（3，﹣3，0），CD→=（0设平面PCD的一个法向量为n→=（x，y，则n→⋅CD→=0n→⋅PD→=0∴cos＜PB→，所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为247．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，且∠BAP＝∠CDP＝90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA＝PD＝AB，PA⊥PD，求直线PA与平面PBC所成角的余弦值．【解题思路】（1）先证明AB⊥平面PAD，从而可得证明结论．（2）分别取AD，BC的中点O，H，连接PO，OH，先证明PO，OH，AD两两垂直，然后建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可．【解答过程】（1）证明：∠BAP＝∠CDP＝90°，∴AB⊥AP，CD⊥PD，AB∥CD∴AB⊥PD，又∵AP⋂PD＝P，AP⊂平面PAD，PD⊂PAD，AB⊥平面PAD，由AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．（2）解：分别取AD，BC的中点O，H，连接PO，OH，则OH∥AB，OH⊥平面PAD，∵PA＝PD，∴PO⊥AD，∴PO，OH，AD两两垂直，如图，以O为原点，OA，OH，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，设PA＝PD＝AB＝2，由PA⊥PD，∴AD=22，则A(2，0，0)，∴PB→=(2设平面PBC的法向量n→则n→⋅PB→=0n→⋅PC∴平面PBC的法向量n→=(0，设直线PA与平面PBC所成角θ，∴sinθ=|n→∴直线PA与平面PBC所成角的余弦值为638．如图，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1，∠BCA＝90°，AC＝BC＝4．A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D．且BA1⊥AC1．（1）求证：AC1⊥平面A1BC；（2）求二面角B1﹣A1B﹣C的余弦值．【解题思路】（1）A1在底面ABC上的射影为AC的中点D，平面A1ACC1⊥平面ABC，BC⊥AC，可得BC⊥平面A1ACC1，BC⊥AC1，进而证明AC1⊥平面A1BC．（2）如图所示，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，平面A1AB的法向量n→=（3，3，1），平面A1BC的法向量AC1→=（﹣6，0，23【解答过程】（1）证明：∵A1在底面ABC上的射影为AC的中点D，∴平面A1ACC1⊥平面ABC，∵BC⊥AC且平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，∴BC⊥平面A1ACC1，∴BC⊥AC1，∵AC1⊥BA1且BC∩BA1＝B，∴AC1⊥平面A1BC．（2）解：如图所示，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，∵AC1⊥平面A1BC，∴AC1⊥A1C，∴四边形A1ACC1是菱形，∵D是AC的中点，∴∠A1AD＝60°，∴A（4，0，0），A1（2，0，23），B（0，4，0），C1（﹣2，0，23），∴A1A→=（2，0，﹣23），AB→=（﹣设平面A1AB的法向量n→=（x，y，∴n→取n→=（3，3，1），平面A1AB的法向量n→=（3，平面A1BC的法向量AC1→=（﹣6，0∴cos＜n→，设二面角A﹣A1B﹣C的平面角为θ，θ为钝角，∴cosθ=-∴二面角A﹣A1B﹣C的余弦值为-79．如图所示，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ADC＝60°，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点，AB＝CE．（1）求异面直线EO与AF所成角的余弦值；（2）求AF与平面EBD所成角的正弦值．【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线EO与AF所成角的余弦值．（2）利用向量法求得AF与平面EBD所成角的正弦值．【解答过程】解：（1）四边形ABCD是菱形，∠ADC＝60°，所以三角形ACD和三角形ABC是等边三角形，设G是AD的中点，连接CG，则CG⊥AD，CG⊥BC，由于EC⊥平面ABCD，所以EC⊥BC，EC⊥CG．以CG为x轴、CB为y轴、CE为z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，设菱形ABCD的边长为2，可得CE＝2，可得E（0，0，2），A（3，1，0），O（32，12，0），F（0，1，可得：EO→=(3设异面直线EO与AF所成角为θ，可得：cosθ=|（2）D（3，﹣1，0），B（0，2，0），E（0，0，2），可得DB→=(-3，3，可得DB→⋅n→=-3由AF→=(-3，|n10．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，AD＝3，AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，且PA＝3．点M在棱PD上，点N为BC中点．（1）证明：若DM＝2MP，则直线MN∥平面PAB；（2）求平面CPD与平面NPD所成角的正弦值．【解题思路】（1）取AQ=13AD，利用平行线分线段成比例和平行四边形的性质，结合线面平行的判定可证得MQ∥平面PAB，QN（2）以A为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法可求得所求角的余弦值，由余弦值可求得正弦值．【解答过程】解：（1）证明：在AD上取一点Q，使得AQ=13AD，连接∵QDAD=DMDP=23，∴MQ∥AP，又MQ⊄平面∴MQ∥平面PAB；∵AQ=13AD=1，BN∴AQ∥BN，AQ＝BN，∴四边形ABNQ为平行四边形，∴AB∥QN，又QN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴QN∥平面PAB，又MQ∩QN＝Q，MQ，QN⊂平面MNQ，∴平面MNQ∥平面PAB，又MN⊂平面MNQ，∴MN∥平面PAB；（2）由题意可建立如图的空间右手直角坐标系，则C（2，2，0），P（0，0，3），D（0，3，0），N（2，1，0），∴PC→=(2，2，设平面CPD的法向量n1则PC→⋅n1→=2解得y1＝2，x1＝1，∴n1设平面NPD的法向量n2则DN→⋅n2→=2解得y2＝1，z2＝1，∴n2∴|cos∴平面CPD与平面NPD所成角的正弦值为1-11．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝BB1，BC1∩B1C＝O，AO⊥平面BB1C1C．（1）求证：AB⊥B1C；（2）若∠B1BC＝60°，直线AB与平面BB1C1C所成的角为30°，求二面角A1﹣B1C1﹣A的正弦值．【解题思路】（1）推导出B1C⊥BC1，AO⊥B1C，从而B1C⊥平面AOB，由此能证明B1C⊥AB．（2）设O为原点，OB1为x轴，OC1为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A1﹣B1C1﹣A的余弦值．【解答过程】（1）证明：因为AO⊥平面BB1C1C，B1C⊂平面BB1C1C，所以AO⊥B1C．因为BC＝BB1，四边形BB1C1C是平行四边形，所以四边形BB1C1C是菱形．所以BC1⊥B1C．因为AO∩BC1＝O，AO⊂平面ABC1，BC1⊂平面ABC1，所以B1C⊥平面ABC1．因为AB⊂平面ABC1，所以B1C⊥AB．（2）解：因为AB与平面BB1C1C所成角为30°，AO⊥平面BB1C1C，所以∠ABO＝30°，因为∠B1BC＝60°，所以△BCB1是正三角形，设BC＝2，则B1以O为原点，分别以OB，OB1，OA所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(所以AB设平面AB1C1的一个法向量为n1＝（x，y，z），则n令x＝1，得n1设平面B1C1A1的一个法向量为n2＝（x′，y′，z′），则n令x′＝1，解得n2设二面角A1﹣B1C1﹣A的大小为θ，因为cos〈所以sinθ=所以二面角A1﹣B1C1﹣A的正弦值为4312．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，CD＝2AB＝4，AE是等边△PAD的中线．（1）证明：AE∥平面PBC．（2）若PA=42，求二面角E﹣AC﹣【解题思路】（1）取PC的中点F，连接EF，BF，进而证明四边形ABFE是平行四边形，进而证明AE∥平面PBC；（2）取AD的中点O，连接PO，易知PO⊥平面ABCD，进而以O为坐标原点，OA→，OP→的方向分别为x，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系【解答过程】（1）证明：如图，取PC的中点F，连接EF，BF．因为E是棱PD的中点，所以EF∥CD，且EF=因为AB∥CD，AB=12CD，所以所以四边形ABFE是平行四边形，所以AE∥BF，因为AE⊄平面PBC，BF⊂平面PBC，所以AE∥平面PBC．（2）解：取AD的中点O，连接PO，因为△PAD为等边三角形，所以PO⊥AD，因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，所以，以O为坐标原点，OA→，OP→的方向分别为x，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系因为等边△PAD的边长为42所以A(22，设平面ACE的一个法向量为m→由AC→⋅令x＝1，则y=2，又平面ACD的一个法向量为n→因为cos〈所以二面角E﹣AC﹣D的大小为45°．13．如图，四棱锥P﹣ABCD的体积为34，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是面积为3的等边三角形，四边形ABCD是等腰梯形，BC＝1，E为棱PA（1）若直线EC与平面ABCD的夹角为60°，求二面角B﹣CE﹣D的正弦值；（2）求EDEC【解题思路】（1）依据四棱锥的体积可求解OT=32，依据直线EC与平面ABCD的夹角为60°，可推断E（2）依据空间中两点间距离公式，可表达出EDEC【解答过程】解：（1）因为△PAD是面积为3的等边三角形，所以PA＝PD＝AD＝2，因为平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD是等腰梯形，过P作AD的垂线，垂足为O，过E作AD的垂线，垂足为M，连接MC，因为平面PAD⊥平面ABCD，其交线为AD，EM⊥AD，故EM⊥平面ABCD，故∠ECM为直线EC与平面ABCD的夹角，记BC中点为T，连接OT，所以OT⊥AD，以O为坐标原点，OT为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，且BC=1又四棱锥P﹣ABCD的体积为34，所以四边形ABCD的面积为3故OT=32又C(32，12，0)，所以EC=4t又E(0设平面BCE的法向量n1→=（x1，y1，z1），平面CDE的法向量n2→=（x2，y2，z令x1＝2，则z1＝1，故n1→=（2，0n2→⋅CE→=0，n2→⋅CD记二面角B﹣CE﹣D的平面角为θ，则|cosθ即二面角B﹣CE﹣D的正弦值为45（2）因为ED=4t2-4t+4，EDEC∵14t+4t-当且仅当t＝1时取等号，且t＝0时，EDEC所以EDEC14．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥PD，PA＝PD，AD＝4，E为AB的中点，DE＝AE，侧面PAD⊥底面ABCD．（1）证明：PA⊥平面PBD；（2）若PB与平面ABCD所成角的正切值为55，求平面PAD与平面PCE【解题思路】（1）取AD的中点O，连接OE，OP，可得EO⊥AD，进一步得到EO⊥平面PAD，则EO⊥PA，可得PA⊥BD，结合PA⊥PD，即可证明PA⊥平面PBD；（2）由PO⊥底面ABCD，可得∠PBO为PB与平面ABCD所成角，求解三角形可得OB＝25，进一步得到BD，分别以DA、DB所在直线为x、y轴，过D作垂直于底面的直线为z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PCE的法向量与平面PDA的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面PAD与平面PCE所成的锐二面角的余弦值．【解答过程】（1）证明：取AD的中点O，连接OE，OP，由EA＝ED，可得EO⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴EO⊥平面PAD，得EO⊥PA，∵EO∥BD，∴PA⊥BD，又PA⊥PD，且BD∩PD＝D，∴PA⊥平面PBD；（2）解：∵PO⊥底面ABCD，∴OB为PB在底面ABCD上的射影，可得∠PBO为PB与平面ABCD所成角，在直角三角形PBO中，有tan∠PBO=POOB=1∵EO⊥AD，EO∥BD，∴BD⊥AD，在直角三角形OBD中，可得BD=(2分别以DA、DB所在直线为x、y轴，过D作垂直于底面的直线为z轴建立空间直角坐标系，则P（2，0，2），C（﹣4，4，0），E（2，2，0），PC→=(-设平面PCE的法向量为m→由m→⋅PC→=-6x+4y平面PDA的一个法向量为n→∴cos＜m∴平面PAD与平面PCE所成的锐二面角的余弦值为31915．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，BC＝CC1＝4．若Q，R分别为棱BB1，BC上的点，且B1Q＝BR＝1，平面ABSP与棱CC1，DD1分别交于S，P，DP＝a（0≤a≤4）．（1）求证：B1R⊥D1Q；（2）求平面APSB与平面C1D1Q所成的锐二面角余弦值的取值范围．【解题思路】（1）建立恰当的空间直角坐标系，用向量法可证；（2）用a表示所求二面角的余弦值，求其取值范围即可．【解答过程】（1）证明：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DA，DC，DD1两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系：则B1（4，5，4），R（3，5，0），D1（0，0，4），Q（4，5，3），所以B1R→所以B1R→⊥D1Q→，所以（2）解：DP＝a，则P（0，0，a）（0≤a≤4），A（4，0，0），AP→=(-4，因为D1C1⊥平面BCC1B1，B1R⊂平面BCC1B1，所以D1C⊥B1R，又B1R⊥D1Q且D1Q⋂D1C1＝D1，D1Q⊂平面D1C1Q，D1C1⊂平面D1C1Q，所以B1R⊥平面D1C1Q，所以B1R→为平面D1C设n→=(x1，y1所以n→⋅AP令x1＝a，则z1＝4，所以n→=(a设平面APSB与平面C1D1Q所成的锐二面角为θ，则θ∈0≤a≤4⇒﹣16≤a﹣16≤﹣12，则cosθ=设t=1ay＝272t2+32t+1开口向上，对称轴为t=在区间[-112，-116]的右侧，所以y＝272所以116≤y所以33434≤据此可得锐二面角余弦值的取值范围是[316．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BD，DD1的中点，M是A1B1上一点，且A1（1）证明：BM∥平面EFA1；（2）求直线EC1与平面EFA1所成角的正弦值．【解题思路】（1）如图，以点A为原点，分别以直线AB，AD，AA1为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出结论；（2）利用向量法即可得出答案．【解答过程】（1）证明：如图，以点A为原点，分别以直线AB，AD，AA1为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），M(23，0，2)，A1（0，0，2），E（1，1，0），F（0，2，1），B1（2，0，2），C1所以BM→=(-43设平面EFA1的法向量为n→由EA1→⋅n因为n→⋅BM→=0，BM在平面EFA1外，所以BM（2）解：因为EC1→=(1，1设直线EC1与平面EFA1所成角为θ，故sinθ=|直线EC1与平面EFA1所成角的正弦值为42117．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD是菱形，E，F分别是棱BB1，DD1的中点．（1）证明：平面AEF⊥平面ACC1．（2）若AA1＝2AB，∠BAD＝60°，求二面角B﹣AF﹣E的余弦值．【解题思路】（1）连接BD，可证BD⊥平面ACC1，进而证明EF∥BD，可证平面AEF⊥平面ACC1．（2）记AC∩BD＝O，以O为原点，分别以OB→，OC→的方向为x，y轴的正方向，垂直平面ABCD向上为z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．求得两平面的法向量，利用向量法可求二面角B﹣【解答过程】（1）证明：连接BD，因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，由直四棱柱的定义可知C1⊥平面ABCD，则CC1⊥BD，因为C1⊂平面ACC1，AC⊂平面ACC1，且AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1，由直四棱柱的定义可知BB1∥DD1，BB1＝DD1，因为E，F分别是棱BB1，DD1的中点，所以BE∥DF，BE＝DF，所以四边形BEFD是平行四边形，则EF∥BD，故EF⊥平面ACC1，因为EF⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面ACC1．（2）解：记AC∩BD＝O，以O为原点，分别以OB→，OC→的方向为x，y轴的正方向，垂直平面建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．设AB＝2，则A(0故AB→设平面ABF的法向量为n＝（x1，y1，z1），则令x1=3设平面AEF的法向量为m＝（x2，y2，z2），则令y2＝2得m=(0设二面角B﹣AF﹣E为θ，由图可知θ为锐角，则cosθ=|所以二面角B﹣AF﹣E的余弦值为5718．如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA＝SC，D为AC的中点，SD⊥AB．（1）证明：平面SAC⊥平面ABC；（2）若△BCD是边长为3的等边三角形，点P在棱SC上，PC＝2SP，且VS-ABC=932【解题思路】（1）要证明面面垂直，转化为证明线面垂直，即证明SD⊥平面ABC；（2）首先利用体积公式，求得SD＝3，并得SA⊥SC，依据垂直关系，以点D为原点，如图建立空间直角坐标系，利用法向量求二面角的余弦值，并利用三角关系，求得二面角的余弦值．【解答过程】（1）证明：因为SA＝SC，且D为AC的中点，所以SD⊥AC，又SD⊥AB，AC∩AB＝A，所以SD⊥平面ABC，又SD⊂平面SAC，所以平面SAC⊥平面ABC．（2）解：因为△BCD是边长为3的等边三角形，故AD＝DC＝DB＝3，所以AB⊥BC，且AB=由VS-ABC=932，得13S△ABC⋅SD=9取AB，BC的中点分别为E，F，则DE⊥DF，故SD，DE，DF两两相互垂直．以D为原点，DE→，DF→，DS→分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系D过P作PR⊥SD，R为垂足，PH⊥DC，H为垂足，由PC＝2SP，可知SR=13SD=1DH=在平面ABC内，过H作HT⊥x轴，交x轴负半轴于T，在Rt△DHT中，∠DHT＝30°，DH＝1，所以DT=12故P(-12，S（0，0，3），SP→=(-12设n→=(x，y，z取z＝1，解得x＝1，y＝0，故n→设平面PBC的法向量为m→因为PB→=(2，则m→⋅PB→=0所以cos〈所以二面角的正弦值sinθ=所以二面角A﹣PB﹣C的正弦值为1541419．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，PA＝PD＝22，AB＝AD＝2CD＝4，∠BAD＝60°．（1）若E为PB的中点，证明：CE∥平面PAD．（2）若二面角P﹣AD﹣B为150°，求二面角P﹣BC﹣A的余弦值．【解题思路】（1）取PA的中点F，连接EF，DF，可证EF∥CD，EF＝CD，可得四边形CDFE为平行四边形，可证CE∥平面PAD．（2）取AD的中点O，连接PO，BO，依题意可得PO⊥AD，BO⊥AD，以O为坐标原点，OA→的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz求提两平面的法向量，可求二面角P﹣BC﹣A的余弦值．【解答过程】（1）证明：取PA的中点F，连接EF，DF，因为E为PB的中点，所以EF∥AB，EF=12又因为AB∥CD，AB＝2CD，所以EF∥CD，EF＝CD，所以四边形CDFE为平行四边形，从而CE∥DF，又DF⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，所以CE∥平面PAD．（2）解：取AD的中点O，连接PO，BO，依题意可得PO⊥AD，BO⊥AD，则∠POB＝150°以O为坐标原点，OA→的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz则P(0设平面PBC的法向量为n→=（x，y，则n→•PB→=0，n→•BC令y=3，得n→=（﹣1，3易知m→=（0，0，1）是平面因为cos＜m→，所以二面角P﹣BC﹣A的余弦值为98520．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥AD，PA⊥CD，∠ADC=π2，AD＝DC=12AP（1）证明：PD⊥CD；（2）求BP与平面PCD所成角的正弦值．【解题思路】（1）先证明CD⊥PA，结合条件证明CD⊥平面APD，从而得证；（2）以AP，AD分别为y，z轴，在平面ABCD内过A点作AD的垂线为x轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可．【解答过程】证明：（1）由PA⊥AD，PA⊥CD，且AD∩CD＝D，则PA⊥平面ABCD，又CD⊆平面ABCD，则CD⊥PA，由∠ADC=π2，则AD⊥CD，又AD∩所以CD⊥平面APD，且PD⊆平面APD，所以PD⊥解：（2）由（1）可得PA⊥平面ABCD，以AP，AD分别为y，z轴，在平面ABCD内过A点作AD的垂线为x轴建立空间直角坐标系：设AD＝CD＝1，则AP=2∠ADC=π2，AD=DC，则∠DAC＝45°，则∠CAx＝90°﹣45°＝45°，∠BAx＝由△ABC为正三角形，则AB=所以xB=|AB所以A（0，0，0），D（0，1，0），P（0，0，2），C（1，1，0），所以PB→=(1+32，1-设平面PCD的法向量为n→=(x即x+y-2z=0x=0设BP与平面PCD所成角为θ，则sinθ=21．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，各棱长都为3，∠BAD＝60°，F为棱BB1上一点，且BF＝1．（Ⅰ）求证：平面AC1F⊥平面BCC1B1；（Ⅱ）求直线BD与平面AC1F所成角的正弦值．【解题思路】（Ⅰ）延长线段C1F，CB交于点E，连接AE，证明AE⊥平面BCC1B1即可；（Ⅱ）以E为坐标原点，直线EC，EA分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可．【解答过程】证明：（Ⅰ）如图，延长线段C1F，CB交于点E，连接AE，则AE为平面AC1F与底面ABCD的交线，由已知可得B1F＝2BF，△B1C1F∽△BEF，所以BE=易知底面ABCD是菱形，因为∠BAD＝60°，所以∠ABE＝60°，在△ABE中，由余弦定理，可得AE=所以AB2＝AE2+BE2，即AE⊥CE，因为ABCD﹣A1B1C1D1是直四棱柱，故CC1⊥平面ABCD，又AE⊂平面ABCD，所以CC1⊥AE，因为CE∩CC1＝C，所以AE⊥平面BCC1B1，又AE⊂平面AC1E，所以平面AC1E⊥平面BCC1B1；解：（Ⅱ）如图，以E为坐标原点，直线EC，EA分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，则E（0，0，0），A(0，332，0)，C所以EA→=(0，332，0)，设平面EAC1的法向量为n→则n→⋅EA→=33设直线BD与平面AC1E所成的角为θ，则sinθ=|即直线BD与平面AC1E所成角的正弦值为131322．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，ABAD=2，直线PA与底面ABCD成60°角，点M，N分别是PA，（1）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；（2）求二面角P﹣NC﹣D的大小的余弦值．【解题思路】（1）以D为原点，向量DA→、DC→、DP→的方向为x、y、z轴的正方向，建立坐标系，设AD＝1，设面PBC的法向量为m→=(x1，y（2）由（1）知面PBC的法向量为m→=(0，3，2)，设面CDN的法向量为【解答过程】解：（1）以D为原点，向量DA→、DC→、DP→的方向为x、y设AD＝1，则AB＝2，∵PD⊥底面ABCD，∴∠PAD为直线PA与平面ABCD所成的角，∴∠PAD＝60°，∴PD=∴D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），P(0，0，3PA→=(1，0，-3直线PA与面PBC所成的角为θ，则m→⋅PB取z1＝2，则x1＝0，y1=3，∴m→（2）由（1）知面PBC的法向量为m→=(0，3，∵DN→=(12，由n→⋅DN∴cos〈又∵m→⋅DP∴二面角P﹣NC﹣D的大小的余弦值为7723．已知如图1直角梯形ABCD，AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝4，AD＝CD＝2，E为AB的中点，沿EC将梯形ABCD折起（如图2），使平面BED⊥平面AECD．（1）证明：BE⊥平面AECD；（2）在线段CD上是否存在点F，使得平面FAB与平面EBC所成的锐二面角的余弦值为23，若存在，求出点F【解题思路】（1）连接AC，则AC⊥DE，由平面BDE⊥平面AECD可得AC⊥平面BDE，可得AC⊥BE，又BE⊥CE可证BE⊥平面AECD；（2）建立空间直角坐标系，设F（a，0，2），0≤a≤2，依据二面角的向量计算公式即可求出．【解答过程】（1）证明：连接AC，则AC⊥DE，又平面BDE⊥平面AECD，平面BDE∩平面AECD＝DE，AC⊂平面AECD，所以AC⊥平面BDE，所以AC⊥BE，又BE⊥CE，AC⋂CE＝C，AC，CE⊂平面AECD，所以BE⊥平面AECD．（2）解：由（1）得BE⊥平面AECD，所以BE⊥AE，所以EA，EB，EC两两垂直，分别以EA→，EB→，EC→方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系E如图所示，则E（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），设F（a，0，2），0≤a≤2，所以AF→=(a设平面FAB的法向量为n→则AF→取x＝2，得n→取平面EBC的法向量为m→所以cos〈所以a＝1，所以线段CD上存在点F，且F为CD中点时，使得平面FAB与平面EBC所成的锐二面角的余弦值为2324．如图所示，在四棱锥中P﹣ABCD，AB→=2DC→，AB→⋅BC（1）求证：平面ADP⊥平面ABCD；（2）已知点E是线段BP上的动点（不与点P、B重合），若使二面角E﹣AD﹣P的大小为π4，试确定点E【解题思路】（1）先由边的关系证得AD⊥BD，结合AP⊥BD，即可证得BD⊥平面ADP，进而证得平面ADP⊥平面ABCD；（2）取AD中点F，证得PF⊥平面ABCD，以D为原点建立空间直角坐标系，设PE→=λPB→，表示出平面PAD和平面EAD【解答过程】（1）证明：连接BD，由AB→=2DC→，在Rt△BCD中，BD2＝CD2+BC2＝16，BD＝4，设AB的中点为Q，连接DQ，则CD∥QB，QB＝CD，所以四边形BCDQ为平行四边形，又CD⊥BC，DC＝BC，所以四边形BCDQ为正方形，所以DQ⊥AB，DQ=AQ=22，在Rt△AQD中，AD2＝在Rt△ABD中，AD2+BD2＝16+16＝32＝AB2，所以AD⊥BD，又AP⊥BD，AP∩AD＝A，AP，AD⊂平面ADP，所以BD⊥平面ADP，又BD⊂平面ABCD，所以平面ADP⊥平面ABCD．（2）解：在△APD中，AP2+PD2＝8+8＝16＝AD2，所以AP⊥PD，在Rt△APD中，过点P作PF⊥AD，垂足为F，因为PA＝PD，所以F为AD中点，所以PF＝DF＝2，由（1）得BD⊥平面ADP，PF⊂平面ADP，则BD⊥PF，AD，BD⊂平面ABCD，AD⋂BD＝D，则PF⊥平面ABCD．以D为原点，分别以DA，DB所在直线为x，y轴，以过点D与平面ABCD垂直的直线为z轴，建立如图所示空间坐标系，则D(0设PE→则DE→=DP→+设平面EAD的法向量为n→则n→令z＝1，则n→所以|cos＜m→，n→＞|＝|m→即1-λ5λ2-2λ+1=22，即3λ2+2λ﹣1＝0，解得所以，当点E在线段BP上满足PE=13PB时，使二面角E﹣AD﹣25．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．（1）求证：A1F⊥平面B1DE；（2）若AB＝AC＝4，且三棱锥B1﹣A1C1F的体积为83，求平面A1C1F与平面BCC1B1【解题思路】（1）先证明DE⊥平面AA1B1B，再由线面垂直得出DE⊥A1F，再证线面垂直即可得证；（2）建立空间直角坐标系，依据向量法求二面角即可．【解答过程】证明：（1）因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE为△ABC的中位线，且DE∥AC，因为ABC﹣A1B1C1为棱柱，所以AC∥A1C1，所以DE∥A1C1，在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，因为DE⊂平面ABC，所以DE⊥AA1，又因为A1C1⊥A1B1，所以DE⊥A1B1，因为AA1∩A1B1＝A1，AA1，A1B1⊂平面AA1B1B，所以DE⊥平面AA1B1B，又A1F⊂平面AA1B1B，所以DE⊥A1F，又因为A1F⊥B1D，DE∩B1D＝D，且DE、B1D⊂平面B1DE，所以A1F⊥平面B1DE；解：（2）以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（4，0，0），C（0，4，0），D（2，0，0），因为三棱锥B1﹣A1C1F的体积为83所以VB1-A1C1因为B1D⊥A1F，且D是AB的中点，所以△A1B1F≌△B1BD，由A1B1所以B1B＝8，则F（4，0，7），A1（0，0，8），B1（4，0，8），C1（0，4，8），因为E为BC的中点，AB＝AC，所以AE⊥BC，所以AE⊥平面BCC1B1，所以平面BCC1B1的法向量为AE→设平面A1C1F的法向量为n→=（x，y，因为A1由A1F→⋅n→=0A1C1→⋅n→故n→=（1，0，cos〈所以平面A1C1F与平面BCC1B1所成锐二面角的余弦值为343426．如图所示，正方形ABCD所在平面与梯形ABMN所在平面垂直，MB∥AN，NA＝AB＝2，BM＝4，CN＝23．（1）证明：MB⊥平面ABCD；（2）在线段CM（不含端点）上是否存在一点E，使得二面角E﹣BN﹣M的余弦值为33，若存在求出的CE【解题思路】（1）由面面垂直的性质可得BC⊥BM，再得出BM⊥AB即可证明；（2）设CE→=λCM→【解答过程】（1）证明：正方形ABCD中，BC⊥AB，∵平面ABCD⊥平面ABMN，平面ABCD∩平面ABMN＝AB，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面ABMN，∴BC⊥BM，且BC⊥BN，又BC=2∴BN=又∵AB＝AN＝2，∴BN2＝AB2+AN2，∴AN⊥AB，又∵AN∥BM，∴BM⊥AB，BC∩BA＝B，∴BM⊥平面ABCD；解：（2）由（1）知，BM⊥平面ABCD，BM⊥AB，以B为坐标原点，BA，BM，BC所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，0，2），D（2，0，2），N（2，2，0），M（0，4，0），设点E(x，y，z)，CE→=λCM→，∴（x，y∴x=0y=4λz=2-2λ，∴E（0，4λ，2﹣∴BN→设平面BEN的法向量为m→=（x，y，∴BN→⋅m→=2x+2y=0BE→⋅m→=4λy+(2-2λ)z=0明显，平面BMN的法向量为BC→∴|cos即|2λ|2(1-λ)2即3λ2+2λ﹣1＝0，解得λ=13或则存在一点E，且CEEM27．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知∠CBC1＝90°，BC＝1，AB＝C1C＝2，点E是棱C1C的中点．（1）求异面直线AE与B1C所成的角的余弦值；（2）在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为21111，若存在，求出【解题思路】（1）AB、BC、BC1两两相互垂直，以B为原点，分别以BC→，BC1→和BA→的方向为x，y和z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量的数量积求解异面直线AE（2）求出平面A1B1E的一个法向量，假设存在点M，设M（x，y，z），利用空间向量的距离公式，列出方程求解即可．【解答过程】解：（1）由题意，因为∠CBC1＝90°，∴BC⊥BC1又AB⊥侧面BB1C1C，得AB⊥BC，AB⊥BC1∴AB、BC、BC1两两相互垂直，∠CBC1＝90°，BC＝1，AB＝C1C＝2，得BC以B为原点，分别以BC→，BC1→和BA→的方向为x，y和z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有A（0，0，2），B1(-1，3，0)，EAE→=(1设异面直线AE与B1C所成的角为θ，则cosθ=所以异面直线AE与B1C所成的角的余弦值为3570（2）由（1）可知A（0，0，2），B1(-1，3，0)，E(设平面A1B1E的一个法向量为m→∵m→⋅A1令y=3，则x＝1，∴假设存在点M，设M（x，y，z），∵CM→=λCA→∴（x﹣1，y，z）＝λ（﹣1，0，2），∴M（1﹣λ，0，2λ），∴EM→∴21111=|m→⋅EM即（3λ﹣1）（23λ﹣5）＝0，∴λ=13∴CMCA=128．如图，矩形ABCD所在的平面与菱形ABEF所在的平面垂直，G为BE边中点，AE＝AF．（Ⅰ）求证：直线AG⊥平面BCE；（Ⅱ）若AF＝2，____，求二面角C﹣AG﹣F的余弦值．从①BC=2AB，②BC＝AG【解题思路】（Ⅰ）由矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，得BC⊥平面ABEF，再由已知可得AG⊥BE，利用直线与平面垂直的判定可得AG⊥平面BCE；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AD，AF，AG两两垂直，以A为原点，AG为x轴，AF为y轴，AD为z轴建立空间直角坐标系，分别选①和②，求出平面ACG的法向量与平面AGF的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角C﹣AG﹣F的余弦值．【解答过程】证明：（Ⅰ）∵矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，∴AB⊥BC，∵矩形ABCD∩菱形ABEF＝AB，∴BC⊥平面ABEF，∵AG⊂平面ABEF，∴BC⊥AG，菱形ABEF中，∵AE＝AF，∴AE＝AB，又G为BE边中点，∴AG⊥BE，∵BC∩BE＝B，∴AG⊥平面BCE；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知AD，AF，AG两两垂直，以A为原点，AG为x轴，AF为y轴，AD为z轴建立空间直角坐标系，若选①BC=2AB，∵AF＝2，∴AB＝2，BC=22，AG故A（0，0，0），C（3，﹣1，22），G（3，0，0则AC→=（3，﹣1，22），AG→=（3设平面ACG的法向量为n→=（x1，y1，z